{高中试卷}高一上数学各知识点梳理：反函数[仅供参考]

反函数知识点大一反函数是高等数学中的一个重要概念，它与原函数紧密相关，是理解微积分和函数性质的基础。

本文将介绍反函数的定义、性质以及在求导和解方程中的应用。

一、反函数的定义在函数的基本概念中，我们知道函数是一种对应关系，每一个自变量对应一个唯一的因变量。

而反函数则是对这种对应关系进行逆转。

具体而言，对于函数f(x)，如果存在一个函数g(y)，使得当y=f(x)时，有x=g(y)，则称g(y)为f(x)的反函数。

二、反函数的性质1. 原函数与反函数的复合恒等如果f(x)和g(y)是互为反函数的函数对，那么f(g(y))=y和g(f(x))=x对任意y和x成立。

这意味着原函数和反函数的复合等于自变量或因变量本身。

2. 反函数的定义域与值域互换对于函数f(x)及其反函数g(y)，f(x)的定义域等于g(y)的值域，而f(x)的值域等于g(y)的定义域。

即对于任意x在f(x)的定义域，都存在唯一的y使得f(x)=y，同样对于任意y在g(y)的定义域，都存在唯一的x使得g(y)=x。

3. 原函数和反函数的图像关于y=x对称如果函数f(x)有反函数g(y)，那么f(x)和g(y)的图像关于直线y=x对称，即在平面直角坐标系中，它们的图像通过对称变换重合。

三、反函数的求导对于函数f(x)及其反函数g(y)，如果f(x)在某区间内连续且可导，并且f'(x)≠0，则反函数g(y)在对应的区间内也连续且可导，并且有g'(y)=1/f'(x)。

这一性质在求导计算和函数性质分析中非常实用，可以简化问题的求解过程。

四、解方程中的应用反函数在解方程中有广泛的应用。

如果方程f(x)=c有唯一实根，则可通过求f(x)的反函数g(y)，将方程转化为y=c，从而得到x=g(c)的解。

这种方法在实际问题中常用于求解复杂方程的根，简化计算步骤，提高求解的准确性。

总结：反函数是数学中的重要概念，与原函数密切相关。

大一反函数知识点归纳总结反函数是数学中一个重要的概念，大一学生在学习函数的过程中，也会接触到反函数的知识。

本文将对大一反函数的知识点进行归纳总结，希望能帮助大家更好地理解反函数的概念和应用。

1. 反函数的定义和性质在介绍反函数之前，我们首先需要了解函数的定义和性质。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上，而且每个元素只有唯一的对应关系。

函数的定义域是指函数可以接受的输入值的集合，值域是指函数可以得到的输出值的集合。

反函数是对函数的逆运算，它将函数的输出值映射回函数的输入值。

对于函数f(x)来说，若存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，同时g(f(x)) = x，那么g(x)就是f(x)的反函数。

反函数的定义域等于原函数的值域，值域等于原函数的定义域。

反函数的性质：- 反函数存在的前提是原函数必须是一对一的，即函数的每一个输出值都对应唯一一个输入值。

- 反函数与原函数的图像关于y=x对称，即反函数的图像是原函数的图像沿y=x镜像对称得到的。

- 若f(x)在[a, b]上是递增函数，则反函数g(x)也在[f(a), f(b)]上是递增函数；若f(x)在[a, b]上是递减函数，则反函数g(x)也在[f(a), f(b)]上是递减函数。

2. 反函数的求法如何求反函数呢？一般而言，可以按以下步骤进行求解：（1）将原函数表达式中的x和y互换位置，得到关于y的表达式。

（2）解这个关于y的方程，得到y关于x的表达式。

（3）将y关于x的表达式中的y和x互换位置，得到反函数的表达式。

需要注意的是，有些函数的反函数并不是显式表达式，而是用隐式方程的形式给出。

3. 反函数的应用反函数在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：（1）求解方程：当我们需要解一个方程时，可以通过求解函数的反函数来得到方程的解。

