质心运动定理

m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t

质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。

即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。

可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。

定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。

一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。

质心运动守恒定理
质心运动守恒定理，也称为质心运动定理，是物理学中的一个重要定理，用于描述系统总质量的质心在不受外力作用时的运动特性。

质心是一个系统的所有质点的质量加权平均位置。

在不受外力作用的情况下，质心的运动有一个重要的特性：系统的质心以恒定的速度直线运动。

质心运动守恒定理的表述如下：
在一个封闭系统中，如果系统内部没有外力作用，那么系统的质心将以恒定的速度沿着直线运动。

这意味着，如果一个系统内部没有物体离开或进入，系统的总质量保持不变，而且系统的质心在运动过程中不会改变速度或方向。

质心运动守恒定理是一个非常有用的工具，特别在研究大规模物体组成的系统时，如行星运动、天体运动等。

需要注意的是，如果系统受到外力作用，那么质心运动守恒定理将不再适用，质心的运动将会受到外力的影响。

因此，在具体问题中，需要根据情况来判断是否可以应用质心运动守恒定理。

1/ 1。

这两个结论称为质心运动守恒定理。 这两个结论称为质心运动守恒定理。 质心运动守恒定理
问题1 两个相同均质圆盘， 问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用， 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？ ），哪个圆盘跑得更快 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？
maC = ∑miaCi = ∑F i
E
dr E C maC = m 2 = ∑F i dt
－－质心运动定理 －－质心运动定理
2
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
自然表示法： 自然表示法：
dvC E maCt = m = ∑F it dt 2 vC E maCn = m = ∑F in
ρ
maCb = 0 = ∑FE ib
特殊情形： 特殊情形：
dr E C maC = m 2 = ∑F i dt
2
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY

3-9 质心 质心运动定律
➢ 圆环的面积 ds 2πRsin Rd
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
➢ 圆环的质量 dm 2πR2 sin d
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
第三章 动量守恒和能量守恒
7
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
n n
m'vC mivi pi
n
再对时间
t
i 1
i 1
求一阶导数，得
m'aC
d( pi )
i 1
dt
第三章 动量守恒和能量守恒
11
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
根据质点系动量定理
n
n
dpi
i1 dt
n Fi e x
i 1
（因质点系内 Fiin 0 ）
F ex
i 1 m' dvC
Rcosθ
x
yC
1 m'
ydm
y 2πR2 sind 2πR2
第三章 动量守恒和能量守恒
8
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
而 y R cosθ
y
Rsin θ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
π
其所质以心yC位矢R：r0C2
cos
R
sin
2j
d
R
2
第三章 动量守恒和能量守恒
9
物理学
dt
m'aC
作用在系统上的合外力等于系统的总

∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑

N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =

角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。

质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。

这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。

牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。

对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。

此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。

因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。

具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。

又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。

这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。

将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。

因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。

总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。

通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。

同理， 同理，
例1 已知一半圆环半径为 R，质量为 。 ，质量为M。 它的质心位置。 质心位置 求 它的质心位置。 解 建坐标系如图 取 dl
y
dθ
M dl = Rdθ dm= Rdθ dm = λdl πR x = Rcosθ y = Rsinθ
yc
dm
θ
∫ ydm = ∫ =
M
π
0
M Rsinθ dθ 2R π = (< R) M π
1. 质心速度与质点系的总动量 质心速度与质点系的总动量
r rc = r ∑ mi ri
i
∑m
i
i
v v dr v υ c = c = ∑ miυ i dt i
v ∑ mi = P m
i
r v P = mυc
v
r v P = ∑ miυi
i
mυ c
C
m
2. 质心运动定理 质心运动定理 运动定理——质点系的动量定理 质点系的动量定理 v v v dυ c v v F外 ac = = ∑ mi ai ∑ mi = F外 m dt i i
dυc r =m ＝mac dt
v
r r dP F外 = dt
∫
t2
t1
r r P r F外 dt = ∫ r dP P0
讨论
r F外
1）质心运动定理（质点系动量定理） ）质心运动定理（质点系动量定理） 微分形式和积分形式： 微分形式和积分形式： r r r dP r r t2 r = mac （F外 = ） ∫ F外dt = P P0
(1)
( 2)
m X = l (1 cosθ ) M +m
课后问题： 课后问题： 选一个参考系， 选一个参考系，使得质心在此参考系中 那么质点系的总动量恒为零， 静 止，那么质点系的总动量恒为零， 这说法正确吗？ 这说法正确吗？

