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高等数学 对坐标的曲线积分

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高等数学第十章曲线积分

高等数学第十章曲线积分
y x
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分

I2(2x yy2z)dx d2 y xyd x dd x(y 2x)d yy
1
D xy
a a2 x2
(3) I x2zdy d(xz2yz3)dz d(2xxy y2z)dxdy I1I2
2020/6/10
>> syms a x y z s r t >>P=x*z^2; >>Q=x^2*y-z^2; >>R=2*x*y+y^2*2; >>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z); >>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)',
逆时针方向。
2 、计算下列曲面积分
2020/6/10
(1) (2xy2x2xz)ds，其中Σ为平
(2) 面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分.
(2) x2 y2zdxdy,其中Σ是球面x2+y2+z2=R2
的下半部分的下侧。
(3) xdydzydzdxzdx，d其y 中Σ是界于
z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9 的整个表面的外侧。
R[x(t),y(t),z(t)]z(t)}dt
[例2]计算∫Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 Γ是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0）
的直线段 AB 。
2020/6/10
[解]直线段 AB 的方程为 x y z
321
x 3t
化为参数方程
y
2t
t：1→0
z t
x3dx3zy2dyx2ydz
y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分

高等数学 第二节 对坐标的曲线积分

高等数学 第二节 对坐标的曲线积分

第十一章 第二节
9
定积分的定限原则：起点对下限，终点对上限， 下限不一定小于上限。 {P[(t) , (t)](t) Q[(t) , (t)] (t)}dt 其他情形
(1) L : y y( x) ( x : a b)
b
L Pdx Qdy a {P[x , y( x)] Q[x , y( x)]y( x)}dx
(可推广到空间曲线 上)
第十一章 第二节
16
L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds : x (t) , y (t) , z (t) (t : a b)
Γ 上点( x , y , z)处的切向量的方向角为 , ,
则 Γ Pdx Qdy Rdz Γ (P cos Q cos Rcos )ds
n
3) “求和” W P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
k1 n
4) “取极限” W
lim 0 k1
P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
为所有小弧段长度的最大值
第十一章 第二节
3
2 定义 设 L 为 xOy 平面内从 A 到 B 的一条有向 光滑弧，在 L 上定义了一个向量值函数
1 引例 变力沿曲线所作的功。 y L
B
设一质点受如下变力作用
F ( x , y) (P( x , y) , Q( x , y))
A
x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B ，
求移动过程中变力所作的功W。
常力沿直线所作的功
F W F AB cos
A
B F AB
第十一章 第二节
L
k
对积分域 的可加性

高数第十一章复习

高数第十一章复习
第十一章
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理 一、 两类曲线积分
定义 对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求 ）
其中
是以 点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线 解 上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得 由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为 螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域 内 条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶 连续偏导数 以下四个命题等价： 以下四个命题等价： 内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立 内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分 的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

高等数学之对坐标的曲线积分

高等数学之对坐标的曲线积分

高 等 数 学 电 子 案
例1 计算 L xydx
,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点
y
B(1,1) o A(1,-1)
B(1,1)的一段弧.
解法一：把x作为参数,利用对x的定积分
x
来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数
可用积分路线的方程来处理.
xydx
L

AO
xydx xydx
由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) xi ( i)ti
应用微分中值定理，有 其中 ti ti ti 1 , i 在 ti 1 与 t i 之间，于是

L
P( x, y )dx lim P ( i ), ( i ) ( i)ti
L 0 i 1 i i
n
i
为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时,
Q( , )y Q( x, y)dy lim
L 0 i 1 i i
n
i
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
高 等 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 数 学 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 电 n 子 [P(i ,i , i )xi Q(i ,i , i )yi R(i ,i , i )zi ] 案 lim 0
P( x, y)dx 存在，并且有
L
P( x, y)dx P (t ), (t ) (t )dt

L
同理可证：
Q( x, y)dx Q (t ), (t ) (t )dt
L

高 等 (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： 数 学 设 x x(t ), y y(t ), z z(t ), 则 电 子 Pdx Qdy Rdz 案