（2）函数复合：在复合函数中，若我们已知复合函数和其中一个函数，可以通过求解反函数，解出另一个函数。

数学 反函数【重点难点解析】1．本单元知识结构2．了解互为反函数的两个函数间的关系(定义域、值域、运算反映的映射法则及图象)，会求函数的反函数(如果有的话)．3．判断一个函数是否有反函数及求反函数运算时解不惟一，此时如何确定谁是所求的反函数等．【考点】1．求已知函数的反函数与已知函数的性质(单调性、奇偶性、图象特征等)从而确定反函数的性质．2．求函数的值域是数学中的难点也是考点，而利用求反函数的定义域来求函数的值域，在解题时常有使用．【典型热点考题】例1 求下列函数的反函数：(1)y ＝f(x)＝2x －1； (2)3x 1x 2)x (f y -+==． 思路分析求函数y ＝f(x)的反函数)x (f y 1-=，需先对函数的解析式按运算律要求逐步实施逆运算求得)y (f x 1-=，然后再交换x 、y ，就可求得反函数．一般如不特别给出函数的定义域，则解得的解析式即为所求，不必再另注明反函数的定义域(函数的值域)，如题目指明要求，则应计算函数的值域(反函数的定义域)．解：(1)∵y ＝2x －1∴2x ＝y ＋1 21y 21x += ∴反函数21x 21)x (f y 1+==-． (2)∵3x 1x 2y -+=(x ≠3且x ∈R) ∴xy －3y ＝2x ＋1xy －2x ＝3y ＋1(y －2)x ＝3y ＋1当y －2≠0，即y ≠2时 有2y 1y 3x -+=(y ≠2) ∴反函数2x 1x 3)x (f y 1-+==-(x ≠2)． 例2 求下列函数的反函数：(1)1x y 2-=(x ≤0)； (2)7x 4x y 2+-=(x ≥2)； (3)x y =(x ≥1)．这3个函数或给出定义域或求得定义域，都是对应函数的一个单调区间，因此在此区间上一个自变量值只对应一个函数值，反之也成立，所以它们都存在反函数．但是由于定义域受到限制是人为施加的，因此函数的值域也不一定是“理论值”，也需要由给定函数的性质来确定，以便作为反函数的值域．解：(1)∵1x y 2-=(x ≤0)(－∞，0]是此二次函数的减区间∴y ≥f(0)＝－1，即函数值域[－1，＋∞)∴01y x 2≥+=， ∴1y x +±=∵x ≤0 ∴1y x +-=(y ≥－1) ∴反函数为1x )x (f y 1+-==-(x ≥－1)．(2)∵7x 4x y 2+-=(x ≥2)∴3)2x (y 2+-=(x ≥2)∴[2，＋∞)是此函数的增函数区间∴y ≥f(2)＝3，即值域为[3，＋∞) ∵3y 2x -±=-(y ≥3)x ≥2，则x －2≥0 ∴3y 2x -=- ∴3y 2x -+=(y ≥3) ∴反函数为23x )x (f y 1+-==-(x ≥3)．(3)∵x y =(x ≥1)∴[1，＋∞)是函数的增函数区间∴y ≥f(1)＝1，即函数值域为[1，＋∞)∵2y x =(y ≥1)∴反函数21x )x (f y ==-(x ≥1)．例 3 已知函数ax b ax )x (f ++=(x ≠－a)的图象与其反函数)x (f 1-的图象都经过(－1，3)点，求不等式0)x (f 1>-的解的集合．确定函数f(x)——求得其系数a 、b 的值是解本题的关键．利用已知的两个条件(函数f(x)与其反函数)x (f 1-的图象均过点(－1，3))，布列两个方程组成方程组求解．解： ∵ax b ax )x (f y ++== ∴xy ＋ay ＝ax ＋b∴x(y －a)＝－ay ＋b 当y ≠a 时，ay b ay x -+-= ∴ax b ax )x (f y 1-+-==- ∵f(x)与)x (f 1-的图象都过(－1，3)点 ∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+-3b 0a 3a1b a 3a 1b a ∴x3)x (f 1-=- 0x 0x3)x (f 1<⇒>-=- ∴不等式0)x (f 1>-的解集为{x|x<0}．例4 (1)已知：函数y ＝f(x)的反函数为)x (f y 1-=，函数y ＝f(x ＋1)恒过点(－3，4)，那么函数)1x (f y 1-=-恒过点___________．(2)已知：1x 是方程f(x)＝3－x 的解，2x 是方程x 3)x (f 1-=-的解，f(x)与)x (f 1-互为反函数，那么21x x +＝___________．(3)设函数：⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈+-∈-∞∈=) 16[ 4)16()16 1( ]1 ( )(2，，，x x x x x x x f 则)16(f 1-＝___________．思路分析(1)(2)考查反函数的图象与原函数的图象之间关于y ＝x 对称；(3)反函数的原象就是原函数中的象，反函数中的象就是原函数中的原象．解：(1)由y ＝f(x ＋1)恒过点(－3，4)⇒y ＝f(x)的图象恒过点(－2，4)∵y ＝f(x)与)x (f y 1-=互为反函数∴)x (f y 1-=恒过点(4，－2)⇒)1x (f y 1-=-恒过点(5，－2)(2)由f(x)＝3－x ，可得：⎩⎨⎧-==x 3y )x (f y ∵1x 是方程f(x)＝3－x 的解∴))x (f x (11，是方程组⎩⎨⎧-==x 3y )x (f y 的解 同理，由x 3)x (f 1-=-，可得⎩⎨⎧-==-x 3y )x (f y 1由2x 是方程x 3)x (f 1-=-的解，可得))x (f x (22，是方程组⎩⎨⎧-==-x 3y )x (f y 1的解．设P ))x (f x (11，，Q ))x (f x (22，显然P ，Q 均在直线y ＝3－x 上∵y ＝3－x 的图象与II ，IV 象限的角平分线平行∴y ＝3－x 的图象与y ＝x 的图象垂直即PQ ⊥l (l 是y ＝x 的图象)又∵y ＝f(x)的图象与)x (f y 1-=的图象之间关于直线l 对称，而且，P ))x (f x (11，在y ＝f(x)的图象上，))x (f x (Q 22，在)x (f y 1-=的图象上．∴P 、Q 两点关于l 对称从而，得出：P 、Q 的中点在y ＝x 的图象上即：2x x 2)x (f )x (f 21211+=+- ∴2121x x )x 3()x 3(+=-+-∴3x x 21=+．(3))16(f 1-的含义是已知函数y ＝f(x)的反函数的原象16，求反函数象)16(f 1-，也就是已知函数y ＝f(x)的象16，求原函数的原象x ．利用反函数与原函数的关系由已知，可得：f(x)＝16即：164)16x (2=+-∴3216x 3216x -=+=或， ∵x ≥16 ∴3216x -=(舍去)， ∴3216x += 也就是：3216)16(f 1+=-．。

