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6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间

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《应用统计学》第6章：置信区间估计

《应用统计学》第6章：置信区间估计
求解正态总体均值 的置信区间。
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量

概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间

概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间

[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1

第四节正态总体的置信区间

第四节正态总体的置信区间

第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。

在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。

第二章参数估计

第二章参数估计

第二章 参数估计【学习目标】1、掌握矩估计的替代原则；会求已知分布中未知参数的矩估计（值）2、熟练掌握极大似然估计的思想及求法3、估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性的定义4、统计量的无偏性的判断；两个无偏估计的有效性判断；会用Fisher 信息量及c-R 下界进行统计量的UMVUE 充分性判断5、掌握区间估计的定义6、单个正态总体均值的区间估计（包括方差已知、方差未知）；单个正态总体方差的区间估计（包括均值已知、均值未知）7、两个正态总体均值差的区间估计（方差未知）；两个正态总体方差比的区间估计 8、单侧置信区间的求法 【典型例题讲解】例1、设1,,n X X 是来自均匀分布(,1)U θθ+的总体的容量为n 的样本，其中θ-∞<<+∞为未知参数，试证：θ的极大似然估计量不止一个，例如1(1)ˆXθ=，2()ˆ1n X θ=-，3(1)()11ˆ()22n XXθ=+-都是θ的极大似然估计。

解：(,1)U θθ+分布的密度函数为11()0x f x θθ≤≤+⎧=⎨⎩其他似然函数(1)()11()0n x x L θθθ≤≤≤+⎧=⎨⎩其他由于在(1)()1n x x θθ≤≤≤+上()L θ为常数，所以凡是满足：(1)()ˆˆ1n x x θθ≤≤≤+的ˆθ均为θ的极大似然估计。

从而（1）1(1)ˆX θ=满足此条件，故1(1)ˆX θ=是θ的极大似然估计；（2）由于()(1)1n X X -≤，故2()(1)()2ˆˆ11n n X X X θθ=-≤≤=+，所以2()ˆ1n Xθ=-为θ的极大似然估计；（3）由于()(1)1n X X -≤，故(1)()(1)12n X X X +-≤，(1)()()12n n X X X ++≥，从而有3(1)()(1)()(1)()31111ˆˆ()()12222n n n XXXXXXθθ=+-≤≤≤++=+，故3ˆθ也为θ的极大似然估计。

6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间

6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间

6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 µ1 − µ 2的置信区间
2 σ1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 σ2
3. 小结
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为 第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为第二
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 (θ , θ ), 它覆盖未知参 间 ( 数具有预先给定的概率置信水平) , 即对于任
意的θ ∈Θ, 有 P{θ < θ < θ } ≥ 1−α. 求置信区间的一般步骤(分三步 分三步). 求置信区间的一般步骤 分三步
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（ 计
工人 操作 机器人 操作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00
2 σ1 , 由 X , Y 的独立性及 X ~ N µ1 , n1 2 2 σ1 σ 2 , + 可知 X − Y ~ N µ1 − µ 2 , n1 n2
2 σ2 , Y ~ N µ2 , n2
或
( X − Y ) − (µ1 − µ 2 ) ~ N (0, 1),
2 s1 s12 1 1 2 , 2 s F (6,7) s F (6,7) = ( 2.87,46.81). 0.95 2 2 0.05
这个区间的下限大于1，在实际中， 这个区间的下限大于 ，在实际中，我们就认为

