《材料力学 第2版》_顾晓勤第04章第4节 圆轴扭转时横截面上的应力

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上海应用技术学院
两端加外力偶矩 M，使 ， 薄壁圆筒产生扭转变形 扭转变形。 薄壁圆筒产生扭转变形。 实验现象： 实验现象： (1) 圆周线形状、大小、 圆周线形状、大小、 间距不变， 间距不变，仅绕轴线 相对转动； 相对转动； (2) 纵向线倾斜了 γ 角； (3) 矩形 矩形abcd变成了平行 变成了平行 四边形a'b'c'd'。 四边形 。 推知： 推知： (1) 过半径的纵向截面上无正应力； b 过半径的纵向截面上无正应力； (2) 横截面上无正应力，只有切应力。 横截面上无正应力，只有切应力。
γ
§9–4 圆轴扭转横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式 1. 扭转试验研究 扭转试验研究——变形几何关系 变形几何关系 目的： 目的： 确定横截面上各点应变 分布规律。 分布规律。 圆轴扭转试验： 圆轴扭转试验： 薄壁圆筒表面作圆周线，纵向 薄壁圆筒表面作圆周线， 形成小矩形。 线，形成小矩形。 实验现象： 实验现象： 现象 (1) 圆周线绕轴线相对转动，但 圆周线绕轴线相对转动， 形状、大小、间距不变； 形状、大小、间距不变； (2) 纵向线仍为直线，但倾斜了γ 角； 纵向线仍为直线， (3) 矩形 矩形abcd变成了平行四边形 变成了平行四边形a'b'c'd'。 变成了平行四边形 。
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c d
a' b'
c' d'
在横截面上半径 ρ 处 e 点： 同样有： 同样有： ee' = ρ dφ = γρdx 切应变： ∴ e 点切应变： γ ρ = ρ
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dφ ： 的变化率，对给定的截面为一常量。 扭转角 φ 沿轴线 x 的变化率，对给定的截面为一常量。 dx

∑F
x
=0
拉为正、 拉为正、压为负 4、轴力图：轴力沿杆 轴力图： 件轴线的变化
目录
FN − F = 0 FN = F
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1 例题2.1
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
已知F1=10kN；F2=20kN； =10kN； =20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 =35kN； =25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 出图示杆件的轴力图。
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 根据强度条件， 1、强度校核： 强度校核：
2、设计截面： 设计截面：
FN σ max = ≤ [σ ] A FN A≥
3、确定许可载荷： 确定许可载荷：
[σ ] FN ≤ A[σ ]
目录
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.4 例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。 D=350mm，油压p=1MPa 螺栓许用应力[σ]=40MPa p=1MPa。 [σ]=40MPa， D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F = D 2 p
F
a′ b′
a
b
c
c′ d′
F
FN = =σ
∫ σ dA
A
d
∫ dA
A
=σ A
FN σ= A
目录
各横截面依然平行
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN σ = A
平 外 力 作 用 方 式 的 影 响 力 而 趋 于 离 的 横 截 面 上 在 离 杆 件 外 力 作 用 点 一 定 距

精选全文完整版解：画出杆的扭矩图如图所示。

可知最大弯矩为6kN ·m。

分别根据强度条件和刚度条件选择杆件直径，取其大者。

（1）根据强度条件τmax =M n,maxW p=163.14d3M n,max ≤[]τ得：[]d ≥316M n,max3.14=0.091m=91mm（2）根据刚度条件θ=M n GI p=323.14d 4M n ≤[]θG得：[]d ≥32M n3.14=0.078m=78mmθG由以上计算结果可知，杆所需的直径d=91mm 。

4、起重吊车AB 行走于CD 梁上，CD 梁是由两个同型号的工字钢组成。

已知吊车的自重为5kN ，最大起重量为10kN ，钢材的容许应力[σ]=160MPa ， CD 梁长L=12m ，根据正应力强度条件确定工字钢的截面系数（设荷载平均分配在二工字钢上）。

解：吊车及其起重物的重量由吊车的前后轮承担，各受7.5kN 的力。

37.5kN.m 13.75kN6.25kN1.25kN当吊车行驶到梁中部时，梁有最大弯矩，从附图的弯矩图可知，最大弯矩值为：M max = 37.5 kN.m当吊车行驶到梁的一端时，梁端有最大剪力，从附图的剪力图可知，最大剪力值为： Q max = 13.75kN先以正应力强度选择工字钢型号。

由正应力强度条件（由于梁是由两个工字钢组成）[]M maxσσmax =2W z≤ 得：[]M max σ≥=W z 2117cm 45、平行杆系列化、2、3悬吊着刚性横梁AB 如图（a ）所示。

在横梁上作用着荷载G 。

如杆菌、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A 、I 、E 。

试求：三根杆的轴力N 1，N 2，N 3。

6、已知圆轴受外力偶矩m=2KN，材料的许可切应力[τ]=60MP。

（1）试设计实心圆轴的直径D1；（2）若该轴改为α=d/D=0.8的空心圆轴，试设计空心圆轴的内、外径d2、D2。

7、用钢板制成的工字形截面梁其尺寸及梁上荷载如图所示，已知P=90kN，钢材的容许应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，试全面校核梁的强度(按第三强度论)。

ql 2
解得 FBy ql
17
4.3 平面弯曲时梁横截面上的内力—剪力和弯矩
F=ql
Me=ql2/8
q
A
C
ED
B
ql/2 l/4
l/4
l/4 l/4
ql
2.求D截面的内力
D截面的剪力：
FQ
ql 2
ql
ql 4
3 4
ql
D截面的弯矩： M ql l q l l 7ql2
4 4 8 32
Fab l
B 3.画剪力图和弯矩图
x
FBy
FQ1
FAy
Fb ab
Fa
x
FQ2
FBy
ab
M1
FAy x1
Fb ab
x1
x
M2
FBy x2
Fa ab
x2
21
4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例3
x列1 内力FQ，MMe 方x程2 ,作FQ，解M:
图 1.求支反力
A
B
C
校核支反力！
a
Me/(a+b) FQ
4. 静不定梁的基本形式 （1）连续梁 （2）一端铰支梁 （3）固定梁
11
4.2 梁的支座及载荷的简化
12
4.3 平面弯曲时梁横截面上的内力—剪力和弯矩
1.用截面法求内力
y a
F n
Me
q
A xn
1）首先正确求支反力 B x 得到 FAy和FBy
2）截面法求n-n内力
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4.3 平面弯曲时梁横截面上的内力—剪力和弯矩
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
一. 平面弯曲的概念和实例