高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。

如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。

这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。

在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。

习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。

2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。

（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。

（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。

3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。

（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。

（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。

（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。

特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。

2.5 反函数巩固·夯实基础一、自主梳理1.反函数定义：若函数y=f(x)(x ∈A)的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=φ(y).如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=φ(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数，记作x=f -1(y).在函数x=f -1(y)中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f -1(y)中的字母x 、y ，把它改写成y=f -1(x).2.互为反函数的两个函数图象间关系y=f(x)与y=f -1(x)在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.3.求反函数的步骤(1)解关于x 的方程y=f(x),得到x=f -1(y);(2)把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f -1(x);(3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f(x)的值域〕.二、点击双基1． y=22x x -(1≤x ≤2)的反函数是( ) A.y=1+21x -(-1≤x ≤1) B.y=1+21x -(0≤x ≤1) C.y=1-21x -(-1≤x ≤1) D.y=1-21x -(0≤x ≤1)解析：y 2=-(x-1)2+1,(x-1)2=1-y 2,x-1=21y -,即y=1+21x -(0≤x ≤1).答案：B2．若函数f(x)的反函数为f -1(x)=2x+1,则f(1)的值为( )A.4B.-4C.1D.-1解析:令2x+1=1⇒x=-1,∴f(1)=-1.故选D.答案:D3．已知函数f(x)的反函数是f -1(x)=log m+1(x 2006+m)(m>0),则方程f(x)=2 006的解集为( )A.{-1}B.{-1,1}C.{1}D.∅答案:由反函数的概念知f -1(2 006)=log m+1(20062006+m)=1.所以方程f(x)=2 006的解集为{1}.故选C.答案:C4．函数f(x)=-x 2(x ∈(-∞,-2))的反函数f -1(x)=________________.解析:y=-x 2(x ≤-2),y ≤-4,∴x=-y -.x 、y 互换,∴f -1(x)=-x -(x ≤-4).答案:-x -(x ≤-4)5．已知函数y=f(x)的反函数为f -1(x)=log sin θ(2006x -cos 2θ)，其中0<θ<2π，则方程f(x)=2 006的解是_________.解析:由题意得f -1(2 006)=log sin θ(20062006-cos 2θ)=log sin θ(1-cos 2θ)=log sin θsin 2θ=2. 答案:x=2诱思·实例点拨【例1】设f -1(x)是函数f(x)=21(a x -a -x )(a>1)的反函数,则使f -1(x)>1成立的x 的取值范围为( ) A.(a a 212-,+∞) B.(-∞,a a 212-) C.(aa 212-,a) D.［a,+∞］ 解法一:求得f -1(x)=log a (x+12+x )(a>1).由f -1(x)>1得log a (x+12+x )>log a a, ∴x+12+x >a,解得x>a a 212-. 解法二:∵a>1,∴f(x)=21(a x -a -x )为增函数. 根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系,f -1(x)>1,即在f(x)中,在x>1的条件下,求f(x)的范围.∴f(x)>f(1)=21(a-a -1)=a a 212-. 答案:A讲评:解析一为常规解法,即求出反函数解析式.解法二巧妙地利用函数与反函数的定义域、值域的关系以及函数的单调性,可以起到事半功倍的作用.【例2】 求函数f(x)=⎩⎨⎧->+--≤+1,1,1,12x x x x 的反函数. 解:当x ≤-1时，y=x 2+1≥2，且有x=-1-y ,此时反函数为y=-1-x (x ≥2). 当x ＞-1时，y=-x+1＜2，且有x=-y+1,此时反函数为y=-x+1(x ＜2=.∴f(x)的反函数f -1(x)=⎩⎨⎧<+-≥--.2,1,2,1x x x x .讲评:分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 (1)已知函数y=a x +b 的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),求a 的值.(2)已知f(x)=x x2121+-,求f -1(21).解:(1)由函数y=a x+b 的图象过点A(1,4),得a+b=4. ①由y=a x +b 的反函数的图象过点(2,0),则原来的函数图象过点(0,2),所以a 0+b=2. ②解①②,得a=3,b=1. (2)由x x 2121+-=21,得2-2·2x =1+2x , 所以3·2x=1. 所以2x =31. 所以x=log 231,即f -1(21)=log 231. 链接·提示(1)若点M(a,b)在原函数y=f(x)的图象上,那么点M ′(b,a)在反函数y=f -1(x)的图象上.(2)f(a)=b ⇔f -1(b)=a.。

大一反函数所有知识点反函数是函数学习中的重要内容，它在解方程、求极限以及构建数学模型等方面都有广泛的应用。

在大一的学习中，我们需要掌握与反函数相关的一些基本概念和性质。

本文将从以下几个方面进行论述：什么是反函数、如何求反函数、反函数的性质以及反函数在实际问题中的应用。

一、什么是反函数（Inverse Function）在函数学习的过程中，我们已经学习了函数的定义和性质。

通常来说，对于函数f(x)而言，如果对于每一个自变量x的取值，都能唯一确定一个因变量f(x)的值，那么我们就称f(x)为一个函数。

那么，反函数就是对于给定的函数f(x)，如果存在一个函数g(y)，使得对于任意的y在定义域Dg内，有g(y) = x，那么我们称g(y)为函数f(x)的反函数。

二、如何求反函数1. 判断反函数是否存在对于函数f(x)，我们需要首先判断它是否可逆。

常见的条件是：函数f(x)在定义域上是单调递增或者单调递减的，即如果对于任意的x1和x2，有x1 < x2，则f(x1) < f(x2)，或者f(x1) > f(x2)。

2. 求反函数的步骤如果函数f(x)可以求反函数，那么我们可以按照以下步骤来求解：（1）设反函数为g(y)，则先将f(x)中的自变量x和因变量y进行交换，得到x = f(y)。

（2）然后，我们对x进行求解，得到y = g(x)。

3. 反函数的符号表示在表示反函数时，通常用函数f(x)的小写字母x代表反函数，即y = f^(-1)(x)。

这是为了和函数f(x)的自变量y进行区分。

三、反函数的性质1. 函数与反函数的性质如果函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)存在，那么它们具备以下性质：（1）函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)互为反函数。

（2）函数f(f^(-1)(x)) = x，对于定义域内的任意x成立；函数f^(-1)(f(x)) = x，对于定义域内的任意x成立。

反函数知识点、概念总结1.反比例函数：形如y=k/x，（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k，y=kx(-1)。

2.自变量的取值范围：（1）k≠0；（2）在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；（3）函数y的取值范围也是任意非零实数。

3.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和y=-x。

对称中心是：原点。

4.反比例函数的几何意义|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

即：过反比例函数y=k/x（k不等于0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=（x的绝对值）*（y的绝对值）=（x*y）的绝对值=k的绝对值。

