第五章 现代谱估计

现代谱估计实验报告 1实验目的 功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。 本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA模型、ARMA谱估计。掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS算法等。利用ARMA 功率谱估计中Cadzow谱估计子和Kaveh谱估计子来进行谱估计。 2实验原理 冃景 若离散随机过程｛x(n)｝服从线性差分方程 p q x(n) a i X(n i) e(n) b j e(n j) (1) i 1 j 1 式中e (n)是一离散白噪声，则称｛x(n)｝为ARMA过程，而式(1)所示的差分方程称为ARMA模型。系数a1,a2??p,和b1,b2?…b q,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p和q分别叫做AR阶数和MA阶数。式(1)所示的ARMA过程，其功率谱密度为 jw I / 、2〔B(z)| 2 B(e)l w両z e jw |B(e jw)| (2) Px ARMA谱估计的目的是使用N个已知的观测数据x(0)，x(1)：.x(N-1)计算出ARMA过程｛x(n)｝的功率谱密度估计。 在实际中，可以运用cadzow谱估计子和kaveh谱估计子来估计，cadzow谱估计子秩序确定AR阶数p和估计AR参数，而kaveh谱估计子也只需要确定AR 阶数p和估计AR参数以及MA阶数。

相关算法 AR阶数p的确定用奇异值分解(SVD,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS), 即应用(SVD-TLS算法来完成ARMA谱估计。 SVD-TLS 算法： 步骤1计算增广矩阵B的SVD,并储存奇异值和矩阵V; 步骤 2 确定增广矩阵 B 的有效秩p； 步骤 3 计算矩阵S; 步骤4求S的逆矩阵S--并计算出未知参数的总体最小二乘估计。 3 实验内容 仿真的观测数据由下式给出： xn = square(W*n)+*randn(1,N) ( 3) 其中, fs = 20000, n = 0:1/fs: , N = length(n), W = 2000*pi 。 1、采样周期图法进行谱估计 2、假设AR阶数未知，用SVD-TLS^法确定AR阶数和参数，然后使用Cadzow 谱估计子进行谱估计。 4 Matlab 仿真 仿真的观测数据时域信号如图 1 所示

现代功率谱估计 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。它是随机信号处理的重要内容，广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中。其实现方法主要可分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计方法由于其种种缺点，迫使人们大力研究现代谱估计方法。现代谱估计法是以参数模型为基础的方法，大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC 方法等。 本文将着眼于现代谱估计的各种方法，首先简要介绍随机信号功率谱估计的相关基础知识，然后从经典法入手，探讨现代谱估计的理论基础，分析各种方法的优劣性及适用范围，并且给出对应的Matlab仿真结果，从而深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。 关键词功率谱估计现代信号处理 Matlab

引言 功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。 傅立叶级数提出后，19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用。 周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。 1948年，Bartlett首次提出了用自回归模型系数计算功率谱。自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toeplitz矩阵结构，Levinson曾根据该矩阵的特点于1947年提出了解Yule-Walker的快速计算方法。这些工作为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。1965年，Cooley和Tukey提出的FFT算法，也促进了谱估计的迅速发展。 现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计（周期图和自相关法）的分辨率和方差性能不好的问题。1967 年，Burg 提出的最大熵谱估计，即是朝着高分辨率谱估计所作的最有意义的努力。 由于随机信号是一类持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱。然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数是可以确定的。如果随机信号是平稳的，那么其相关函数的傅里叶变换就是它的功率谱密度函数，简称功率谱。功率谱反映了单位频带内随机信号的一个样本信号来对该随机过程的功率谱密度函数做出估计。 本文将着眼于现代谱估计的各种方法，首先简要介绍随机信号功率谱估计的相关基础知识，然后从经典法入手，探讨现代谱估计的理论基础，分析各种方法的优劣性及适用范围，并且给出对应的Matlab仿真结果，从而深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。

现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0

1.3 时频分布及其性质 1.3.1 单分量信号与多分量信号 从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ?=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱， 图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征 则其瞬时频率定义如下： )]([arg 21)(t z dt d t f i π= （1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dt d f g πτ= （1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时 频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。 图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征