概率论-6-4单个正态总体的置信区间

概率论-6-4单个正态总体的置信区间
参数估计
§6-1 参数的点估计 §6-2 估计量的评选标准 §6-3 参数的区间估计 §6-4 单个正态总体均值与方差的置信区间 §6-5 两个正态总体均值与方差的置信区间 §6-6 单侧置信限
§6-4 单个正态总体均值的置信区间
均值μ的置信区间
方差 的2 置信区间
设总体 X ~ N (, 2 )，X1, X 2,, X n 为来自总体X的样本. 样本均值：X ，样本方差：S 2 ，给定置信水平为：1
区间，使可信程度为95%。
解：这是 2未知，求 的置信区间
x
1259,
S2
1 4
5 i 1
( xi
x)2
570 4
由1- 0.95，知 0.05
又 t /（2 n 1） t0.02（5 4） 2.776 的置信水平为0.95的置信区间为：
X t / 2 (n 1)
s n
1259
507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
若依此区间内任一值作为 的近似值,
其误差不大于 6.2022 2.1315 2 6.61 (克). 16
这个误差的可信度为95%.
练习：某仪器间接测量温度，重复测5次：1250℃, 1265 ℃,
1245 ℃, 1260 ℃, 1275 ℃ ，设测量值，求温度真值的置信
解：这是 未知，求 2的置信区间
由 题x
503.75,
S2
1 15
16 i 1
( xi
x)2
6.20222
由1- 0.95，知 0.05
查 表 得 20.02（5 15） 27.488 20.97（5 15） 6.262
的置信水平为0.95的置信区间为：

双正态总体参数的区间估计

双正态总体参数的区间估计

双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。

这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。

下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。

双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。

首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。

我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。

如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。

具体步骤如下：1.收集样本数据。

从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。

2.计算样本平均值。

对于每个总体，计算对应样本的平均值。

3.计算差值。

对于每个配对样本，计算它们的差值。

如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。

4.计算标准差。

计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。

5.确定置信水平。

选择一个置信水平，通常为95%。

这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。

6.计算临界值。

确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。

7.构建置信区间。

使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。

另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。

在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。

具体步骤如下：1.收集样本数据。

从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。

2.计算样本比例。

对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。

3.计算差异。

对于每个配对样本，计算它们的比例之差。

4.计算标准误差。

计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。

置信区间PPT精选文档

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9
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2

6-4两个正态总体均值差及方差比的区间估计

6-4两个正态总体均值差及方差比的区间估计

计算
uα = u0.05 = t0.05 (∞) = 1.645.
2
0.182 0.242 + uα = + × 1.645 ≈ 0.168. 2 n1 n2 8 9 所求置信区间为
即
2 σ 12 σ 2
(15.05 − 14.9 − 0.168 ,15.05 − 14.9 + 0.168) .
(−0.018,0.318) (m ). m
2 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2 . 其中 S w = n1 + n2 − 2
分析: 分析: __
U=
( X − Y ) − ( µ1 − µ2 ) ~ N (0,1) , 1 1 σ + n1 n2
__
χ2 =
(n1 − 1) S12
σ2
+
2 (n2 − 1) S2
σ2
~ χ 2 (n1 + n2 − 2).
2 2 σ1 σ2 在置信水平1 − α 下的置信区间

2 2 未知 σ1 ,σ2
(σ 1 = σ 2 )
已知 µ ,µ2 1
n n 1 1 2 (Xi −µ ) n (Xi −µ )2 n ∑ ∑ 1 1 1 1 i= 1 i= 1 , n2 n2 F (n ,n2)∑ Yj −µ2)2 n2 F−α (n ,n2)∑ Yj −µ2)2 n2 ( ( α 2 1 1 2 1 1 1 j= j=
100(1 − α )% 的可靠性可以认为 µ1 < µ2 .
概率论与数理统计教程（第四版）
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§6.4 两个正态总体均值差及方差比的区间估计

参数的区间估计

参数的区间估计

若存在统计量 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 和 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )， 使得 P {θ θ θ } 1 α， 则称区间 (θ , θ ) 是参数θ 的置信度为1-α的置信区间， θ 和 θ 分别称为置信度 为1-α的置信区间的置信下限和置信上限， 1-α称为置 信度。
第四节
参数的区间估计
一、置信区间和置信度 二、单个正态总体均值和方差的置信区间 三、两个正态总体均值差的置信区间 四、两个正态总体方差比的置信区间
一、置信区间和置信度 P152
1.定义： 设总体X的概率密度为 f ( x , θ )， θ是未知参数， X1,X2,…,Xn为X 的样本，对于事先给定的α (0<α<1)，
（一）总体均值 的估计 2 1. 方差 已知 （X z 2 , X z 2 ）
n n
S S 2. 方差 （X t ( n 1), X t ( n 1) ） n 2 n 2 （二）总体方差n 2的估计 n
2未知
1. 已知
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
注： (1)置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间
长度越小，估计的精确度越高. (2)置信度1－α反映了估计的可靠度， 1－α 越大越可
靠. 但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确
度就会降低可靠度. 处理原则： 先保证可靠度（置信度）1－α, 再选置信区间中长 度最小的那个以提高精确度.
二、单个正态总体均值和方差的置信区间
所以，总体均值 的置信度为0.95的置信区间是：
n 7 7 （ 115 1.96 , 115 1.96 ） （110.43 , 119.57） 9 9