5. 反比例函数的性质：（1）（增减性）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

（2）k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0.（3）因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

（4）在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|K|（5）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

（6）若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A、B 两点关于原点对称。

（7）设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m ≥（不小于）0.（8）反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

反函数知识点总结大全一、基本概念1. 反函数的定义：设函数f是定义在集合A上的函数，如果对于A中的每一个x都有唯一的一个y使得f(x) = y，那么就存在一个函数g，使得g(y) = x。

则称g为函数f的反函数，记作g = f^(-1)。

反函数是满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的一对函数。

2. 反函数存在的条件：一个函数有反函数的充分必要条件是该函数是一一映射的。

即对于函数f，如果对于不同的x1和x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f是一一映射。

3. 反函数的表示：在一定条件下，函数的反函数可以表示为y=f^(-1)(x)，转换为x=f(y)。

可以通过求解来得到。

4. 反函数的组合：当两个函数互为反函数时，它们的反函数构成一对互为互逆的函数，进行组合后恰好得到自变量x，即(f^(-1)◦f)(x) = x。

二、性质1. 函数和反函数的图像关系：函数和它的反函数的图像分别关于y=x对称。

这意味着反函数的图像是原函数图像沿着y=x轴做对称得到的。

2. 反函数的导数关系：如果函数f在点x处可导且f'(x)≠0，则它的反函数g也在点y=f(x)处可导，且g'(y) = 1 / f'(x)。

3. 反函数的定义域和值域：一个函数的定义域和值域可以通过反函数来确定。

函数f的定义域是它的值域的反函数的定义域，函数f的值域是它的定义域的反函数的值域。

4. 函数和反函数的性质：反函数的奇偶性、周期性和单调性与原函数相似。

如果原函数是奇函数，那么反函数也是奇函数。

如果原函数是周期性函数，那么反函数也是周期性函数。

如果原函数是单调函数，那么反函数也是单调函数。

三、图像1. 原函数和反函数的图像：原函数和反函数的图像关于y=x轴对称。

通过这种方法，可以很方便得到反函数的图像。

2. 举例：y = f(x)，求f^(-1)(x)图像。

可以先画出原函数的图像，然后再对该图像进行关于y=x的对称处理。

大一高数知识点笔记反函数在大一高数学习中，反函数是一个重要的知识点。

理解反函数的概念及相关性质对于解决函数的问题和应用具有重要意义。

下面是关于大一高数反函数的知识点笔记。

一、反函数的概念在函数的学习中，我们学过函数的定义：对于一个给定的自变量，函数能够唯一确定一个因变量。

而反函数则是指，当一个函数的自变量取不同的值时，能够唯一确定一个原函数的自变量。

简单来说，反函数就是将原来函数中自变量和因变量的角色互换后所获得的新函数。

二、反函数的性质1. 反函数与原函数的性质呈对称关系，即如果一个函数的反函数是存在的，那么它们的图像关于直线y=x对称。

2. 反函数的定义域等于原函数的值域，值域等于原函数的定义域。

3. 如果一个函数在某个区间上是递增（递减）的，那么它的反函数在相应区间上是递减（递增）的。

4. 如果一个函数在某个区间上是凹（凸）的，那么它的反函数在相应区间上是凸（凹）的。

三、求解反函数的方法1. 首先，要确保原函数是一对一函数（即每一个自变量对应唯一的因变量），否则反函数不存在。

2. 接下来，我们将原函数的自变量和因变量互换，并解得反函数。

3. 最后，对于反函数的定义域和值域进行检查和确定。

四、反函数的应用1. 利用反函数，可以求解一元方程，例如求解三角函数方程、指数方程等。

2. 反函数可以用于函数的复合运算，通过将复合函数简化为更简单的形式来求解。

3. 反函数在计算机科学和密码学中也有广泛的应用，例如在密码学中用于加密和解密算法中。

五、总结反函数作为大一高数的一个重要知识点，在数学的各个领域都有广泛的应用。

掌握反函数的概念、性质、求解方法和应用，对于加深对函数的理解，提升解决实际问题的能力具有重要意义。

通过本篇知识点笔记，我们对大一高数中的反函数有了更加深入的了解。

希望这些内容能够帮助您更好地掌握反函数的相关知识，并在学习和应用中发挥作用。

高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。

在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。

一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。

如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。

这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。

一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。

2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。

3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。

二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。

下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。

具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。

3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。

通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。

由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。

就是将原函数反表示后，再写成函数形式。

例如：y=3x-1求此反函数。

可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。

但是为什么此题有两解。

这是引发了定义域的问题。

从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。

所以，原函数定义域为反函数值域。

所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。

因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。

还有一种解决反函数问题的方法：求解法。

就是把函数方程x当未知数来解。

例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。

在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。

填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。

”有些同学初拿此题不知从何处下手。

其实只需写出，一切都可解开。

解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。

所以有些题可利用图象即数形结合求解。

如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。

解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。

”此题关键在于反函数φ（x)。

多次反函数，可求解。

《反函数的概念》知识清单一、什么是反函数在数学中，如果函数$f(x)＄中，对于定义域内任意一个$x$，都有唯一确定的$y$与之对应，那么就可以把$y$表示成关于$x$的函数，记为$y ＝ f(x)＄。

反过来，如果对于函数$y ＝ f(x)＄值域中的任意一个$y$，在定义域内都有唯一确定的$x$与之对应，把$x$表示成关于$y$的函数，就得到了原函数的反函数，记为$x ＝ f^｛－1}（y)＄。

通俗地说，反函数就是把原函数中$x$和$y$的位置互换后得到的新函数。

例如，函数$y ＝ 2x ＋ 1$，我们通过移项可以得到$x ＝＼frac{y 1}｛2}＄，那么$x ＝＼frac{y 1}｛2}＄就是$y ＝ 2x ＋ 1$的反函数。

