质心和质心运动定律

质心与质心运动定律
【例题 1】一艘质量为 M = 500 kg，长为 l = 4 m 的小船 静浮在水面上，船尾站着一质量为 m = 50 kg 的人，当 人从船尾走到船头相对船停下后，求船的位移？忽略船 受到的水的阻力。
质心与质心运动定律
【解析】
以水平方向为 x 轴，取船尾为坐标原点。 人在走动过程中，人和船构成 的体系在水平方向不受外力作用， 因此质心加速度为 0 ，由于质心 初速度也为 0 ，因此质心位置不变。 人走动前质心坐标： xC 0
质心与质心运动定律
【习题 3】用质心运动定律重解[动量例题 5]
[动量例题 5]一根长为 l，质量为 m 的柔软的均匀绳子盘放在 地面上，现拎着绳子的一端以恒定的速度 v0 匀速向上提，求 当该端离地面 x 高时，拎绳的力 F。
质心与质心运动定律
【解析】
取竖直向上为 x 轴正方向，坐标原点取地面。 当绳上端离地面 x 高时，质心坐标 m x x⋅ x2 2 = xC = l m 2l dxC x dx x = = v0 质心的速度 vC = dt l dt l
m1 x1 + m2 x2 xC = m1 + m2
质心
二、质心的位置
求质心的计算方法从数学的角度来看，为一种求平 均的方法，即求带有质量权的平均。 每个质点的质量代表一定的权重，质量大，权重就 大，质量小，权重就小。
m2 m1 m1 + m2 就非常小，而 x1 所占的比重 m1 + m2 非常大，
n
将质心的速度表示式两边对时间求导数，得质心的
r ∑ mi ai
n i =1
其中
∑m a
i =1
n
M
=
r ∑ F外i
n i =1
M
r F外 = M
i i
为每一个质点所受的外力的合力，包
含质点系外力和质点系内力，但是由于质点系内力成对 的出现，所以质点系内力互相抵消，和为 0。这样，上
n r r 式中 F外 = ∑ F外i 为质点系所受的外力的合力。 i =1
质心与质心运动定律
【解析】
当小球全部发射到车厢右壁处后， l nm ( l + s ) + M ( + s ) 2 xC = M + nm Q xC = xC 0 l l ∴ nm ( l + s ) + M ( + s ) = M 2 2 nml ∴s = − M + nm
质心与质心运动定律
【习题 2】A、B 两人分别站在静浮在水面上的长为 l = 3 m 的船的两头，已知船的质量 M = 150 kg，人 A 的质 量 m1 = 60 kg。当两人互换位置后，船向原人 B 所站的 位置方向移动了 Δl = 0.2 m，求人 B 的质量 m2。
2 dvC v0 dx v0 = = 质心的加速度 aC = dt l dt l
质心与质心运动定律
【解析】
2 v0 根据质心运动定律： F − mg + N = maC = m l 2 m x mv0 其中N = ( l − x ) g , ∴ F = mg + l l l x 上式第一项 mg 是在空中这部分 l 绳子的重力。 2 mv0 第二项 是每秒钟把盘在地面 l 上原先不动的这部分绳子变成运动，而
质心与质心运动定律
箱子运动的加速度 aM 的推导方法 如下： 根据质心位置坐标公式有： 新课标 提醒
mxm + Mx M xC = M+m
上式两边对时间求二阶导数，得
mam + Ma M aC = M+m ⇒ ( M + m )aC = mam + Ma M
质心与质心运动定律
【例题 3】质量为 m 的炮弹以初速度 v0，仰角θ发射， 当其飞到轨道最高点时发生爆炸，炸成质量分别为 m1 = 2m/3 和 m2 = m/3 的两块，其中 m1 这块炸后无速度的自 由下落，求 m2 这块的落地点与炮弹的发射点之间的水 平距离。
n
∑ mi
i =1
n
=
r mi vi ∑
n i =1 n
∑ mi
i =1 i =1
=
r ∑ Pi
n i =1
M
(其中M = ∑ mi )
i =1
n
n r r r 质心的动量： PC = MvC = ∑ Pi
质心的动量等于质点系的总动量。
质心运动定律
四、质心运动定律
r dvi 加速度： r ∑ mi dt dvC i =1 r aC = = = dt M
质心与质心运动定律
【解析】
