数理统计 单正态总体均值的置信区间

参数估计

一、 知识点

1. 矩估计法；极大似然估计法

2. 估计量的评判标准（会验证一个估计量的无偏性，比较两个无偏估计量的有效性）

3. 区间估计的概念

4. 会求一个正态总体期望和方差2的置信区间

二、习题解答

1. 设总体X～22()(),0pxaxxaa，求参数a的矩估计。

解：22002()()()3aaaEXxpxdxaxxdxa

令3aX，3aX，由矩估计定义知a的矩估计ˆ3aX。

2. 设总体X～()(1),01,apxaxx求

（1） 参数a的矩估计，（2）参数a的似然估计

解：（1）112110001()()(1)(1)22aaxaEXxpxdxaxdxaaa

令12aXa，211XaX，由矩估计定义知a的矩估计21ˆ1XaX

（2） 似然函数()(;)(1)(1)()anaiiiLapxaaxax

ln()ln(1)lniLanaax， 由ln()ln01idLanxdaa

 1lninax，得a的极大似然估计ˆ1lninax

3. 总体X服从区间[a,b]上的均匀分布，

（1） 求参数a,b的极大似然估

（2） 设从总体取得样本1.4，2.5，1.6，1.8，2.2，1.8，2.0。分别求a,b的矩估计值和极大似然估值。

解：（1）总体X的密度函数1,()0,axbpxba其他

似然函数1,1,2,,()()(;,)0iniaxbinbaLabpxab，其他

显然， ba越小，似然函数就越大，但由于,1,2,,iaxbin，所以能套住所有的ix的最短区间（ˆa，ˆb）应为：1ˆminiinax，1ˆmaxiinbx

（2）由课本例题知，a,b的矩估计为ˆ3ˆ3aXsbXs，代入样本值得矩估计ˆa＝1.31，ˆb＝2.49；极大似然估ˆa＝1.4，ˆb＝2.5

数理统计11：区间估计，t分布，F分布

在之前的⼗篇⽂章中，我们⽤了九篇⽂章的篇幅讨论了点估计的相关知识，现在来稍作回顾。⾸先，我们讨论了正态分布两个参数——均值、⽅差的点估计，给出了它们的分布信息，并指出它们是相互独⽴的；然后，我们讨论到其他的分布族，介绍了点

估计的评判标准——⽆偏性、相合性、有效性；之后，我们基于⽆偏性和相合性的讨论给出了常⽤分布的参数点估计，并介绍了两种常⽤于寻找点估计量的⽅法——矩法与极⼤似然法；最后，我们对点估计的有效性进⾏了讨论，给出了⼀些验证、寻找UMVUE的⽅法，并介绍了CR不等式，给出了⽆偏估计效率的定义。

以上就是我们在前九篇⽂章中提到的主要内容，还顺便介绍了⼀些常⽤的分布：Γ分布、β分布、χ2分布。

今天开始，我们将进⼊区间估计与假设检验部分。由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！

⽬录

Part 1：什么是区间估计

区间估计同样是参数估计的⼀种⽅法，不同于点估计⽤样本计算出的⼀个统计量直接作为原始参数的估计，区间估计会根据抽取出的样本，计算出⼀个基于样本

观测值的区间。简单说来，如果对总体f(x;θ)中的参数θ作估计，则⾸先从总体中获得样本\boldsymbol{X}=(X_1,\cdots,X_n)，并确定两个具有确定⼤⼩关系的

统计量\hat g_1(\boldsymbol{X})\le \hat g_2(\boldsymbol{X})，根据样本观测值计算出的区间[\hat g_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})]就是待估参

数\theta的区间估计。

由此，我们可以看出，区间估计依然是依赖于统计量的，并且往往需要不⽌⼀个统计量。区间估计相⽐于点估计的特点是，区间估计给出了⼀个相对“粗糙”的范

围，这就导致你需要使⽤这个参数时，不像点估计⼀样能直接把估计值拿来⽤；但是，区间估计具有涵盖参数真值的可能，因为当参数空间\Theta的取值连续

- 1 - 基础知识

二点分布的概率函数：11,0,1,01kkPXkppkp

二项分布,bnp 1,0,1,,,01nkknpXkppknpk

泊松分布P ,0,1,2,,0!kPXkekk

几何分布 11,1,2,,01kPXkppkp

均匀分布 1,0,axbfxba其他； 指数分布 ,00,0xexfxx

正态分布 2,N 2221,2xfxex

bapaXb ()()xFxmfs-= ()1()xxff-=-

期望：EYEgxgxfxdx

性质:Ecc EkXbkEXb 11nniiiiiiEcXcEX 11nniiiiEXEX

方差：22DXEXEX 2DXEXEX

性质：0Dc 2DkXbkDX 11nniiiiDXDX

特殊函数的期望和方差:

,,1XbnpEXnpDXnpp ,XPEXDX

211,,212XUabEXabDXba

211,XEEXDX 22,,XNEXDX

协方差：,CovxyEXYEXEY

性质：,0CovXc ,,CovaXbYabCovXY ,,,CovXYZCovXYCovXZ

概率论与数理统计实验实验3 参数估计 假设检验实

验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。2、假设检验1、参数估计3、

实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样

本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为 F(x, )，其中 为未知参

数 ( 可以是参数估计点估计区间估计点估计 —— 估计未知参数的值

区间估计—— 根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知

参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法 基本思想是用样本矩估计总体矩 .令设总体分布含有个m未知参数 ??1 ，…，??m解此方程组得其

根为 分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。2、最大似然估计法

（二）、区间估计的求法 反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个

区间可能包含未知参数 的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占

置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本 来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知 , ?? 的置信区间 2、方差的区间估计

未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参

数估计 设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获

得： [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 此命令以alpha

为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估

计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，

并以此为样本值，给出 ?? 和 ?? 的点估计和区间估计命