二、反函数的存在条件并不是所有的函数都有反函数。

一个函数要有反函数，必须满足一个重要条件，那就是原函数必须是一一映射。

所谓一一映射，简单来说就是对于原函数定义域内的不同自变量，其对应的函数值都不同；而且对于值域内的任何一个函数值，在定义域内都有唯一的自变量与之对应。

例如，函数$y ＝ x^2$，当$x ＝ 1$和$x ＝－1$时，＄y$的值都为$1$，不满足一一映射的条件，所以它没有反函数。

但是，如果我们限制函数$y ＝ x^2$的定义域为$x ＼geq 0$，那么此时它就满足一一映射，就有反函数$y ＝＼sqrt{x}＄。

三、反函数的性质1、原函数与反函数的图像关于直线$y ＝ x$对称。

这是因为在原函数中，若点$（a, b)＄在函数图像上，那么在反函数中，点$（b, a)＄就在反函数的图像上，而点$（a, b)＄和点$（b, a)＄关于直线$y ＝ x$对称。

2、原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

比如，原函数$y ＝ 2x ＋ 1$的定义域为实数集$R$，值域也是实数集$R$，那么其反函数$x ＝＼frac{y 1}｛2}＄的定义域是$R$，值域也是$R$。

五．指数函数与对数函数的关系-----反函数
1.反函数的概念及互为反函数两函数间的关系
(1).反函数概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，
而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.
函数y=f(x)的反函数通常用x=f -1(y)表示。

要点诠释：
a. 对于任意一个函数y=f(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，
这个函数才存在反函数；
b.反函数也是函数，因为它符合函数的定义.
(2).互为反函数的图象关系：
关于直线y=x对称；
(3).互为反函数的定义域和值域关系：
反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.
(4).求反函数的方法步骤：
(1)由原函数求出它的值域；(2)由原函数y=f(x)反解出x=f -1(y)；
(3)交换x, y改写成y=f -1(x)；(4)用f(x)的值域确定f -1(x)的定义域.
2.指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数互为反函数.
x x x x。

高一数学《反函数、幂函数》知识点高一数学《反函数、幂函数》知识点1反函数的定义设函数=f(x)的定义域是A，值域是．我们从式子=f(x)中解出x得到式子x=φ()．如果对于在中的任何一个值，通过式子x=φ()，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ()叫函数=f(x)的反函数，记作x=f-1()，习惯表示为=f-1(x)．注意：函数=f(x)的定义域和值域，分别是反函数=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条按照函数定义，=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素，如果值域中的每一个元素也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素，通过对应法则=f(x)存在着一一对应关系，那么函数=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．3．函数与数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x&gt;0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x&lt;0和x&gt;0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

反函数的知识点总结一、反函数的概念反函数是函数的一个重要概念，它是指对于一个给定的函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得对于f的定义域中的任意x，都有f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么g就是f的反函数，记作g=f^(-1)。

也就是说，反函数是对原函数进行逆运算的函数。

反函数的存在与否直接与原函数的性质有关，比如函数是否是一一对应的，以及函数的定义域和值域等。

二、反函数的性质1. 对于函数f(x)，其反函数f^(-1)(x)的定义域和值域是原函数f(x)的值域和定义域，即f^(-1)(x)的定义域是f(x)的值域，f^(-1)(x)的值域是f(x)的定义域。

2. 对于反函数f^(-1)(x)，有f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x成立。

3. 若原函数f(x)是一一对应的，则其反函数f^(-1)(x)也是一一对应的。

一一对应的函数是指对于不同的自变量，其函数值必然不同。

4. 原函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)的图象关于y=x对称。

三、反函数的求解方法求解函数的反函数，一般有以下几种方法：1. 通过代数方法直接求解对于一些简单的函数，可以通过代数方法直接求解其反函数。

比如对于f(x)=2x+3，可以通过代数运算得到其反函数f^(-1)(x)=(x-3)/2。

2. 通过图像求解通过作出原函数的图象，再通过求出其关于y=x的对称图象，得到反函数的图象，从而得到反函数的表达式。

3. 通过换元法求解对于一些复杂的函数，可以通过换元法来求解其反函数。

比如对于f(x)=e^x，可以通过令y=e^x来求解其反函数。

4. 通过迭代法求解对于一些无法用代数方法求解的函数，可以通过迭代法来求解其反函数。

迭代法是通过反复逼近的方式来求解函数的反函数。

四、反函数的应用反函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 函数的逆运算反函数是对原函数进行逆运算的函数，它可以帮助我们对原函数进行逆运算，从而解决一些实际问题。

反函数常用知识点总结一、函数的定义及性质回顾1. 函数的定义：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的每一个元素x，都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是从A到B的一个函数，记作f：A→B。

2. 反函数的定义：设f：A→B是一个函数，如果对于每个y∈B，都存在唯一的x∈A，使得f(x)=y，那么就称f的反函数。

二、反函数的求解方法1. 基本方法：设f(x) = y，则反函数为x = f^(-1)(y)。

2. 对称法则：交换x和y，即将f(x) = y改写为f^(-1)(y) = x。

三、反函数的性质1. 定理1：若f是从A到B的一对一函数，则它的反函数存在且也是从B到A的一对一函数。

证明：由f是一对一函数，对于每个y∈B，恰有一个x∈A使得f(x)=y。

令x=f^(-1)(y)，则有f(x)=y，由此可知f^(-1)(y)=x。

因此，f^(-1)(y)是从B到A的一对一函数。

2. 定理2：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一对一函数，则f是一个一对一函数。

证明：设f(x₁)=f(x₂)，则有f^(-1)(f(x₁))=f^(-1)(f(x₂))，即x₁=x₂。

因此，f是一个一对一函数。

3. 定理3：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一个一对一函数，则f^(-1)是从B到A的满射。