两个正态总体均值或方差的比较

两个正态总体均值或方差的比较

研究目的
01
确定两个正态总体均值或方差是否存在显著差异，为进一步的 数据分析和决策提供依据。
02
探讨比较两个正态总体均值或方差的方法和步骤，为实际应用
提供指导。
通过实例分析和模拟实验，验证比较两个正态总体均值或方差
03
的有效性和可靠性。
02
正态分布的基本性质
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，形状由均值和标准 差决定。
两个正态总体均值或 方差的比较
• 引言 • 正态分布的基本性质 • 两个正态总体均值的比较 • 两个正态总体方差的比较 • 结论
目录
01
引言
主题介绍
正态分布是自然界和工程领域中最常 见的概率分布之一，它描述了许多自 然现象和随机过程的分布特征。
比较两个正态总体的均值或方差是统 计学中一个重要的问题，它涉及到如 何评估两个总体的参数是否存在显著 差异。
社会学领域
社会调查和人口统计中的许多数 据也呈现出正态分布的特征，如 考试分数、家庭收入等。
03
两个正态总体均值的比较
样本和总体均值的计算
样本均值
样本均值是样本数据集中所有数值的 和除以样本大小，用于估计总体均值。
总体均值
总体均值是总体中所有数值的和除以 总体大小，是总体数据的平均水平。
假设检验
两个正态总体方差比较
对两个正态总体的方差进行比较，我们发现它们的方差大小不同，这表明两个总体的离散程度存在差异。
对未来研究的建议
进一步探讨其他统计方法
除了均值和方差，还可以考虑使用其他统计方法，如中位数、众数等，来比较两个正态 总体的分布特性。
考虑样本大小的影响
在比较两个正态总体时，样本大小是一个重要因素。未来研究可以探讨不同样本大小下 两个正态总体均值或方差的比较结果。

两个正态总体均值及方差比的置信区间

两个正态总体均值及方差比的置信区间
置信区间的应用
置信区间为决策者提供了关于两个正态总体均值和方差比的不确定性估计。在许多实际应用中，如质量控制、生物统 计和金融等领域，这种不确定性估计对于制定决策和预测具有重要意义。
置信区间的精度
置信区间的精度取决于样本大小、总体分布以及所使用的统计方法的性质。在实践中，为了获得更精确 的置信区间，需要综合考虑这些因素，并选择适当的统计方法。
结合研究背景和实际应用场景，分析结果对实践的指 导意义和价值。
提出改进建议
根据分析结果，提出对未来研究的改进方向和建议。
05
总结与展望
研究成果总结
置信区间的计算方法
通过使用样本数据和适当的统计方法，可以计算出两个正态总体均值和方差比的置信区间。这些方法包括参数方法和 非参数方法，其中参数方法假设数据符合正态分布，而非参数方法则不依赖于数据分布的假设。
两个正态总体均值及 方差比的置信区间
目录
• 引言 • 两个正态总体均值的置信区间 • 两个正态总体方差比的置信区间 • 实际应用案例分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
确定两个正态总体均值和方差比在一 定置信水平下的区间范围，为统计推 断提供依据。
解决实际生活中比较两个总体参数的 问题，如质量控制、医学研究Fra bibliotek经济 分析等领域。
公式：方差比的置信区间计算公式为 $left[frac{sigma_1^2}{sigma_2^2} pm t_{alpha/2,df} cdot sqrt{frac{hat{sigma}_1^2}{hat{sigma}_2^2} cdot left(frac{1}{n_1} + frac{1}{n_2}right)}right]$，其 中 $t_{alpha/2,df}$ 是t分布的临界值，$n_1$ 和 $n_2$ 是两个总体的样本量，$hat{sigma}_1^2$ 和 $hat{sigma}_2^2$ 是两个总体的样本方差。

