对弧长的曲线积分
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对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
对弧长的曲线积分
都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
对弧长的曲线积分
L
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
对弧长的曲线积分
0 2
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
Cjf4-对弧长的曲线积分
说明: ds (d x) (d y )
y
2 (t ) 2 (t ) d t
ds d y dx
o x
如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
(2)
f ( x, y, z) g ( x, y, z)d s f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
（k 为常数)
(4)
f ( x, y, z ) d s
1
f ( x, y , z ) d s
组成)
2
2
2 2 x 2 ds y ds z ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 a 3 3 2 3 a 3
思考: 例5中 改为 计算
, 如何
X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
f ( x, y , z ) d s
(由
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s
2
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
2
第四节 对弧长的曲线积分
第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
对弧长曲线积分课件
对弧长的曲线积分的结果是一个标量， 与积分路径无关，只与起点和终点有 关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长和曲线积分
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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对弧长的曲线积分
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
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Γ
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
Γ上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . Γ 曲线形构件的质量 M = ∫ ρ (x, y, z) ds
Γ
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Mk ∆sk Mk−1
Γ
返回 结束
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积 分为 n
1
(3)
∫Γds = l ( l 曲线弧 Γ 的长度)
(Γ由Γ , Γ2 组 ) 成 1
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2
3. 计算 • 对光滑曲线弧
f (x, y) ds = ∫ f [φ (t ),ψ (t )] φ′2 (t ) +ψ′2 (t ) d t ∫L α
• 对光滑曲线弧
β
f (x, y)ds = ∫ f (x,ψ (x) ) 1+ψ′2 (x) dx ∫L a
α
−α
L α o R x
= ∫ R2 sin2 θ (−Rsinθ )2 + (Rcosθ )2dθ
3 α 2 =R sin θ dθ −α
sin 2θ = 2R − ∫ 4 0 2 = R3(α − sinα cosα )
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3 θ
α
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例3. 计算
其中L为双纽线
= lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ→0 k =1
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n
设各分点对应参数为 点 (ξk ,ηk )对应参数为
tk
∆sk = ∫
则
tk−1
′2 (t ) +ψ′2 (t ) d t ϕ
′ ′ = ϕ′2(τk ) +ψ′2(τk ) ∆tk ,
= lim ∑ [ϕ (τk ),ψ (τk ) ] f
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面域
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
• 对光滑曲线弧
b
∫L f (x, y)ds
= ∫ f (r(θ ) cosθ , r(θ ) sinθ ) r2 (θ ) + r′2 (θ ) d θ α
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β
备用题
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 r = a, θ = 0 及 θ = π 所围区域的边界, 求
4
2 2
2π
= 2π a ρ a + k
2 2
2
(2) L的质量 m = ∫ 而
L
= 2π ρ a2 + k 2 ρ ds
2 2
= aρ a + k
∫0
2π
cos t d t = 0
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= aρ a + k
2
2 2
∫0
∫0
2π
sin t d t = 0
t dt = 2π k ρ a + k
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: QL : y = x2 ( 0 ≤ x ≤1)
=∫ x
= ∫ x 1+ 4x2 dx
0
1
y
0 1
B(1,1)
y = x2 L
1 = 12 1 = ( 5 5 −1) 12
∫L
f (x, y) ds = lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ→0 k =1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 ∫ f (x, y) ds. L 思考: 思考 (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问∫ d s 表 什 ? 示 么
L
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? (3) ∫L f (x, y) ds 有何几何意义？
A
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2.定义 . 设 Γ 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 Γ上的一个有界函数, 若通过对 Γ 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
λ→0 k =1
(ξk ,ηk ,ζ k )
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆sk
n
记作
∫ = f (x, y, z)ds
2
2
y
= ϕ (t ) +ψ (t ) d t ′2 ′2
因此上述计算公式相当于“换元法”.