证明：设y∈B，由f^(-1)是一对一函数可知，存在一个唯一的x∈A使得f^(-1)(y)=x。

因此，f^(-1)是从B到A的满射。

四、反函数的图像及定义域、值域的关系1. 反函数的图像：反函数f^(-1)的图像是由函数f的图像关于直线y=x作镜像而成的。

2. 定义域和值域的关系：设f：A→B是一个函数，则f的定义域是A，值域是f(A)。

而f的反函数f^(-1)的定义域是B，值域是f^(-1)(B)。

五、反函数与反比例函数的关系1. 反比例函数的性质：反比例函数y=k/x的反函数是y=k/x。

反函数（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4 小题）1．（2010 秋•海淀区校级期中）若y x 的反函数是y g(x) ，则g (1) 值为 ( )log3A．3 B． 3 C．D．13 1 32．（2010 春•宣武区期末）若函数y f (x) 是函数y 2x 的反函数，则f [ f （2） ] 的值为 ( ) A．16 B．0 C．1 D．23．（2010 春•平谷区校级月考）已知函数( ) 的图象与函数的图象关于直线对称，则（3）的y f x y 2x 1 y x f 值为 ( )A．1 B． 1 C．2 D． 24．（2009•海淀区一模）函数的反函数的图象是f x y f 1(x) ( )( ) 2x 1A．B．C．D．二．填空题（共8 小题）2x 1 x 05．（2009•东城区二模）设函数的反函数为f 1(x) ，则f 1 （1）的值为．f (x )x 1 x 026．（2009•丰台区二模）已知函数log 的图象与函数的图象关于直线对称，则．y x a y 2x 3 y x a27 ．（2009 秋•海淀区校级期中）已知函数 f (x) 的图象与函数g(x) 2x 的图象关于直线y x 对称，令h(x) f (1 | x |) ，则关于函数h(x) 有以下命题：（1）h(x) 的图象关于原点 (0,0) 对称；（2）h(x) 的图象关于y 轴对称；（3）h(x) 的最小值为 0；（4）h(x) 在区间 (1, 0) 上单调递增．第1页（共11页）正确的是．8．（2008 秋•昌平区期末）函数( ) 1 的图象过点，则，（1）．f x a x (2,3) a f 19．（2009 秋•海淀区校级期中）记的反函数为，则（4）．f (x) 2x y f 1(x) f 110．（2007 秋•东城区期末）已知函数( ) log ，它的反函数为，则f ．f x x f 1(x) 1(2)8311 ．（2008 •丰台区一模）若函数( ) 的图象与函数的图象关于直线对称，则y f x y x2 (x… 0) x y 0f (x)．x xlog ( 1)( 6)12．（2007 秋•东城区校级月考）设函数f (x) 的反函数为1( ) ，则f ．3f x 1(1)x…3x 6 ( 6)9三．解答题（共3 小题）13．（2003•崇文区一模）已知( ) log ( 1) ，且．f x x x2 0 a 1a（Ⅰ）求f (x) 的定义域和值域；（Ⅱ）求( ) 的反函数．f x f 1(x)x 114．（2014 秋•西城区校级期末）设a 为常数，记函数 2 ，x 1的反函数为f 1(x) ．已知y f 1(x) 的图f (x) k( )x 11象经过点 ( ,3) ．4（Ⅰ）求实数的值和反函数的解析式；k f 1(x)1 c c 1 F(x)c x（Ⅱ）定义函数F(x) log [ f (x)] log ，其中常数且，求函数的值域．c c1x15．（2008 秋•海淀区校级月考）已知函数且的图象过点，其反函数的图象过点f (x) a x k (a 0 a 1) (1,1) f 1(x)(8, 2) ．（1）求a ，k 的值（2）若将1( ) 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，就得到函数的图象，写出的y f x y g(x) y g(x) 解析式（3）若函数( ) ( ) ( ) ，求的最小值及取得最小值时的值．F x g x2 f 1 x F(x) x第2页（共11页）反函数（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）1．（2010 秋•海淀区校级期中）若y x 的反函数是y g(x) ，则g (1) 值为 ( )log3A．3 B． 3 C．D．13 1 3【分析】根据函数与它的反函数的关系，令，可得x 即为所求．log x 1 133【解答】解：令，可得x ，log x 1 1331根据函数与它的反函数的关系可得g (1) ，3故选：C ．【点评】本题考查函数与它的反函数的关系，由 log x 1，解得x 的值，是将诶提的关键．32．（2010 春•宣武区期末）若函数y f (x) 是函数y 2x 的反函数，则f [ f （2） ] 的值为 ( ) A．16 B．0 C．1 D．2【分析】先求出函数y 2x 的反函数，再利用求函数值的方法先求f （2），最后求出f [ f （2） ] 的值即可．【解答】解：函数的反函数是：y 2xy logx2，即f (x ) log x ，2f [ f（2） ] f [log 2] f （1） log 10 ．2 2故选：．B【点评】本题主要考查了反函数，一般地，设函数y f (x)(x A) 的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y把表示出，得到．互换，，得到的函数叫做函数的反函数，记作．x x f (y) x y y f (x)(x A) y f 1(x)3．（2010 春•平谷区校级月考）已知函数( ) 的图象与函数的图象关于直线对称，则（3）的y f x y 2x 1 y x f 值为 ( )A．1 B．C．2 D．1 2【分析】由两个函数的图象关于直线对称得，这两个函数互为反函数，故只要利用求反函数的方法求出原函数y x的反函数即可．第3页（共11页）【解答】解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，Q y f (x) y 2x 1 y xy f (x) y 2x 1函数与函数互为反函数，又函数的反函数为：Q y 2x 1，y log (x1)2即f (x ) log (x 1) ，2f（3）log (3 1)2 ，2故选：D ．