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目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (1)2.3提出问题 (2)3预备知识 (2)3.1第二型曲线积分的定义 (2)3.2第二型曲线积分的性质 (3)4第二型曲线积分的计算 (4)4.1直接计算 (4)4.2利用格林公式计算 (12)4.3利用曲线与路径无关计算 (14)4.4利用奇偶对称性计算 (16)4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)5结论 (19)5.1主要观点 (19)5.2启示 (19)5.3局限性 (19)5.4努力方向 (19)参考文献 (20)1 引言第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.2 文献综述2.1 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.2.2国内外现状评价从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.2.3提出问题对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.3预备知识为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.3.1第二型曲线积分的定义设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.设第k 个小弧⌒k k A A 1-的弦−→−-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ∆与k y ∆.在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε−→−.作和⋅∑=),(k k n k k F ηξ1k x ∆ ， ⋅∑=),(k k nk k F ηξ1k y ∆ ， （1）分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.令},...,,m ax {)(n s s s T ∆∆∆=21λ。
二型曲线积分二型曲线积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍二型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、二型曲线积分的定义二型曲线积分可以分为两种情况：第一种情况是曲线积分沿曲线方向积分，这种情况下的二型曲线积分也叫做第一类曲线积分；第二种情况是曲线积分逆时针方向积分，这种情况下的二型曲线积分也叫做第二类曲线积分。
第一类曲线积分的定义如下：设曲线L是参数方程x=f(t)，y=g(t)，α≤t≤β，函数F(x,y)在曲线L上有定义，则称二型积分：∫L F(x,y)·ds为函数F(x,y)在曲线L上的第一类曲线积分。
第二类曲线积分的定义如下：设曲线L是参数方程x=f(t)，y=g(t)，α≤t≤β，函数P(x,y)和Q(x,y)在曲线L上有定义，则称二型积分：∫L P(x,y)dx + Q(x,y)dy为函数P(x,y)和Q(x,y)在曲线L上的第二类曲线积分。
二、二型曲线积分的性质二型曲线积分具有以下主要性质：1.线性性质：对于任意的标量k和函数F(x,y)，G(x,y)，有∫L (kF(x,y))·ds = k∫L F(x,y)·ds∫L (F(x,y) + G(x,y))·ds = ∫L F(x,y)·ds + ∫LG(x,y)·ds2.路径独立性质：如果曲线L是一个闭合曲线，即起点和终点重合，那么对于任意的函数F(x,y)，有∫L F(x,y)·ds = 0这意味着路径独立的曲线积分只与起点和终点之间的路径有关，与具体的路径无关。
3.曲线积分和曲面积分的关系：利用格林公式，可以将二型曲线积分转化为曲面积分。
这在解决一些复杂问题时非常有用。
三、二型曲线积分的计算方法计算二型曲线积分的方法有多种，常用的方法有参数法、直接计算法和格林定理法。
1.参数法：对于给定的曲线L，可以通过参数方程x=f(t)，y=g(t)来表示，其中α≤t≤β。