两个正态总体均值差的区间估计

两个正态总体均值差的区间估计

两个正态总体均值差的区间估计实验一一、实验目的熟悉SPSS的参数估计功能，熟练掌握两个正态总体均值之差（独立样本）的区间估计方法及操作过程，对SPSS运行结果能进行解释。

二、实验容【例】（数据文件为data03-1.sav）为估计两种方法组装产品所需要时间的差异，分别对两种不同的组装方法个随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）。

数据如表1所示：表1 两种方法组装产品所需的时间试以95%的置信水平确定两种方法组装产品所需时间差值的置信区间。

解：第一步，打开数据文件“data03-1.sav”，选择菜单“Analyze→Compare Means→Independent-samples T Test”项，弹出“Independent- samples T Test”对话框。

从对话框左侧的变量列表中选“时间”，进入“Test Variable(s)”框，选择变量“方法”，进入“Grouping Variable”框。

如图4-7所示图4-7第二步：点击“Define Groups”按钮弹出“Define Groups”定义框，在Group 1中输入“1”，在Group 2中输入“2”。

第三步：点击“Options”按钮弹出“Confidence Interval”定义框，在“Confidence Interval”框中输入“95”，点击“Continue”第四步：单击“OK ”按钮，得到输出结果。

输出结果表明：（假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等，两种方法组装产品所需时间差值的置信区间为[0.1403，7.2597]；假定两个总体的方差不相等，两种方法组装产品所需时间差值的置信区间为[0.1384，7.2616]。

）本例方差齐性检验结果：0.9170.05p α=>=，不能拒绝原假设，同方差假定是合理的，因而，两种方法组装产品所需时间差值的置信区间为（0.1403，7.2597）。

【VIP专享】6-5区间估计

【VIP专享】6-5区间估计

从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独
立的样本
则由
P(
2
2
(n 1)S 2
2
2
2 1
)
1
2
0.15 0.125
0.1 0.075
2
得 2 的置信区间为
(n 1)S 2
2 1
2
(n
1)
,
(n 1)S 2
2
(
n
1)
2
0.05
2 • 0.025
-2
2
4
•
6
8 10
2
2 1
2
2
(3)′当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）
(5)
]
[14.71,
15.187]
③
2 的置信区间为
(n 1) s2
[
,
2 1
2
(n
1)
(n 1) s2
]
2
(n
1)
2
具体计算得: s2 0.051.
查表得
2 1
2
(n
1)
2 0.975
(5)
12.833,
2 2
(n
1)
2 0.025
(5)
0.831
所以 2 的置信区间为
5s2
[
,
5 s2 ] [0.0199, 0.3069 ]
抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
① 若 2=0.06, 求 的置信区间 ② 若 2未知,求 的置信区间 ③ 求方差 2的置信区间.
置信度 均为0.95

两正态总体方差比置信区间

两正态总体方差比置信区间

两正态总体方差比的区间估计基于Wolfram Mathematica ,给出了两正态分布Ν[μ1,σ1]、Ν[μ2,σ2]总体方差比σ12 σ22在两总体均值已知和未知条件下的置信区间估计方法。

最后对理论结果进行程序模拟。

设X i ~数值运算N [μ1,σ1],i =1,2,...,n,为正态总体X ~数值运算N [μ1,σ1]的一i.i.d.,样本均值X -=1ni =1nX i ,样本方差S X 2=1n -1i =1nX i -X - 2。

设Y i ~数值运算N [μ2,σ2],i =1,2,...,m,为正态总体Y ~数值运算N [μ2,σ2]的一i.i.d.,样本均值Y -=1mi =1mY i ,样本方差S Y 2=1m -1i =1mY i -Y - 2。