【点评】本小题主要考查反函数、对数式的运算等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．反函数求解三步骤：1、换：X 、Y 换位2、解：解出Y 3、标：标出定义域．4．（2009•海淀区一模）函数的反函数的图象是f (x ) 2x 1 y f 1(x) ( )A．B．C．D．【分析】先求出函数( ) 2x 的反函数，再根据反函数的图象结合对数函数的图象与性质即可选出答f x 1 y f 1(x)案．【解答】解：函数的反函数为f (x ) log x 1 ，Q f (x ) 2x 1 12它可由对数函数y log x 的图象向下平移 1 个单位得到，2故选：D ．【点评】本题主要考查了对数函数、指数函数的图象与性质、反函数，以及函数的图象与图象变化，属于基础题．二．填空题（共8 小题）2x 1 x 05．（2009•东城区二模）设函数f (x) 的反函数为，则（1）的值为．f 1(x) f 1 2x 1 x 02第4页（共11页）【分析】根据题意，可以直接求出反函数的解析式，然后代入1即可求得为（1），x f 1本题作为填空题也可以根据求（1）的值，也就是求使的值，这样求解更方便，也是合理的．f f (x) 1 x12x 1 x 0【解答】解：法一：由函数得f (x)2 …x 1 x 0当0 时，xx y 12当时，x… 0 x y 1由此可得：x 1f (x) 2 x 111 (1)x x所以（1）为所求．f 1 2法二：根据题意求（1）的值，也就是求使的值f 1 f (x) 1 xQ f (x) 1 x... 0 f (x) (1)x 0 时，，时x2 1 1 x 2令，得即（1）．f 21答案为： 2【点评】本题解答给出了 2 种方法，方法一是直接接法，常规思路，走弯路，有些繁琐，但适合于各种题型；方法二是抓住要害，直击目标，过程简捷，对解选择题、填空题值得使用．6．（2009•丰台区二模）已知函数log 的图象与函数的图象关于直线对称，则3．y x a y 2x 3 y x a2【分析】由题意知，函数log 与函数互为反函数，再根据函数log 求出其反函数，y x a y 2x 3 y x a2 2则求出的反函数与2x 一样，比较系数可得值．y a3【解答】解：函数log 的图象与函数的图象关于直线对称，Q y x a y 2x 3 y x2y x a y 2x 3 y x a x 2y a函数log 与函数互为反函数，由log 得，，2 2函数y log x a 的反函数为y 2x a ，2a 3 ，故答案为 3．【点评】本题考查反函数的求法，互为反函数的 2 个函数图象间的关系．7 ．（2009 秋•海淀区校级期中）已知函数 f (x) 的图象与函数g(x) 2x 的图象关于直线y x 对称，令第5页（共11页）h(x) f (1 | x |) h(x)，则关于函数有以下命题：（1）h(x) 的图象关于原点 (0,0) 对称；（2）h(x) 的图象关于y 轴对称；（3）( ) 的最小值为 0；（4）在区间上单调递增．h x h(x) (1, 0)正确的是（2）（4）．【分析】先根据函数f (x) 的图象与函数g(x) 2x 的图象关于直线y x 对称求出函数f (x) 的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．【解答】解：函数的图象与函数的图象关于直线对称Q f (x) g(x) 2x y xf (x) log x2h(x) f (1 | x |) log (1 | x |) x(1,1)2而h(x) log (1 | x |) h(x)2则h(x) 不是奇函数是偶函数，故（1）不正确，（2）正确该函数在上单调递增，在上单调递减(1, 0) (0,1)h(x) 有最大值为 0，无最小值故选项（3）不正确，（4）正确故答案为：（2）（4）【点评】本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于基础题．8．（2008 秋•昌平区期末）函数( ) 1 的图象过点，则4，（1）．f x a x (2,3) a f 1【分析】本题考查求函数解析式，求反函数及其反函数等多个知识点，将点的坐标代入函数式(2,3) f (x) a x 1 就可以求出a 的值，然后利用反函数的函数值即为原函数的x 的值这一特点，不用求出反函数的解析式就可以求出（1）的值．f1【解答】解：法一：依题意，将，代入，解得：，x 2 y 3 f (x) a x 1 a 4所以函数的解析式为：f (x) 4 x 1设，解得，y 4 x 1 x (4 y)2 1即反函数的解析式为f1(x) (4 x)21第6页（共11页）所以（1）f 101法二：依题意，将 2 ，代入，解得：，x y 3 f (x) a x 1 a 4所以函数的解析式为：f (x) 4 x 1根据互为反函数的函数的函数特征，令 4 x 1 1解得：10 ，即（1）x f 1 10答案：4，10【点评】本题提供的两种解法都有 2 个层次，第一个层次是相同的，利用点在函数的图象上，代入坐标获得参数a 的值，第二个层次的区别在于：法一是先求出反函数的解析式，再代入求值，法二依据了“反函数的函数值即为原函数的x 的值”，巧妙的获得了结果，相比之下法二更可取．9．（2009 秋•海淀区校级期中）记f (x) 2x 的反函数为y f 1(x) ，则f 1 （4）2．【分析】欲求（4），设（4），则可得（a），解方程可求．f f 1 a f 4 a1【解答】解：设（4），f 1 af （a） 2a 4 ，f 1 2a 2 ，即（4）．故答案为：2．【点评】本题主要考查了函数的反函数值的求解，其中主要利用了互为反函数直接的关系：原函数的定义域是反函数的值域．10．（2007 秋•东城区期末）已知函数，它的反函数为，则f 4．f x x f 1(x) 1(2)( ) log83【分析】互为反函数的两个函数图象关于直线对称，若的图象上有点，则点一定在其反函数的y x f (x) (a,b) (b,a) 图象上．【解答】解：令 1 2f ( )a32则f （a） log a ．832即83aa 4第7页（共11页）故答案为 4【点评】互为反函数的两个函数图象关于线对称，具体体现在：若的图象上有点，则点一定在y x f (x) (a,b) (b,a) 其反函数的图象上，这种方法的优势在于，不用求出反函数的解析式，即可求出反函数的函数值，其实是转化思想在反函数这一知识点上的应用．11．