高等数学第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分


(1)沿圆弧, (2)沿X轴.
解(1)沿圆 L1弧 :
Bo
x acos y asin
:0
L 1y 2 d x 0 a 2 s2 in a s in d
4 3
a
3
.
Ax
(2)沿X轴,
L2 :
x t y 0
t:a a.
L 2y2dxa a0dt0. 积分路径,积 不分 同值.不 24
例 8I L x 2 d x xy ,L 是 dy由 y x 抛 2 从 (0 ,0 物 )
两类曲线积分之间的关系 :
L F d L P d x Q d y R d z
前页公式:
d
t d
LF
t
d
第二类曲线积分
L F
t
d L P co Q c so R c so d s
zm 1 Lz(x,y,z)ds
m 10 2 k t a 2 k 2 t2 a 2 k 2dt
15
如果 L是平面(极 曲坐 线 ):标
r r ( )
则 xy rr(())csions
L
rd
dr d
d r
o
x
d ( r co r ss i ) 2 n ( r si r n c) o 2 ds
W 1 L y d x x d y ( x y z ) d z
终点B 起点A
0 2 y x x y (x y z )z d t
19
W1 0 2 0 2 (a y s x ti) x ( n y a s (x ti) n y (a c z )z to ) ( d a tc sto ) L : s x yz aa 2cc st in o tt

高等数学同济六版第十章10-2

M i −1 M i = ( ∆xi ) i + ( ∆yi ) j .
取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i ) i + Q (ξ i ,η i ) j ,
∆Wi ≈ F (ξ i ,η i ) ⋅ M i −1 M i ,
y
F(ξi ,ηi )
B
L
A
M2 M1
Mi−1 x i ∆
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
y
变力沿曲线所作的功
L : A → B,
F ( x , y) = P ( x , y)i + Q ( x, y) j
B
L
A
M2 M1
Mi−1 xi ∆
∆yi
Mi Mn−1
常力所作的功 W = F ⋅ AB . o
x
分割 A = M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),⋯ , M n−1 ( x n−1 , y n−1 ), M n = B .
n
n
性质 (1) 如α 与β 是 常数 则 常数,则
∫L [α F 1 ( x , y ) + β F 2 ( x , y )] ⋅ d r = α ∫ F 1 ( x , y )d r + β ∫ F 2 ( x , y )d r L L
( 2) 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向 曲线弧 L1和 L2 , 则
i =1
n
精确值
定义
设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y )在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), ⋯ , M n−1 ( xn−1 , yn−1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i −1 M i ( i = 1,2,⋯, n; M 0 = A, M n = B ). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点( ξ i , ηi )为 M i −1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 λ → 0时 ,

《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分


x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数

高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课


L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
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其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.
L
8
O
x
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!
11.2.2 第二型曲线积分的计算
定理11.2 设 P( x, y ),Q( x, y ) 在有向曲线弧L上连续, x (t ) L的参数方程为 , 当参数 t由变到时, y (t ) 点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
BO
xydx ( y x )dy
5 1 2 3 3
15
(2) AO : y 0, dy 0.
y
1
O
1

A点对应 x 2, O点对应 x 0,
I xydx ( y x )dy
L
2

A
x
x 0dx 0 0
2
0
问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果也不同.
y起点为c , 终点为d
则
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy d { P[ x ( y ), y ] x( y ) Q[ x ( y ), y ]}dy c
10
x (t ) (3) 对于空间曲线 : y ( t ), t起点 , 终点 z (t )
常力沿直线所作的功
W F AB
A M0
O
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), M n B
M i 1 M i (xi )i (yi ) j
1
取
F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
A
O
A点对应 t 0, B点对应 t

0

2
1
x
.
I 2 [(cos t sin t )( sin t ) (cos t sin t ) cos t ]dt
2 (cos 2t sin 2t )dt 1 0
17