l ( m1 − m2 ) + ( M + m1 + m2 )∆l 2 = M + m1 + m2 由质心位置不变，得 l l ( m2 − m1 ) = ( m1 − m2 ) + ( M + m1 + m2 )∆l 2 2 ∴ ( m2 − m1 )l = ( M + m1 + m2 )∆l ( M + m1 )∆l + m1l (150 + 60) × 0.2 + 60 × 3 ∴ m2 = = = 79.3 kg l − ∆l 3 − 0.2
质心与质心运动定律
【解析】
2 v0 sin 2θ 若炮弹不爆炸，则其射程为 R = g 炮弹爆炸后，根据质心运动定律可知，其质心仍沿原炮
弹轨迹运动，其射程也不变。 由于爆炸后两块均为竖直方向的初速度，故两块任何时 间均 在等高位置，且与质心等高。
质心与质心运动定律
【解析】
故 m2 的射程可由质心坐标间接求出。
使之动量发生改变所需的外力。
第十五讲 动能（一）
方小敏
动能
一、功与功率
1、恒力的功 功为过程量，是能量变化的量度。 功的大小等于作用在物体上的力跟物体在力的方向 上通过的距离的乘积。
r r W = F ⋅ s = Fs cos α
新课标提醒
Ø 功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 Ø 单位：焦耳(J), 1 J = 1 N·m
质心运动定律
四、质心运动定律
r r ∴ F外 = Mac r 量，ac 为质心的加速度。
这就是质心运动定律的数学表示式。M 为质心的质
其分量形式为：
r F外x = MaCx
r F外y = MaCy
作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度 ——质心运动定律
质心运动定律
四、质心运动定律
质心概念非常重要，其应用和牛顿第二定律一致。 今天我们主要了解的最简单的情况：假如一个质点 系在某一个方向不受外力，那么，质心在该方向上的加 速度为 0 ，如果物体初状态静止，那么质心的位置就保 持不变。
o
(1) z r ∑ mi ri
n i =1 n
m1 x
∑m
i =1
i
r r r r m1r1 + m2 r2 + … + mi ri + … rC = = m1 + m2 + … + mi + …
∑m
i =1
i
质心
二、质心的位置
将 (1) 式用分量式表示，可得质心的位置坐标为：
xC =
∑m x
i =1 n i
质心与质心运动定律
【解析】
由于体系水平方向不受外力，故质心的位置不变。 如图取坐标轴，原点为船初始的中点，
xC 0 l l m1 ( − ) + m2 ( ) 2 2 = M + m1 + m2 m2 − m1 l = M + m1 + m2 2
两人交换位置后，质心的位置
l l m1 ( + ∆l ) + m2 ( − + ∆l ) + M ∆l 2 2 xC = M + m1 + m2
质心与质心运动定律
【例题 2】一质量为 M 的箱子内有一质量为 m 的物 体，通过一根轻弹簧与箱子顶连接，如图所示。现将挂 箱子的绳剪断，求剪断瞬间物块相对箱子的加速度。
质心与质心运动定律
【解析】
绳剪断瞬间，体系仅受重力作用，
∴ ( M + m ) g = ( M + m )aC am = 0 ∴ aC = g
∆W P＝ ∆t
瞬时功率：
r r r r r ∆W F ⋅ ∆s ∆s r P = lim = lim =F ⋅ lim =F ⋅ v (单位：瓦 w) ∆t →0 ∆t ∆t → 0 ∆t → 0 ∆ t ∆t
此时物体的受力没变，它相对地面的绝对加速度 此时箱子的加速度为 aM ， ( M + m )aC = mam + Ma M
M +m ∴ aM = g M
根据相对运动，物体相对箱子的加速度 a′ 为 m
r r r am = a ′ + a M m ∴ a′ = − a M = − m M+m g，方向向上 M
质心
一、质心
质心的的运动用来代表质点系的整体运动。 质心的质量代表质点系的总质量。
Ø 轻棒和两个相同的小球组成的 1 2
系统中，将它斜向抛出时，质心的 运动为抛物运动。
质心：质点系质量中心的简称。
质心
二、质心的位置
以两质点为例： 由质量分别为 m1 和 m2 的两个质点构成的体系， 两质点的位置坐标分别为 x1 和 x2，如下图所示。 则由下面式子决定的位置 xC 所对应的点 C 定义为 该质点系的质心：
例如 m1 ? m2 ，那么在求 xC 时， x2 所占的比重
因此质心的位置 xC 更靠近 x1。