经典谱估计与现代谱估计

功率谱估计的古典算法与现代算法的比较——选取周期图法与Burg算法为例现代信号分析中, 对于常见的具有各态历经的平稳随机信号, 不可能用清楚的数学关系式来描述, 但可以利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。

功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。

一、古典功率谱估计古典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零, 相当于数据加窗经典功率谱估计方法分为: 相关函数法(BT 法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法。

1、相关法相关法是以相关函数为媒介来计算功率谱的，所以又叫间接法，它的理论基础是维纳--辛钦定理。

先对数据工作区外的未知数据赋值为零，再由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，最后对R(n)进行傅立叶变换, 便得到 x(n)的功率谱估计。

2、周期图法周期图法是由获得的N点数据构成的有限长序列直接求fft得其频谱，取频谱幅度的平方再除以N，以此作为对x(n)真实功率谱的估计。

3、改进的周期图法改进的周期图法的主要途径是平滑和平均。

平滑是用一个适当的窗函数与算出的功率谱进行卷积，使谱线平滑，这种方法得出的谱估计是无偏的，方差也小，但分辨率下降；平均就是将截取的数据段再分成L个平均的小段，分别计算功率谱后取功率谱的平均，当L趋于无穷大的时候，L个平均的方差趋于零，可以达到一致谱估计的目的。

由于存在旁瓣，会产生两个后果：一是功率谱主瓣能量泄露到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰，严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中无法检测出来。

这是古典法谱估计的主要缺点，即便是改进的周期图法也无法克服分辨率低的缺点。

我们从中选取周期图法作比较，其算法实现如下：Fs=600; %采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));n=1:length(xn);figure(1);subplot(2,1,1);plot(n,xn);window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);subplot(2,1,2);plot(f,10*log10(Pxx));得到的图形为：二、现代谱估计参数模型法是现代谱估计中的主要内容，AR 模型参数的求解有三种方法：自相关法、Burg 递推算法和改进协方差法。

谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。

功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。

研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。

则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。

此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。

经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。

采用经典的傅里叶变换及窗口截断。

对长序列有良好估计。

现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。

对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。

是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。

应用广泛，发展迅速。

1、谱密度意义 一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。

根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。

由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。

在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。

为信号的能谱密度。

当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。

对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。

) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。

功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。

在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。

功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。

经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。

直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。

在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。

但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。

因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。

还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。

这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。

加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。

相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。

welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。

与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。

matlab中，welch法用函数psd实现。

调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。

可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。

参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。

现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。

但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。

如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。

为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。

但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。

现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。

因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。

后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。

目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。

2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。

如图一所示。

我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。

图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。

现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。

在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。

平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。

与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。

其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。

其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。

利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。

三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。

1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。

（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。

（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。

1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。

现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。

但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。

如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。

为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。

但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。

现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。

因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。

后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。

目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。

2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。

如图一所示。

我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。

图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。

谱 估 计主要内容•引言•经典谱估计•现代谱估计1 引 言✶概述✶估计质量的评价✶功率谱估计的应用✶研究现状•估计质量的评价的偏差(Bias)为零 。

所谓偏差(用B 表示)定义为 无偏估计θ：某个随机变量的真值：它的估计值 ˆθˆθˆˆ[]()B Bias E θθθ∆∆-☠估计1和估计2都属于无偏估计；☠估计2较之估计1方差小；•估计质量的评价均方误差θ：某个随机变量的真值：它的估计值 ˆθ不难证明：22ˆˆ()()MS E e E θθθ⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦222ˆE e B θσ⎡⎤=+⎣⎦当N 趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。

•估计质量的评价一致估计：ˆ 0ˆ ar 0N Bias N V θθ⎫⎡⎤→∞→⎣⎦⎪⎬⎡⎤→∞→⎪⎣⎦⎭正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件 反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的1 引 言•功率谱估计的应用☞在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度(或自相关函数)。

☞常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计。

☞从宽带噪声中检测窄带信号。

•功率谱估计的应用谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。

例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是正弦波功率的10％)。

用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。

(a) 经典BT PSD法(b) 最大熵谱估计法(c) Pisavcnko 谐波分解法•研究现状功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1•研究现状☞经典谱估计：固有缺陷：原因：“加窗效应”频率分辨率低原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。

频谱能量向旁瓣泄漏原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限窄的现象。

周期图的缺陷：非一致估计当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零，而是趋近于常数。

矩形序列其傅立叶变换为幅度谱各种窗函数的频谱2 经典谱估计•自相关函数的估计•周期图作为功率谱的估计•平滑后的周期图作为PSD的估计2.2 周期图法进行谱估计求出信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度。

DSP课程的设计对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析进行傅里叶变换在频域中研究信号，是研究确定性信号最简单且有效的手段，但在现代信号分析中，对于常见的随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，其傅里叶变换更不存在，转而可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。

功率谱估计是数字信号处理的重要研究内容之一。

功率谱估计可以分为经典功率谱估计和现代功率谱估计。

本文介绍了各种经典功率谱估计方法，不仅从理论上对各种方法的谱估计质量进行了分析比较，而且通过Matlab进行了仿真。

在对经典谱估计进行讨论之后，还分析了现代谱估计即参数谱估计方法，通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。

现代谱估计的内容极其丰富，设计的学科及应用的领域都相当广泛，至今每年都有大量的科研成果出来。

在本文的最后利用现代谱估计的方法讨论了功率谱方法在噪声源信号识别中的应用。

文章还给出了常见谱估计方法的比较，便于深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。

1.功率谱方法的发展功率谱估计是随机信号处理的重要内容，其技术渊源很长，而且在过去的40余年中获得了飞速的发展。

涉及到信号与系统、随机信号分析、概率统计、矩阵代数等一系列的基础学科，广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中，是一个具有强大生命力的研究领域。

本文将简要回顾一下功率谱估计的发展历程，对常用的一些方法进行总结。

功率谱的估计方法有很多，主要有经典谱估计和现代谱估计。

经典谱估计又可以分成两种：一种是BT法，也叫间接法；另一种是直接法又称周期图法。

现代谱估计的方法又大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY模型等，后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

1.1功率谱研究的发展过程功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

现代谱估计方法
基于模型谱估计方法
现代谱估计方法以模型为基础，利用采样的数据建立模型，使谱估计的结果更能体现随机信号全局性的性质。

这种方法相较于经典的谱估计方法，更适用于采样点数比较少的情况。

在模型谱估计中，建立一个符合实际物理过程的模型是关键步骤。

通常使用的模型包括线性时不变（LTI）系统、周期性非平稳过程、自回归模型（AR模型）和滑动平均模型（MA模型）等。

这些模型的选择取决于信号的性质和所关注的问题。

一旦建立了模型，就需要使用采样数据进行参数估计。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法、最小绝对偏差法等。

这些方法可以根据不同的模型和问题选择使用。

最后，使用估计的参数进行谱估计。

对于LTI系统，可以使用Yule-Walker方程或Burg方法计算自相关函数的参数，然后使用这些参数计算功率谱密度。

对于非平稳过程，可以使用时变滤波器或适应性滤波器来估计谱。

现代谱估计方法相较于经典方法具有更高的精度和可靠性，尤其适用于采样点数较少的情况。

然而，它也需要更复杂的计算和更深入的专业知识。