2-3-动量--动量守恒定律--质心运动定理

mg Mg
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发射过程中，
N (m M ) g
为什么？
成立吗？
N
a1 0
mg
a2 0

F

0
Mg
竖直方向动量不守恒
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从另一角度分析质点系统的合外力
N
T
N Mg T sin
T sin mg
T
Mg
mg
N (M m) g
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x
t2
I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y I z t1 Fz d t mv2 z mv1z
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t2
t2
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
2.小球与地面碰撞
I P mv
v
末
y
N
地面对小球的 作用力
v 2v
0
N

v
初
t1
t2 t
冲量的方向：竖直向上
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3.
I Ft mv 2mv
y
F N mg
平均冲力
0
2mv N mg t
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I x F d t mvx 0
5
t=0.1s
(2)
t=0.01s
作用的时间越长，受力越小
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解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程， 动量变化为零。
重力作用时间为 t 2h / g 支持力的作用时间为t 整个过程合外力的冲量为零 根据动量定理， 即

t I t Fdt mv2 mv1
2 1
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
为矢量，其方向与动 量的增量方向相同
常用其分量式，即：
I x Fx dt mv2 x mv1x
I y Fy dt mv2 y mv1 y
F为恒力时
I Ft P mv2 mv1
i
m
xc
m x
i i
i
m
0
m
mx MX 0
而x R
x x X
M
mR X ( M m)
x
Fy macy
质心运动定律：系统的总质量和质心加速 度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
简化 复杂 运动 的分 析
例6.（利用质心运动定理重解例3）质量为M、半径 为R的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体m自槽顶 静止下滑，求当m滑至槽底时， M在水平面上移动的 距离。
rc
即
mi ri
h

t
0
( N-mg)dt mvz mv0 m 2 gh
Nt mgt m 2 gh
N 1 1 mg t 2h 0.55 1 g t
6.5
56 5.5×102 5.5×103
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N是mg的5500倍，相比之下重力 微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题中， 只要持续作用时间足够短，略去诸如重力这类 有限大小的力是合理的。
位矢：
r1 r2 ri rN

质点系各 质点的动量之和 —— 质点系的动量（或质点系动量的主矢）
p m1v1 m2v2 mnvn mi vi
投影表达式： p y mi v yi pz mi vzi
px mi vxi
二、力的冲量
动量的量纲：[M] [L] / [T] 冲量的量纲： ( [M] [L] / [T]2 ) [T] = [M] [L] / [T]
rC
mr m
x
i i
—— m
=Σmi 为总质量
改写为
mrC mi ri
两边对时间求导
drC dri m mi dt dt
mvC mi vi p
于是得质点系动量的计算表达式为
p mvC mi vi
对刚体系统动量的计算表达式为
p mi vCi —— mi 、vci 分别为i 个刚体的质量和质心的速度
px mi vCix

W r W 3W 2 cos 45 r cos 45 r g 2 g g 2 py 1 tan a 动量的方向： 9 2W px 3 r 4 g a 108.43
2 2 3 5W p px py r 2 g
§12 –2
§12 动量定理
几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
？
§12 动量定理
几个有意义的实际问题 偏心转子电动机工作 时为什么会左右运动； 这种运动有什么规律；
会不会上下跳动；
利弊得失。
？
§12 动量定理
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化
？
§12 动量定理
系统的总动量大小:

L
O
●
rA r
●
A α m
●
v
证明： 不受外力，质点将做 匀速直线运动。 m在某一时刻经过A点时， 其对固定点O的角动量为
L rA mv rAmvsin r m v
固定点O到轨迹直线的垂直距离只有一 个值，所以角动量的大小恒定。 而角动量的方向恒垂直于固定点O和运动 轨迹所决定的平面。 所以m对任意固定点的角动量矢量保持不变。
力矩的大小：
力矩的方向： 角动量定理：
M r F rF sin
也由右螺旋法则确定。
dL M dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的 变化率。 M 注意：定理中的力矩和角 动量是对惯性系中地同一 固定点而言的。
o
●
r
F
r
α

m
§3.7 角动量守恒定律
给上式两边同时乘以系统质量m
rC
mi ri
i
则：
mvc mi vi p
dvc dp p mvc 两边求导得： m mac dt dt dp F m a c dt
——质心运动定理
i
不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在 物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量 全部都集中于此，而且所有外力也都集中于此的一 个质点的运动一样。 实际上在质心位置处可能既无质量，又未受力。
i 1
m
' rC
0
两边求导：
'0 mv i i
N i 1
z
z'
x'
o
rC
' ri