（2008•丰台区一模）若函数( ) 的图象与函数的图象关于直线对称，则y f x y x2 (x… 0) x y 0 f (x) x(x… 0)．【分析】由题意判断两个函数互为反函数，然后求出函数y x2 (x… 0) 的反函数即可．【解答】解：函数( ) 的图象与函数的图象关于直线对称，y f x y x2 (x… 0) x y 0说明两个函数互为反函数，函数y x2 (x… 0) 的反函数是f 1(x) x(x… 0)所以f (x) x(x… 0)故答案为：x(x… 0)【点评】本题考查反函数的知识，是基础题．log (x 1)(x 6)f (x)12．（2007 秋•东城区校级月考）设函数的反函数为1( ) ，则f 8 ．3f x 1(1)3x 6 (x… 6) 9f ( ) 1( ) f1 1 f x x 1 (1)【分析】欲求的值，只须从条件中函数式中反解出，即得的值．9 9 91【解答】解：令f (x) ，91当时，即：log (x 1) ，无解，x 6391当时，即：3 ，解得：，x… 6 x 6 x 691则f 1( ) 6 ，9故答案为：8 ．【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．三．解答题（共3 小题）13．（2003•崇文区一模）已知( ) log ( 1) ，且．f x x x2 0 a 1a（Ⅰ）求f (x) 的定义域和值域；（Ⅱ）求( ) 的反函数．f x f 1(x)【分析】（Ⅰ）直接由对数式的真数大有 0 列不等式组求解；第8页（共11页）（Ⅱ）由，解出，然后把和互换即可得到答案．f (x ) log (x x 1) x x y2ax x 1 0①2【解答】解：由，(I )x2 1 0②解②得或，代入①验证得，x... 1 x...1 x (1)f (x) [1 )的定义域为，．又x x 2 1...x (1)，(0]f (x) 的值域为，．1(II) 2解：设y f (x ) log (x x 1) log ( ) ，a ax x 12a x x 1 a ay y y2x，两式相加，得2a x xy 21因此，( ) log ( 1)( [1，的反函数是f x x x 2 x ))aa ax xf 1(x) (x ( , 0])2．【点评】本题考查了函数定义域的求法，考查了函数的反函数的求法，关键是注明反函数的定义域，是中档题．x 114．（2014 秋•西城区校级期末）设为常数，记函数f (x) k( ) ，1的反函数为．已知的图a 2 x f 1(x) y f 1(x)x 11象经过点 ( ,3) ．4（Ⅰ）求实数的值和反函数的解析式；k f 1(x )c x（Ⅱ）定义函数F(x ) log [ f 1(x )] log ，其中常数c 0 且c 1 ，求函数F(x) 的值域．c c1x【分析】（Ⅰ）由的图象经过点，得到关于的等式，求出实数的值，进一步求得反函数的y f x (1 ,3)1( ) k k f 1(x)4解析式；c x（Ⅱ）把f 1(x) 的解析式代入F(x ) log [ f 1(x )] log ，化简整理后求出真数的范围，可得函数的值域．c c1xx y f x (1 ,3)1【解答】解：（Ⅰ）Q f (x ) k( )2 ，且1( ) 的图象经过点，x 1 43 1 1 k( )23 14 ，解得k1，x 1y f (x ) ( )2 (x 1)x 1x 1 1 y，则，x．yx 1 1y第9页（共11页）1 xf 1(x) (0 x 1)1x；（Ⅱ） 11c x x c xF(x ) log [ f (x )] log log logc c c c1x 1x 1x1xlog (0 x 1)．cc x要使该函数有意义，则c x 0 恒成立，Q 0 x 1 c 1，．1x x 1 x c c 1 c 1由t 1，c x x c x c x cQ 0 x 1 0 x 1 c x c 1c，，，1 1 11 c x ccc x1 1 2，．c c x c 1c 1 2F(x)函数的值域为[log ,log ]．c cc c 1【点评】本题考查函数的性质，考查了函数反函数的求法，训练了函数值域的求法，是中档题．15．（2008 秋•海淀区校级月考）已知函数f (x ) a x k (a 0 且a 1) 的图象过点 (1,1) ，其反函数f 1(x) 的图象过点(8, 2) ．（1）求a ，k 的值（2）若将的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，就得到函数的图象，写出的y f 1(x) y g(x) y g(x)解析式（3）若函数( ) ( ) ( ) ，求的最小值及取得最小值时的值．F x g x f x F(x) x2 1【分析】（1）由函数f (x ) a x k (a 0 且a 1) 的图象过点 (1,1) ，f (1) a 1k 1 ，解得k 1．函数f (x )a x k 反函数f 1(x) 的图象过点 (8, 2) ，知a 2k 8 ，解得a 2 ．（2）由（1）得，所以f (x ) log x 1．由此解得．f (x ) 2x 1 1g x x (x 2)( ) log ( 2)2 2x2 22（3）由f (x ) g(x ) f (x) ，知f (x ) log 1 log (x ) 1，由此能求出当且仅当x 2 时取2 1x2 2xF(x)min F( 2) log 2 2 12 52．【解答】解：（1）函数且的图象过点，Q f (x ) a x k (a 0 a 1) (1,1)f a( 1) 1 k 1，第10页（共11页）解得．k 1Q f (x ) a x k f 1(x) (8, 2)函数反函数的图象过点，f (x ) a x k (2,8)函数的图象过点，a 2k 8 a 3 8，即，a 2．（2）由（1）得，f (x ) 2x1( ) log x 1f 1 x．2将y f 1(x) 的图象向左移 2，向上移 1 得f 1(x 2) 1 log (x 2) ，2(x 2)g(x) log (x 2) ．2（3）f x g x 2 f 1x( ) ( ) ( )log (x 2 2) log x 1(x 0)2 2x 2 22log x 1 log (x ) 1，2 2xx 0，x2 (2)2x，当且仅当x 2 时取F(x)min F( 2) log 2 21252．【点评】本题考查反函数的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．第11页（共11页）。