机动
o
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ds dy dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
= ∫ f (x,ψ (x) ) 1+ψ′2 (x) dx a
如果方程为极坐标形式: L : r = r(θ ) (α ≤θ ≤ β ), 则
, 如何
计算
X = x −1 X 2 +Y 2 + Z 2 = a2 解: 令 Y = y +1, 则 Γ : X +Y + Z = 0 Z = z
= ∫ ( X +1)2 ds
Γ
+ 2 ∫ X ds
Γ
2 3 = π a + 2⋅ X ⋅ 2π a 3
圆Γ的形心 在原点, 故
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3. 性质
(1)
∫Γ[ f (x, y, z) ± g(x, y, z) ]ds = ∫ f (x, y, z) ds ± ∫ g(x, y, z) ds Γ Γ
（k 为常数)
(3)
∫Γ
f (x, y, z) ds = ∫ f (x, y, z) ds + ∫
Γ 1
Γ2
f (x, y, z) ds
解: 由对称性可知
2
∫Γ x
2
ds = ∫ y ds = ∫ z ds
2 2 Γ Γ
1 2 2 2 ∴ ∫ x ds = ∫ (x + y + z ) ds Γ 3 Γ 1 2 1 2 = ∫ a ds = a ⋅2π a 3 3 Γ 2 3 = πa 3
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思考: 思考
例5中Γ 改为
(Γ由
组成)
( l 为曲线弧 Γ 的长度)
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（5） 若在曲线弧 Γ 上，有 f ( x, y, z ) ≤ g ( x, y, z ) ，则
∫
Γ
f ( x, y, z )ds ≤ ∫ g ( x, y, z )ds
Γ
（6） 若曲线弧 Γ 对称于 x 轴，函数 f ( x, y, z ) 关于 变量 y, z 是奇函数，则
y
y= x r =a
π
提示: 分段积分 提示
o
y =0 a x
4
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2. L为球面 x2 + y2 + z2 = R2在第一卦限与三个坐标 面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 2π R 3π R L3 l = 3∫ ds = 3⋅ = R o L1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L x 1 1 z= y=x= ∫ x ds l L1+L2 +L3 2 1 = [ ∫ x ds + ∫ x ds + ∫ x ds ]= ∫ x ds L2 L3 l L1 l L1
ds = (− 2sinθ )2
+ ( 2sinθ )
2 dθ = 2dθ
∴
9 2π I = ∫ 2dθ =18π 2 0
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y µ ds 解: d Fx = k cosθ (x, y) R2 µ ds θ d Fy = k sinθ −R o Rx 2 R π 2k 2k π Fx = ∫ θ cosθ d = [ θ sinθ + cosθ ] θ R R 0 0 π 2k 2k π Fy = ∫ θ sinθ d = [ −θ cosθ + sinθ ] θ R 0 R 0 故所求引力为 F = ( − 4k , 2kπ ) R R
(x2 + y2 ) 2 = a2 (x2 − y2 ) ( a > 0)
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0 ≤θ ≤ π ) 4
4 r cosθ 用对称性 , 得
o
x
= 4∫
π
0
′2 (θ ) dθ r (θ ) + r
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
2 2 2
= kρ a + k
2
2π
故重心坐标为 ( 0, 0, kπ )
第二节 目录
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内容小结
1. 定义
∫L f (x, y) ds
∫Γ f (x, y, z) ds
2. 性质
(1)
∫Γ[ α f (x, y, z) + β g(x, y, z) ] ds 常 + β ∫ g(x, y, z)ds (α, β 为 数) L (2) ∫ f (x, y, z) ds = ∫ f (x, y, z) ds + ∫ f (x, y, z) ds Γ Γ Γ
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
Γ上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . Γ 曲线形构件的质量 M = ∫ ρ (x, y, z) ds
Γ
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Mk ∆sk Mk−1
Γ
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积 分为 n
1
(3)
∫Γds = l ( l 曲线弧 Γ 的长度)
(Γ由Γ , Γ2 组 ) 成 1
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2
3. 计算 • 对光滑曲线弧
f (x, y) ds = ∫ f [φ (t ),ψ (t )] φ′2 (t ) +ψ′2 (t ) d t ∫L α
• 对光滑曲线弧
β
f (x, y)ds = ∫ f (x,ψ (x) ) 1+ψ′2 (x) dx ∫L a
α
−α
L α o R x
= ∫ R2 sin2 θ (−Rsinθ )2 + (Rcosθ )2dθ
3 α 2 =R sin θ dθ −α
sin 2θ = 2R − ∫ 4 0 2 = R3(α − sinα cosα )
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3 θ
α
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例3. 计算
其中L为双纽线
= lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ→0 k =1
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n
设各分点对应参数为 点 (ξk ,ηk )对应参数为
tk
∆sk = ∫
则
tk−1
′2 (t ) +ψ′2 (t ) d t ϕ
′ ′ = ϕ′2(τk ) +ψ′2(τk ) ∆tk ,
= lim ∑ [ϕ (τk ),ψ (τk ) ] f
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面域
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
• 对光滑曲线弧
b
∫L f (x, y)ds
= ∫ f (r(θ ) cosθ , r(θ ) sinθ ) r2 (θ ) + r′2 (θ ) d θ α
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β
备用题
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 r = a, θ = 0 及 θ = π 所围区域的边界, 求
4
2 2
2π
= 2π a ρ a + k
2 2
2
(2) L的质量 m = ∫ 而
L
= 2π ρ a2 + k 2 ρ ds
2 2
= aρ a + k
∫0
2π
cos t d t = 0
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= aρ a + k
2
2 2
∫0
∫0
2π
sin t d t = 0
t dt = 2π k ρ a + k
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: QL : y = x2 ( 0 ≤ x ≤1)
=∫ x
= ∫ x 1+ 4x2 dx
0
1
y
0 1
B(1,1)
y = x2 L
1 = 12 1 = ( 5 5 −1) 12
∫L
f (x, y) ds = lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ→0 k =1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 ∫ f (x, y) ds. L 思考: 思考 (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问∫ d s 表 什 ? 示 么
L
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? (3) ∫L f (x, y) ds 有何几何意义？
A
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2.定义 . 设 Γ 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 Γ上的一个有界函数, 若通过对 Γ 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
λ→0 k =1
(ξk ,ηk ,ζ k )
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆sk
n
记作
∫ = f (x, y, z)ds
2
2
y
= ϕ (t ) +ψ (t ) d t ′2 ′2
因此上述计算公式相当于“换元法”.