1.3.2 时－频分布定义 Fourier 变换的另一种形式 ?∞ ∞ --=dt e t s f S ft j π2)()( ?∞ ∞ -=df e f S t s tf j π2)()( Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现 在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为 ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j ) (2*),()2 1()21(),(-+-∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ --+=?? ? （1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为 ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞ ∞ -∞ ∞ -? ? = （1.3.2） 式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2 ()2(),(*τ τ τ-+ =t z t z t k z 关于时间t 作 Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即 dt e t z t z v A tv j z πτ ττ2*)2 ()2(),(-+=?∞ ∞- （1.3.3） 因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类 时－频分布又称为广义双线性时－频分布。 两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为： ???∞ ∞-∞ ∞--+-∞ ∞ --+= ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy ) (2*),()2 1()21(),( ? ? ∞ ∞-∞ ∞ -+-=dv d e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),( （1.3.4） 式中 du e u y u x v A vu j xy πτ ττ2*)2 ()2(),(?∞ ∞--+= （1.3.5） 是)(t x 和)(t y 的互模函数。

81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。 图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD 例3.3.5 令 ()21 4 2 t x t e ααπ-??= ??? （3.3.5） 可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω （3.3.6） 这是一个二维的高斯函数，，且()Ω,t W x 是恒正的，如图3.3.5所示。 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在()()0,0,=Ωt 处，峰值为2。参数α控制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。α越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD 的等高线为一椭圆。当WVD 由峰值降到1 -e 时，该椭圆的面积π=A 。它反映了时－频平面上的分辨率。 如果令 ()21 42t h t e ααπ-??= ???，()214 2 t x t e ββπ-??= ??? ，则()t x 的谱图 ()?? ????Ω+-+-+=Ω222 1exp 2,βαβααββααβ t t STFT x （3.3.7）

82 图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD 它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到1 -e 时，椭圆面积π2=A 。这一结果说明，WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。 如果令 ()()t j e t t x t x 001Ω-= （3.3.8） 式中()t x 是（3.3.5）式的高斯函数。()t x 1是()t x 的时移加调制，其WVD 是： ()12 2 00,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω （3.3.9） 它将（3.3.6）式的()Ω,t W x 由()()0,0,=Ωt 移至()()00,,Ω=Ωt t 处。其WVD 图形请读者自己画出。 例3.3.6 令 ()2201 4 22j t t j t z t e e e αβαπΩ-??= ??? （3.3.10） 它是由（3.3.5）式的()t x 与

320 第11章 正交小波构造 我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。所谓“正交小波”，指的 是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。 Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。 11.1 正交小波概述 现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。 1.Haar 小波 我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数 )(t φ如图10.1.1(a)所示。重写其定义，即 ??? ??-=011 )(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1) ? ??=01 )(t φ 其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(' 'k k k t k t -=--δψψ，即它们

321 是正交的。同理， )()(),(',,' k k t t k j k j -=δψψ。 很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是 4 /4 /sin )(22 /ωωωωj je -=ψ 2 /2 /sin )(2 /ωωωωj e -=Φ 注意式中ω实际上应为Ω。由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。 上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是： ??????=21,21)(0n h ，??????-=21,2 1 )(1 n h (11.1.5) 它们是最简单的两系数滤波器。 2.Shannon 小波 令 t t t ππφsin )(= (11.1.6) 则 ?? ?=Φ01)(ω 其它π ω≤ (11.1.7) 由于 ?ΦΦ= --ωωωπ φφd k t k t k k )()(21 )(),(',0*,0' )(21')(' k k d e k k j -==? ---δωπ π π ω (11.1.8) 所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。 由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此 ???=Φ-0 1 )(,1ωk 其它πω2≤ (11.1.9) 这样，对0)(W t ∈ψ，有

1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法：

现代谱估计法 （殷恒刚 107010254） 1. 现代谱估计简介 经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。 现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。 2.现代谱估计的三种模型 由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。如图一所示。我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。 图1 一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下： 00 ()() b a n j j j n i i i b z Y z X z a z -=-== ∑∑ (1.1) 参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和

