第4节 质心与质心运动定理

在系统运动与外力的关系中才体现出来.因此,质
心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动
力学概念． 2.体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选 取无关．
3.作用在体系上的诸外力一般作用在不同的质点
上，就其作用效果而言不能等效为一个合力.但对质
心运动而言,这些外力犹如都作用在质心上． 4.将坐标原点取在质心上的平动参照系称作质心 坐标系或质心系．对于外力的矢量和为零或不受外 力作用的体系的质心参照系为惯性系，否则为非惯 性系．惯性系情况下质心的动量守恒．质心的动量 Pc MVc P m v 也就是系统的总动量 系 i i
质心位置的计算:
质点组:
mi xi x i C mi i mi ri mi yi i rC yC i mi mi i i mi zi z i C mi i
连续分布:
xdm xC dm rdm ydm rC yC dm dm zdm zC dm
即
F矢量和 MaC
称作 质心运动定理
其中
F矢量和 F 1 F 2
m1 r1 m2 r 2 rc m1 m2
加权平均值
推广：对n个质量组成的系统
rC
mi ri
m
i
i

mi ri
i
i
M
n F矢量和 F i i 1
x dx
0
l
2 ax dx
0
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上， 用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x <l） 。
x
F
v0
N
x dx
o
解法一：利用物体系的动量定理
在t
x 设t时刻提起x时，体系的总动量为 P m v0 l
质心与质心运动定理
1. 质心的计算
以两质点系统为例
F 1 m1
d F矢量和＝ （m1 v1 m2 v 2 ) dt d2 ＝ 2 (m1 r1 m2 r 2 ) dt
2
r1
O
rc
m2
r2
F2
d m1 r1 m2 r 2 (m1 m2 ) 2 ( ) dt m1 m2 2 d rc d Pc M M ac 2 dt dt
以绳子(体系)为研究对象，提起x时，绳 子的质心坐标为
xc
x x l x m0 m l l
x2 m 2 2l
x
2 0
dxc x dx x d 2 xc v0 2 v0 , 2 dt l dt l dt l
F
d xc v x F m g m 2 m l dt l
质心运动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
F矢量和 MaC
几点说明：
1.质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平
均值，而是它们的加权平均值.质心的性质只有
i
例: 不规则细杆质心位置的计算:
长为l 的细杆的质量分布不均匀，设线密度 ax
x为离杆的一端之距离，a为常量，求杆的质心坐
标。
解：显然
x
0lBiblioteka dxc xyc zc 0
ax
1 3 al 2 3 0 0 xc l l l 1 2 3 al dx axdx 2
t 时刻，提起
P' m l
x＋dx，体系的总动量为 F ( x dx) x
v0
由体系的动量定理：
x m ( F m g )dt P P v0 dx l l
dx m x 2 而v F v0 mg 0 l l dt
v0
N
x dx
o
解法二：利用质心运动定理
m 2 x F v0 mg l l
2
v0
N
x dx
o