机动
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ds dy dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
= ∫ f (x,ψ (x) ) 1+ψ′2 (x) dx a
如果方程为极坐标形式: L : r = r(θ ) (α ≤θ ≤ β ), 则
, 如何
计算
X = x −1 X 2 +Y 2 + Z 2 = a2 解: 令 Y = y +1, 则 Γ : X +Y + Z = 0 Z = z
= ∫ ( X +1)2 ds
Γ
+ 2 ∫ X ds
Γ
2 3 = π a + 2⋅ X ⋅ 2π a 3
圆Γ的形心 在原点, 故
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3. 性质
(1)
∫Γ[ f (x, y, z) ± g(x, y, z) ]ds = ∫ f (x, y, z) ds ± ∫ g(x, y, z) ds Γ Γ
（k 为常数)
(3)
∫Γ
f (x, y, z) ds = ∫ f (x, y, z) ds + ∫
Γ 1
Γ2
f (x, y, z) ds
解: 由对称性可知
2
∫Γ x
2
ds = ∫ y ds = ∫ z ds
2 2 Γ Γ
1 2 2 2 ∴ ∫ x ds = ∫ (x + y + z ) ds Γ 3 Γ 1 2 1 2 = ∫ a ds = a ⋅2π a 3 3 Γ 2 3 = πa 3
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思考: 思考
例5中Γ 改为
(Γ由
组成)
( l 为曲线弧 Γ 的长度)
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结束
（5） 若在曲线弧 Γ 上，有 f ( x, y, z ) ≤ g ( x, y, z ) ，则
∫
Γ
f ( x, y, z )ds ≤ ∫ g ( x, y, z )ds
Γ
（6） 若曲线弧 Γ 对称于 x 轴，函数 f ( x, y, z ) 关于 变量 y, z 是奇函数，则
y
y= x r =a
π
提示: 分段积分 提示
o
y =0 a x
4
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2. L为球面 x2 + y2 + z2 = R2在第一卦限与三个坐标 面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 2π R 3π R L3 l = 3∫ ds = 3⋅ = R o L1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L x 1 1 z= y=x= ∫ x ds l L1+L2 +L3 2 1 = [ ∫ x ds + ∫ x ds + ∫ x ds ]= ∫ x ds L2 L3 l L1 l L1
ds = (− 2sinθ )2
+ ( 2sinθ )
2 dθ = 2dθ
∴
9 2π I = ∫ 2dθ =18π 2 0
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y µ ds 解: d Fx = k cosθ (x, y) R2 µ ds θ d Fy = k sinθ −R o Rx 2 R π 2k 2k π Fx = ∫ θ cosθ d = [ θ sinθ + cosθ ] θ R R 0 0 π 2k 2k π Fy = ∫ θ sinθ d = [ −θ cosθ + sinθ ] θ R 0 R 0 故所求引力为 F = ( − 4k , 2kπ ) R R
(x2 + y2 ) 2 = a2 (x2 − y2 ) ( a > 0)
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0 ≤θ ≤ π ) 4
4 r cosθ 用对称性 , 得
o
x
= 4∫
π
0
′2 (θ ) dθ r (θ ) + r
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
2 2 2
= kρ a + k
2
2π
故重心坐标为 ( 0, 0, kπ )
第二节 目录
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内容小结
1. 定义
∫L f (x, y) ds
∫Γ f (x, y, z) ds
2. 性质
(1)
∫Γ[ α f (x, y, z) + β g(x, y, z) ] ds 常 + β ∫ g(x, y, z)ds (α, β 为 数) L (2) ∫ f (x, y, z) ds = ∫ f (x, y, z) ds + ∫ f (x, y, z) ds Γ Γ Γ