基于Matlab的现代谱估计仿真 【摘要】谱估计技术作为一种重要的信号分析手段广泛应用于各种技术领域，具有十分重要的工程应用价值。文章在介绍Yule-Walker方程法等常用现代谱估计算法原理基础上基于Matlab仿真平台对估计算法进行了仿真和验证。仿真结果表明，Yule-Walker方程法等谱估计算法可以实现对加噪信号频谱的正确估计。 【关键词】功率谱；估计；Matlab仿真 1.引言 现代谱估计以信号参数化模型为基础，分为参数化模型谱估计和非参数化模型谱估计，参数化模型谱估计法采用的模型包括AR模型、MA模型、ARMA模型和PRONY模型等；非参数化模型包括最小方差方法和多分量MUSIC等方法。文章在对现代谱估计中Yule-Walker方程法等谱估计方法原理进行介绍的基础上，利用Matlab平台对其进行了仿真和验证。 2.Yule-Walker方程谱估计法 若已知序列x（n）的N个值{x（n），x（n-1），x（n-2），….，x（n-N+1）}，为了用Yule-Walker程求得{a1，a2…….，ap}和，我们首先由{x（n）}估计序列（p+1）个自相关函数，利用下式计算出序列的功率谱。 （2-1） 设仿真信号为频率为100Hz的点频信号，该点频信号附加一定功率的高斯白噪声信号，采用Yule-Walker方程谱估计算法估计出的信号频谱如图2.1所示。 图2.1 Yule-Walker 谱估计法仿真结果 仿真结果表明，Yule-Walker算法可以正确地估计出信号频谱。而且仿真结果也表明，采样点数越大，频谱分辨力越好。 3.Levensin-Durbin递推谱估计法 用尤了沃克法方程法估计AR参数{a1，a2，…，ap}和，如果用高斯消去法解（p+1）个联立方程需要p3次运算。因此，我们有必要寻找更简便的计算方法，Levensin-Durbin算法只需要p2次运算，而且可以递推地计算p阶以下所有的AR参数估计，即{a1，1，}…{ap，1，ap，2，…ap，p，}。 按照递推公式的计算出{a2，1，a2，2，}和，{a3，1，a3，2，a3，3}和…，直到所算得的预测误差的方差小于预先选择的值或阶到达了预先确定的最大阶

“现代数字信号处理”复习思考题 变换 1.给出DFT的定义和主要性质。 2.DTFT与DFT之间有什么关系？ 3.写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1.说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2.全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3.线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4.简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5.简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。 4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的μ值，μ值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？ 5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1.为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2.什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3.什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4.功率谱的两种定义。 5.功率谱有哪些重要性质？ 6.平稳随机信号通过线性系统时输入和输出之间的关系。 7.AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8.用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9.周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10.改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11.既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要引用各种窗？ 12.经典谱估计和现代谱估计的主要差别在哪里？ 13.为什么AR模型谱估计应用比较普遍？ 14.对于高斯随机过程最大熵谱估计可归结为什么样的模型？ 15.为什么Levison-Durbin快速算法的反射系数的模小于１？ 16.什么是前向预测？什么是后向预测？ 17.AR模型谱估计自相关法的主要缺点是什么？ 18.Burg算法与Levison-Durbin算法的区别有哪些？

功率谱估计性能分析及Matlab 仿真 1 引言 随机信号在时域上是无限长的，在测量样本上也是无穷多的，因此随机信号的能量是无限的，应该用功率信号来描述。然而，功率信号不满足傅里叶变换的狄里克雷绝对可积的条件，因此严格意义上随机信号的傅里叶变换是不存在的。因此，要实现随机信号的频域分析，不能简单从频谱的概念出发进行研究，而是功率谱[1]。 信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。谱估计方法分为两大类：经典谱估计和现代谱估计。经典功率谱估计如周期图法、自相关法等，其主要缺陷是描述功率谱波动的数字特征方差性能较差，频率分辨率低。方差性能差的原因是无法获得按功率谱密度定义中求均值和求极限的运算[2]。分辨率低的原因是在周期图法中，假定延迟窗以外的自相关函数全为0。这是不符合实际情况的，因而产生了较差的频率分辨率。而现代谱估计的目标都是旨在改善谱估计的分辨率，如自相关法和Burg 法等。 2 经典功率谱估计 经典功率谱估计是截取较长的数据链中的一段作为工作区，而工作区之外的数据假设为0，这样就相当将数据加一窗函数，根据截取的N 个样本数据估计出其功率谱[1]。 2.1 周期图法( Periodogram ) Schuster 首先提出周期图法。周期图法是根据各态历经的随机过程功率谱的定义进行的谱估计。 取平稳随机信号()x n 的有限个观察值(0),(1),...,(1)x x x n -，求出其傅里叶变换 1 ()()N j j n N n X e x n e ω ω---==∑ 然后进行谱估计

AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真 钱平 （信号与信息处理 S101904010） 一．引言 现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。 现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 二．AR 模型的构建 假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为 ，现在，我们希望建立AR 模型 的参数和x(n)的自相关函数的关系，也即AR 模型的正则方程(normal equation)。 由 )}()]()({[)}()({)(1 n x m n u k m n x E m n x n x E m p k k x a r ++-+-=+=∑= )()()(1 m k m m r r a r xu x p k k x +--=∑= (1) 由于u(n)是方差为 的白噪声，有 ?? ?=≠=-0 00)}()({2 m m m n x n u E σ （2） 由Z 变换的定义， ，当 时，有h(0)=1。综合（1）及（2）两式， ???????=-≥--=∑∑==0)(1)()(1 2 1 m k m k m m p k x k p k x k x r a r a r σ （3） 在上面的推导中，应用了自相关函数的偶对称性。上式可写成矩阵式：

1 第1章 信号分析基础 1．1 信号的时－频联合分析 我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题——信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。 对一个给定的信号，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它，如)(t x 的函数表达式， 通过傅立叶变换所得到的)(t x 的频谱，即)(Ωj X ，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。 信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。 给定了信号)(t x 的函数表达式，或x 随t 变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处 该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在××Hz 处频率分量的大小”，则可通过傅立叶变换来实现，即 ?∞ ∞ -Ω-=Ωdt e t x j X t j )()( （1.1.1a ） ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= d e j X t x t j )()(21π （1.1.1b ） 式中f π2=Ω，单位为弧度/秒，将)(Ωj X 表示成) (|)(|ΩΩ?j e j X 的形式，即可得到 |)(|Ωj X 和)(Ω?随Ω变化的曲线，我们分别称之为)(t x 的幅频特性和相频特性。 如果我们想知道在某一个特定时间，如0t ，所对应的频率是多少，或对某一个特点的频

现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较 支冬栋1 ,卫红凯2 ,杜 斌 1 (1.海军后勤部,北京100841;2.海军工程大学,武汉430033) 摘要:为了克服经典的功率谱估计方法存在的方差大、分辨率低的缺点,产生了现代谱估计法。首先介绍了现代谱 估计法中的几种模型参数估计法,通过仿真比较了其性能,并对模型阶次的选择作了分析,对实际的工程应用有一定的参考价值。 关键词:自相关法;Burg 法;Pisar enr o 谐波分解法 中图分类号:T N911.7 文献标识码:A 文章编号:CN 32 1413(2009)01 0100 03 Comparison of Several Different Model Parameter Methods in Modern Spectrum Estimation ZH I Dong dong 1 ,WEI H ong kai 2 ,DU Bin 1 (1.Nav y L og istic Department,Beijing 100841,China;2.N avy Eng ineering U niversit y,W uhan 430033,China) Abstract:The modern spectrum estim ation m ethod is dev elo ped to overcome the shortcomings of the classical spectrum estimatio n method such as larg e variance and lo w resolution.This paper firstly introduces several mo del param eter estimatio n m ethods in moder n spectrum estimation,then com pares the perform ances of the models thro ug h simulation,and analyzes the selection of their ex ponent number,w hich has definite reference v alue to the practical engineering applicatio n.Key words:autocorrelation method;Burg m ethod;Pisarenro harmo nic decomposition m ethod 0 引 言 功率谱在随机信号分析与变换中起着类似于频谱在确定性信号分析中的作用。经典功率谱估计方法由于无法实现功率谱密度原始定义中的求均值和求极限的运算,对周期图法假定了数据窗以外的数据全为零,对自相关法假定了在延迟窗以外的自相关函数全为零,这使得传统功率谱估计方法存在方差性能较差、分辨率较低等缺点。为了克服传统谱估计方法的这些缺陷,一些专家学者提出了现代谱估计方法。其中,参数模型法由于将信号看成是一随机输入序列通过一线性系统的输出,通过建立模型来估计信号的功率谱,不仅数学表达式简单明了,而且有明显的物理意义,已经成为现代谱估计的重要方法,在实际应用中获得了广泛的应用。 自回归(AR)模型、移动平均(M A)模型和自回归/移动平均(A RM A)模型是功率谱估计中最主要 的参数模型,其中AR 模型由线性方程描述,而M A 和ARMA 模型则由非线性方程描述。由于MA 和ARMA 模型均可用高阶的AR 模型来近似,因此这里主要分析讨论AR 模型参数不同估计方法的性能。对于AR 模型参数的估计,有自相关法、Burg 法等,本文以被白噪声污染了的3个正弦信号为例,分析了不同方法对模型参数估计精度的影响,并与对正弦信号频率有良好估计能力的Pisar enro 谐波分解法进行了比较。 1 自相关法 对于AR 模型,有: x (n)=- p k=1 a k x (n-k)+u(n)(1) 式中:u(n)、x (n)为实平稳的随机信号;u(n)为白噪 声; 2 为方差。 经过推导,可得: 收稿日期:2008-05-13 2009年2月舰船电子对抗 Feb.2009 第32卷第1期 SH IPBO ARD EL ECT RO NI C CO U NT ERM EA SU R E V ol.32N o.1