(2) I ( x y )dx ( x y )dy
1
y
BO : y x, dy dx
1
O
B

B点对应 x 1, O点对应 x 0,
A

BO
0
xydx ( y x )dy
1
2
x
1 [ x x ( x x )]dx 1 3
I xydx ( y x )dy
L

AB
xydx ( y x )dy
L
其中 ds dxi dyj6 dzk (dx, dy, dz ).
对坐标的曲线积分具有下列性质: 设 A ( P ( x, y ), Q( x, y )), B ( P1 ( x, y ), Q1 ( x, y )) 沿平面曲线L的第二型曲线积分存在, 则
0
1
1
4 2 x dx 0 5
1
12
3 2
计算 xydx , 其中L为抛物线 y 2 x上从
L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
(2) 取 y为积分变量
y
B(1,1) y2 x
x y 2 , dx 2 ydy , y从 1到1
2 xy d x y L y 2 ydy 1 1
i 1 n
O
M2 M1 A M0
L

xi
yi
M n1


x
近似值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ]
i 1
n i 1
精确值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ] 取极限 W lim 0
L
n
n
0
i 1
称 Q ( x , y ) 在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分.
积分弧段
被积函数
4
在应用中常出现组合形式
L P ( x , y )dx L Q( x , y )dy P ( x , y )dx Q( x , y )dy L
或向量“点积”形 式 P ( x , y )dx Q( x , y )dy A ds
11
例 计算

L
xydx , 其中L为抛物线 y 2 x上从
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
解 (1) 取 x为积分变量
y
y x
⌒ xydx L xydx ⌒ xydx OB
AO
B(1,1) y2 x
O
x
A(1,1)
x ( x )dx 0 x xdx
且它们的方向相应地一致, 则
y
L L1
L2
O
L2
L Pdx Qdy
有向曲线, 则
x
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy
y
(3) 有向性: 设L是有向曲线, L是与L方向相反的
L
L
LP ( x, y)dx Q( x, y )dy
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
P ( x , y, z )dx Q( x , y, z )dy R( x , y, z )dz
{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )

R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
或
W lim P ( i ,i )xi lim Q( i ,i )yi
0
i 1
2
n
n
0
i 1
定义11.2 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 曲线弧, 函数P( x, y ), Q( x, y )在L上有界. 用L上的点
A M0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), Mn B
(1) 线性性质: k1 A k2 B 沿曲线L的第二型曲线
积分存在, 且 ( k1 A k 2 B ) d s k1 A d s k 2 B d s
L L L
其中 k1 , k 2 为任意常数.
7
(2) 可加性: 如果把L分成L1和L2 ,
16
例 计算 I L ( x y )dx ( x y )dy, 其中
(1) L为从点 A(1,0)沿上半单位圆至点B(0,1); ( 2) L为折线段 AOB, 从点 A(1,0)到点O(0,0)至 点B(0,1).
y B 1
x cos t 解 (1) L的参数方程为 , y sin t
n
P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分,
或称第二型曲线积分. 记作 P ( x , y )dx , 即
L
P ( i , i )xi L P ( x , y )dx lim 0 i 1
类似地定义 Q ( x , y )dy lim Q( i , i )yi
在OB上, x 0, y 从0到1,
虽然路径不同, 但积分结果相同.
18
( x y )dx ( x y )dy 例 计算 I , 其中L为圆周 2 2 L x y
x 2 y 2 a 2 (a 0) 沿逆时针方向绕行一周 .
解 L的参数方程为
x a cos t , (0 t 2 ) y a sin t
y
解 (1) L AB BO,
AB : y 2 x, dy dx.
1
B

O x 2 , A点对应 B点对应 x 1,
A
1
2
x

AB
xydx ( y x )dy
5 [ x(2 x ) (2 x x )(1)]dx 2 3 14
AO
I ( x y )dx ( x y )dy
L
( x y )dx ( x y )dy
OB
y 1 B
在 AO 上, y 0, x从1到 0,
A
0 1

AO
( x y )dx ( x y )dy
1
1 xdx 2
O
1
x
1 OB ( x y)dx ( x y)dy 0 ydy 2 1 1 I 1 2 2 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同,
L L
L
其中 A P( x, y)i Q( x, y) j ( P( x, y),Q( x, y)),
ds dxi dyj (dx, dy)
沿闭曲线L的曲线积分记作
5

L
Pdx Qdy .
物理意义 变力F P( x, y)i Q( x, y) j 沿平面曲线L所做 的功为
M i 1 M i (xi )i (yi ) j
F ( i , i ) B M n M

i
取近似 Wi F ( i ,i ) M i 1 M i y
即 Wi P( i ,i )xi Q( i ,i )yi
n
M i 1
求和 W Wi
W P ( x , y )dx Q( x , y )dy L F ds ds (dx, dy )