一、两均值已知，方差比的区间估计假设两总体均值μ1和μ2已知。

定理1：∑i =1n (X i -μ1)2σ12 χ2(n ),∑i =1n (Y i -μ2)2σ22χ2(m ).定理2：∑i =1n (X i -μ1)2σ12 n∑i =1n (Y i -μ2)2σ22m=∑i =1n (X i -μ1)2 n ∑i =1n (Y i -μ2)2m σ22σ12F (n,m ).根据定理2，β≤F F (n,m)≤1-α+β解得F β(n,m )≤∑i =1n (X i -μ1)2 n ∑i =1n (Y i -μ2)2m σ22σ12≤F 1-α+β(n,m )得∑i =1n (X i -μ1)2n ∑i =1n (Y i -μ2)2 mF 1-α+β(n,m )≤σ12σ22≤∑i =1n (X i -μ1)/n∑i =1n (Y i -μ2)/mF β(n,m )其区间长度L =∑i =1n (X i -μ1)2 n ∑i =1n (Y i -μ2)2 m-可以证明当0≤β≤α时，有唯一极小值L min 。

取β=α2，可得等尾置信区间：∑i =1n (X i -μ1)/n ∑i =1n (Y i -μ2)/mF 1-α/2(n,m )≤σ12σ22≤∑i =1n (X i -μ1)/n∑i =1n (Y i -μ2)/mF α/2(n,m )其区间长度L 0=∑i =1n (X i -μ1)/n∑i =1n (Y i -μ2)/m-若两均值未知，可用其极大似然值代替，做近似估计。

正态总体均值及方差的区间估计

正态总体均值及方差的区间估计

第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。

①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。

由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n SX α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。

αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。

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2
1 / 2 的置信水平为0.90的置信区间为
2
2 s 12 s1 1 1 s 2 F ( 6 , 7 ) , s 2 F ( 6 , 7 ) ( 2 . 87 , 46 . 81 ). 0 . 95 2 2 0 .05
这个区间的下限大于1，在实际中，我们就认为
157.5 182.9
设样本分别来自总体
2 2 N ( 1 , ) , N ( 2 , ) , 1 ,
2 ,
2
未知，两样本独立，求
1 2 的置信水
，
平为0.90的置信区间。
解
现在
n1 n 2 5 ,
1 0 . 90 ,
/ 2 0 . 05 ,
n2 8 ,
1 0 .9 ,
/ 2 0 . 05 ,
1 4 . 12 ,
F 0 .05 ( 6 , 7 ) 3 . 87 , F 1 0 .05 ( 6 , 7 )
经计算得 所求的
2
1 F 0 .05 ( 7 , 6 )
s 1 0 . 00189 ,
2
s 2 0 . 00017 ,
随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x 1 500 ( m / s ),标准差 s 1 1 . 10 ( m / s ), 随机地取ІІ
型子弹20发, 得枪口速度平均值为
x 2 496 ( m / s ),
标准差 s 2 1 . 20 ( m / s ), 假设两总体都可认为近似
.
1 2
1 n1 n2 1
16 / 63 ) ,
即
（4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.
例2 测得两个民族中各5位成年人的身高 （以cm计）如下
A民族 B民族 162.6 175.3 170.2 177.8
，
172.7 167.6
165.1 180.3
2
个总体 N ( 2 , 2 )的样本 , X , Y 分别是第一、二个 总体的样本均值 的样本方差 .
讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.
, S 1 , S 2 分别是第一、二个总体
2
2
1. 两个总体均值差
2 2
1 2 的置信区间
( 1 ) 1 和 2 均为已知
地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差 相等, 求两总体均值差 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
1 2的置信度为
0 .95 的置

0.025,
2 查 t ( n 1 ) 分布表可知
2
n1 10 ,
n 2 20 ,
n1 n 2 2 28 ,
解
现在
1 0 . 95 , / 2 0 . 025 ,
t 0 .025 ( n 1 n 2 2 ) t 0 .025 (14 ) 2 . 1448 .
sw
2
( n1 1 ) s1 ( n 2 1 ) s 2
2
2
n1 n 2 2 8 5 . 88 6 7 . 68
经计算
t 0 .05 ( 5 5 2 ) 1 . 8595 .
x 165 . 62 ,
s 1 6 . 05 ,
y 176 . 78 ,
4( s1 s 2 )
2 2
s 2 5 . 86 ,
2 x y 11.16 , s w
( 5 . 96 )
2
8
得 1 2 的一个置信水平为0.90的置信区间为
2 2