一、 基本概念填空 1、 统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。 2、 主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题 3、 信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量 和 波形 的确定问题。 4、 在二元假设检验中，如果发送端发送为H 1，而检测为H 0，则成为 漏警 ，发送端发送H 0，而检测为H 1，则称为 虚警 。 5、 若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称为 FIR 滤波器 6、 若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。 7、 在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间 8、 在小波分析中，小波函数应满足 ∫φφ(tt )ddtt =0+∞?∞ 和 ∫|φφ(tt )|ddtt =1+∞ ?∞ 两个数学条件。 9、 在小波的基本概念中，主要存在 F (w )=∫ff (tt )ee ?ii ii ii ddtt +∞?∞和f(t)=12ππ∫FF (ww )ee ii ii ii ddww +∞?∞ 两个基本方程。(这个不确定答案，个人感觉是) 10、 在谱估计中，有 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。 11、 如果系统为一个稳定系统，则在Z 变换中，零极点的分布

应在单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中， 零极点的分布应在左边平面。 二、问题 1、在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条 件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson准 则？ 答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验 概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。 2、在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？ 答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变 量），即E?θθ??=EE(θθ)或等于被估计量的真值（非随机参 量）E?θθ??=θθ，则称θθ?为θ的无偏估计。 渐进无偏估计：若lim NN→∞EE?θθ??=EE(θ ),称θθ?为θ的渐进无偏估计。 3、卡尔曼滤波器的主要特征是什么？ 答：随机过程的状态空间模型，用矩阵表示，可同时估计多参 量，根据观测数据，提出递推算法，便于实时处理。 4、在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法， 对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。 答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的 运算速度、可靠性、算法的收敛速度。

第5章信号的抽取与插值 5.1前言 至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率 f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会s 遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如： 1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换； 2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。 3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换； 4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的； 5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。 以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。 推荐精选

现代数字信号处理实验报告 1、估计随机信号的样本自相关序列。先以白噪声()x n 为例。 (a) 产生零均值单位方差高斯白噪声的1000个样点。 (b)用公式： 999 1?()()()1000x n r k x n x n k ==-∑ 估计()x n 的前100个自相关序列值。与真实的自相关序列()()x r k k δ=相比较，讨论你的估计的精确性。 (c) 将样本数据分成10段，每段100个样点，将所有子段的样本自相关的平均值作为()x n 自相关的估值，即： 999 00 1?()(100)(100) , 0,1,...,991000x m n r k x n m x n k m k ===+-+=∑∑ 与(b)的结果相比，该估计值有什么变化？它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=吗？ (d)再将1000点的白噪声()x n 通过滤波器1 1 ()10.9H z z -= -产生1000点的y (n )，试重复(b)的工作，估计y (n )的前100个自相关序列值，并与真实的自相关序列()y r k 相比较，讨论你的估计的精确性。 仿真结果： (a)

图1.1零均值单位方差高斯白噪声的1000个样本点 分析图1.1：这1000个样本点是均值近似为0，方差为1的高斯白噪声。(b) 图1.2() x n的前100个自相关序列值 分析上图可知：当k=0时取得峰值，且峰值大小比较接近于1，而当k≠0时估计的自相关值在0附近有小幅度的波动，这与真实自相关序列r (k)=δ(k) x 比较接近，k≠0时估计值非常接近0，说明了估计的结果是比较精确的。