1002对坐标的曲线积分

k 1
,
k
)xk
,
称为对
x
的曲线积分;
n
Q(x,
L
y)dy

lim
0
k
Q(
1
k
,k )yk
,称为对
y
的曲线积分.
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k

P(x, y)dx Q(x, y)dy
x (t) y (t) t : , 有 z (t)



P[
(t
),

(t
)
,

(t
)]
(t)
(t)
(t )
例1. 计算 xyd x , 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L y B(1,1)
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
y x
x (t) • 对空间有向光滑弧 : y (t), t :
z (t)




P
[
(t
),

(t
)
,

(t)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)](t)d t
4. 两类曲线积分的联系

dxd
y


L
P
dx

Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A

1 2

L
xd
y

y

于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的 近似值为
W Wi P (x i ,h i )xi Q(x i ,h i )yi .
i 1 i 1 n n
令 表示 n 个小弧段的最大弧长，当 0 时， 上式 的右端极限如果存在， 则这个极限就是 W 的精确值，
a b Q( x, y)dy a Q[x(t ), y(t )] y(t )dt .
L L
P ( x, y )dx P[x(t ), y( t )] x( t )dt . (11.2.1)
(11.2.2)
b
证明从略.
对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 其要点是： (1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上， 所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)； (2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投 影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ； (3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下 限，终点 B 对应的参数 t = b 是对 t 积分的上限.
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应 用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即

简记为
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
L

L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
称之为组合曲线积分.
设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：
第五模块
第四节
二重积分与曲线积分
对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系

L
AO
OB
0
1
1 x( x)dx 0 x 5
曲线积分与曲面积分
A(1,1) 12
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
曲线积分与曲面积分
B(1,1)
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt
曲线积分与曲面积分
11
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
曲线积分与曲面积分
10
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
曲线积分与曲面积分
6
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
x,
y,
z)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi

(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
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x (t) • 对空间有向光滑弧 : y (t), t :
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0
k
1
P(ξk
,
ηk
)Δxk
Q(ξk ,
ηk
)Δyk
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k , k )
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
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A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
o y x x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
Hale Waihona Puke A(1,1)21
x
3 2
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则