6 . 71 .
2
14
1 1 由 X Y t / 2 ( n 1 n 2 2 ) S w 得所求 n1 n 2 的一个置信水 平为0.95的置信区间为
x y t 0 .025 ( n 1 n 2 2 ) s w
(43.71 - 39.63 2.1448 6.71
2 1 , X ~ N 1, n1
2 2 , Y ~ N 2, n2
可知
2 2 1 2 , X Y ~ N 1 2, n1 n2
或
X
Y 1 2
1
2
2 2
s 1 0 . 34 ( mm ),
F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) F 0 . 05 ( 17 , 12 ) 2 . 59 , F1 / 2 ( 17 , 12 ) F 0 . 95 ( 17 , 12 )
11 . 16 1 . 8595 5 . 96
1
1 ( 11 . 16 7 . 01 ) 5 5
即 （－18.17，－4.15）. 这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为 比 小。
1
2
例3
为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,
~ F ( n 1 1 , n 2 1 ),
( n1 1 ) S 1
即 S1 S2
2 2
2
1 2
2 2

1 2
2 2
( n1 1 )
( n2 1) S 2
2
~ F ( n1 1 , n 2 1 ),
( n2 1)
2 2 S1 1 P F1 / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) 2 2 S2 2
推导过程如下:
由于
( n1 1 ) S 1
2
1
2
~ ( n 1 1 ),
2
( n2 1) S 2
2
2
2
~ ( n 2 1 ),
2
且由假设知
( n1 1 ) S 1
2
1
2
与
S1 S2
2 2
( n2 1) S 2
2
2
1 2
2 2
2
相互独立 ,
根据F分布的定义, 知
1 2的一个置信度为
1 的置信区间
2 2 1 2 X Y z /2 n1 n2
.
推导过程如下:
因为 X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 所以 X Y 是 1 2 的无偏估计 ,
,
由 X , Y 的独立性及
和 N (
2
,
2
2
)，两总体方差相同，两
值差
样本相互独立，
1 ， 2，
均未知。求两总体均
1 2
的置信水平为0.95的置信区间。
连续训练
样本容量 样本均值 样本标准差
间断训练
n1 9
n2 7
x 43 . 71
s 1 5 . 88
y 39 . 63
s 2 7 . 68
从正态分布
N ( 1 , ), N ( 2 , ), i , i ( i 1 , 2 )
2 1 2 2
2
均未知, 求方差比 区间. 解 n 1 18 ,
2
1
2
2 的置信度为
2
0 .90 的置 信
n 2 13 ,
2
0 . 10 ,
s 2 0 . 29 ( mm ),
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1.
两正态总体均值差
1 2的置信区间
2.
两个总体方差比
1 2
2 2
的置信区间
3. 小结
设给定置信度为 第一个总体
1 , 并设 X 1 , X 2 , , X n 为
2
N ( 1 , 1 )的样本 , Y 1 , Y 2 , , Y n 为第二
要点回顾
1. 估计量的评选的三个标准
2 . 置信区间是一个随机区 数具有预先给定的概率
无偏性 有效性 相合性 间 ( , ), 它覆盖未知参
( 置信水平 ) , 即对于任
意的 , 有 P { } 1 .
求置信区间的一般步骤(分三步).
3 . 单个正态总体均值
的置信区间 2 z / 2 . ( 1 ) 为已知 , X n ( 2 ) 2为未知 , X S t ( n 1 ) . /2 n
4 . 单个正态总体方差
的置信区间
2
2 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 . , 2 ( n 1 ) 1 / 2 ( n 1 ) /2
2 S12 1 S1 1 2 . , S F ( n 1, n 1 ) S 2 F ( n1 1 , n 2 1 ) 2 1 / 2 2 /2 1 2
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下
工人 操作 机器人操 作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00

2
2
~ N 0 , 1 ,
n1
n2
1 的置信区间
于是得 1 2 的一个置信度为
2 2 1 2 X Y z /2 n1 n2
.
( 2 ) 1 和 2 均为未知 , 只要 n 1 和 n 2 都很大 ( 50 即可 ), 则有
2 2
1 2的一个置信度为