（12.10）
mi ri rc
2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
m r1 m r2 ...... m rn rc m m ...... m r1 r2 ...... rn 1 ri n n
1/n 与 i 无关，为公因子。
e F ix 0, px cont
运动分析：t=0 时系统静止； t时刻：车v，人v+vr
可知
t 0
px 0 0
y
车重W，人重Q，某瞬时人相对小 车的速度为vr，试求此时的车速v？
e F ix 0, px cont
vr Q
v
o
N1
W
N2
x
t=0时系统静止； t：车v，人v+vr 可知
（3）
将质心c的运动方程等式两端微分得：
y
m2 2 x e cos t c m1 m2 （4） y m2 e 2 sin t c m1 m2
c1
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx Ry
(4)质心运动微分方程：
m1 m2 xc m2e 2 cos t Rx 2 m m y m e sin 1 2 c 2 Ry m1 g m2 g
习题12.19 均质杆AB，长2L，铅直地静置于光滑
水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆AB在
倒下过程中，点A的轨迹方程。
y A Co , C B , FN B mg , A
x
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：

求: 它的质心位置。
y
d
C 0.64R
dm

x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R

x R cos y R sin
M d 0.

R sin 0 M

xc
x dm
M

R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc

rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c

第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。

牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。

特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。

在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。

质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。

质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。

质心运动定理公式
《质心运动定理公式》是物理学中一个重要的定理，它描述了质点在牛顿力学中的运动规律。

它指出，在牛顿力学中，一个质点的运动轨迹是一个椭圆，其中质心是椭圆的中心，它是质点的动量的守恒定律的结果。

质心运动定理的公式为：质点的轨迹方程为：
x²/a²+y²/b²=1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，x为质点的横坐标，y为质点的纵
坐标。

质心运动定理公式的发现对物理学的发展具有重要意义，它可以用来描述质点运动的轨迹，也可以用来解释物体运动的规律，比如太阳系中行星的运动轨迹就是椭圆，它们的轨迹就是质心运动定理的结果。

此外，质心运动定理公式也可以用来描述其他物理现象，比如电子在原子核中的运动轨迹也是椭圆，它们的运动轨迹也是质心运动定理的结果。

质心运动定理公式是一个重要的定理，它可以用来描述物体运动的规律，为物理学的发展做出了重要贡献。

质心运动定理讲解
质心运动定理是物理学中的一个重要定理，它描述了一个物体的质心在外力作用下的运动规律。

质心是一个物体的所有质点的平均位置，它是一个重要的物理量，可以用来描述物体的运动状态。

根据质心运动定理，一个物体的质心在外力作用下的运动规律可以用以下公式表示：
F = ma
其中，F表示物体所受的外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

这个公式表明，一个物体所受的外力越大，它的加速度就越大，质心的运动速度也就越快。

质心运动定理的应用非常广泛，它可以用来解释很多物理现象。

例如，当一个物体受到一个施加在它上面的力时，它的质心会向着力的方向运动。

这个现象可以用质心运动定理来解释，因为当一个物体受到外力时，它的质心会受到相同的力，从而产生加速度，导致质心运动。

质心运动定理还可以用来解释物体的旋转运动。

当一个物体旋转时，它的质心也会随着旋转，但是质心的运动速度和旋转速度是不同的。

这个现象可以用质心运动定理来解释，因为当一个物体旋转时，它的质心会受到向心力的作用，从而产生向心加速度，导致质心运动。

质心运动定理是物理学中一个非常重要的定理，它可以用来解释很多物理现象。

通过理解和应用质心运动定理，我们可以更好地理解物体的运动规律，从而更好地掌握物理学知识。

质心运动定理表达式
质心运动定理是一种在物理学中使用的定理，它定义了一个物体在受外力作用时，其运动轨迹对于半径等于质心处运动轨迹的投影是什么。

质心运动定理的数学表达式是：速度矢量的和等于两个外力矢量的和乘以质心距离的倒数（P2-P1）。

质心运动定理可以在物理学中应用于多种情况。

例如，在分析多部件系统的运动特性时，可以使用质心运动定理来描述它们之间的运动关系。

比如，可以用质心运动定理来求解车轮系统中每个部件的运动关系，也可以用它来研究悬挂系统中悬挂点与质心之间的运动特性。

此外，质心运动定理还可以用来描述复杂的摩擦力学系统中物体之间的运动特性；还有，它还可用来检验重力势能场和摩擦力场影响的运动特性，以及多体系统中的动力学。

另外，质心运动定理还被广泛应用于船舶分析和控制系统的设计中，并可以用来确定摇杆系统的运动特性，并对船只在自由和受控状态下的运动进行预测和模拟。

总而言之，质心运动定理是一种在多种应用领域都有重要应用的定理，可以用来查明受外力作用时物体的移动历程。

正是有了这个定理，我们才能更加清楚的掌握复杂物理问题，从而做出更好的解决方案。

质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc

rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt