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2018年上海高三一模真题汇编——函数专题

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2018年一模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= .【答案】2-.【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭. 【点评】考察函数的概念.【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时，112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时，1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上，所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2xf x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-. 【解析】()()()2xf xg x x ----=+-，根据奇偶性可得，()()2x f x g x x -+=-，所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式.【例2】已知函数()121x f x a =-+为奇函数，求实数a 的值. 【答案】12a =. 【解析】方法一：()()f x f x -=-，112121x xa a --=-+++，解得12a =；方法二：因为函数为R 上的奇函数，所以()00f =，解得12a =. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值。

注意方法二在使用时一定要确保“0”在定义域内.【知识点3】函数的单调性【例1】已知定义在(2,2)上的函数()f x 满足()()f x f x ，且在(2,2)上单调递增，若(2)(12)0f a f a ，求a 的取值范围.【答案】102a -<<. 【解析】已知函数为件数，可得2221212202221a a a a a -<+<⎧⎪-<-<⇒-<<⎨⎪+>-⎩.【点评】根据函数的奇偶性和单调性解不等式.【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。

给出下列函数：①1y x =+；②21y x =+；③1x y e =+；④00ln x x y x ⎧≠=⎨=⎩，其中“H 函数”的序号是 .【答案】①③.【解析】()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+可转化成()()12120f x f x x x ->-，即()f x 为单调递增的函数，所以选①③.【点评】考察函数单调性的等价定义.【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题【例1】函数)(4)2(2)2()(2R a x a x a x f ∈--+-=且0)(<x f 在)3,1(∈x 上恒成立。

求a 的取值范围. 【答案】3415a ≤. 【解析】()0f x <恒成立说明()0max f x <.方法一：（分类讨论）①2a >时，函数为开口向上，对称轴为1x =-的二次函数，此时()()31534max f x f a <=-，所以15340a -≤，即34215a <≤；② 2a =时，函数()40f x =-<，符合题意；③ 2a <时，函数为开口向下，对称轴为1x =-的二次函数，此时()()1310max f x f a <=-，所以3100a -≤，即103a ≤，所以2a <。

综上所述，3415a ≤. 方法二：（参变分离）2422a x x <++在)3,1(∈x 上恒成立，即2422mina x x ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，所以3415a ≤. 【点评】不等式恒成立问题，注意最值能否取到的问题以及方法二中分离参数时是否需要改变不等号方向的问题.【例2】已知()22ax xf x x=-（a 为常数），221()x g x x +=，且当1x 、2[1,4]x ∈时，总有12()()f x g x ≤，则实数a 的取值范围是 . 【答案】16a ≤-. 【解析】()222f x ax x =+，()12g x x x=+.12()()f x g x ≤恒成立说明()()max min f x g x ≤，即()3max f x ≤，16a ≤-.【点评】不等式恒成立问题，注意当括号里x 取值不一样时应该分别求最值，若一样则应该用作差求最值.【知识点5】函数的零点【例1】设是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有且当时，1()()12x f x =-.若函数()()log (2)(1)a g x f x x a =-+>在区间(]2,6-恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 .2a <<.【解析】将()g x 的零点问题转化成函数()f x 和函数()2a y log x =+的图像交点个数问题，可得43283a a log a log <⎧⇒<<⎨>⎩. 【点评】考察函数零点个数的问题.【例2】已知函数()()()()21010x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .【答案】1a <.【解析】数形结合，从函数的图像交点情况上即可得出结论. 【点评】考察函数零点个数的问题.【知识点6】函数的对称性和周期性【例1】已知b a ,是常数，0ab ≠，若函数3()arcsin 3f x ax b x =++的最大值为10，则)(x f 的最小值为__________． 【答案】4-.【解析】根据条件可知，函数()f x 关于点()03, 对称，即()()6f x f x +-=。

所以，当()0f x 取得最大值时，()0f x -必然为最小值，所以()()()64min max min f x f x f x +=⇒=-. 【点评】考察函数关于点对称的问题.()f x (2)(2),f x f x -=+[2,0]x ∈-【例2】函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为 .【答案】1513.【解析】首先，根据题意画出函数()y f x =的大致图像，由于()()()()1max min 4n n f x f x f x f x --≤-=，且题目要求n n x +最小值，则很轻松的就可以得到，当每一个绝对值均取4时，可以最快的得到2016，也就是可以使得n n x +最小；20165044=，则需要504个差值，由于10x =，且周期为4，则504n =，此时可算得50421008n x =⨯=，那么n n x +最小值为1513. 【点评】考察函数的周期性问题.【知识点7】反函数【例1】若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 ______________. 【答案】()112x fx --=.【解析】4182a log a =+⇒=，1212y y log x x -=+⇒=，所以()112x fx --=.【点评】考察求函数的反函数.【例2】若函数()2log 1x af x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，则a =_______. 【答案】2a =.【解析】函数()2log 1x a f x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，所以函数()2log 1x af x x -=+的图像过点()32,-，所以23231a log --=+，2324a --=，2a =. 【点评】考察反函数与原函数的关系.【知识点8】幂指对方程【例1】方程22log (95)2log (32)x x-=+-的解x = .【答案】1x =.【解析】()()2295438xxlog log -=-，95438xx-=-，2430t t -+=，因为25020t t t ⎧->⇒>⎨->⎩，所以3t =，即33x =，1x =.【点评】考察解指对数方程，注意定义域.【例2】方程lg(34)1x +=的解x = . 【答案】2x =.【解析】3410x +=，2x =. 【点评】考察解指对数方程.【知识点9】新定义【例1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 ___________.（注：把你认为正确的序号都填上） 【答案】②③.【解析】函数①：显然2y x =的图像不仅仅经过一个格点，例如（1，1）、（-1，1）； 函数②：2sin y x =，若纵坐标取整数，当2y =时，22x k ππ=+，显然x 不可能为整数；当1y =时，26x k ππ=+或526x k ππ=+，显然x 不可能为整数；当0y =时，x k π=，当0k =时，0x =，该函数图像经过（0，0）点；当1y =-时，26x k ππ=-+或526x k ππ=-+，显然x 不可能为整数；当2y =-时，322x k ππ=+，显然x 不可能为整数；综上，该函数图像只经过一个格点. 函数③：借助xy π=的图像来看，因为底数为π，所以当0x =时，y 才有可能取整数1，1xy π=-是x y π=向下平移一个单位，所以只经过格点（0，0），所以是一阶格点函数；函数④：cos()3y x π=+，若纵坐标取整数，当1y =时，23x k ππ=-+，显然x 不可能为整数；当0y =时，6x k ππ=+，显然x 不可能为整数；当1y =-时，223x k ππ=+，显然x 不可能为整数，综上，该函数不是一阶格点函数.【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.【例2】设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都有•()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：① 如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ② 函数f x x =（）是“似周期函数”； ③ 函数2xf x =﹣（）是“似周期函数”； ④ 如果函数f x cos x ω=（）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）【答案】①③④.【解析】命题①：由题意得，(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以周期为2，成立； 命题②：()()1xf x T Tf x x T Tx T x +=⇒+=⇒=-得不到定值，命题不成立 命题③：()()222x Tx T f x T Tf x T T ----+=⇒=⇒=，作函数y x =和函数2x y -=的图像会发现有交点，即2TT -=有解，所以函数()2x f x -=是“似周期函数”，命题成立；命题④：[][]2()(1)(2)()n f x nT Tf x n T T f x n T T f x +=+-=+-=，即cos ()cos nx nT T x ωω+=对任意,*x R n N ∈∈恒成立，所以1T =±。

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上海市崇明区2018届高三第一次模拟考试数学试题含答案

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2018年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．不等式＜0的解是．4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．5．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a= ．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项 a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若?=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．。

2018高三年级一模汇编-三角比三角函数

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2017年高三一模汇编——三角比与三角函数一、填空题1（宝山2017一模6）若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为【参考答案】12（崇明2017一模9）已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是【参考答案】8333（奉贤2017一模12）已知函数()sin cos f x x x ωω=+(0)ω>，x R ∈，若函数()f x 在区间(,)ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 【参考答案】2π4（虹口2017一模3）设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a = 【参考答案】05（虹口2017一模6）已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一） 【参考答案】充分非必要 6（金山2017一模4）函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期是__________【参考答案】π7（静安2017一模2）函数2()13sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 【参考答案】π8（静安2017一模6）已知α为锐角，且3cos(),45πα+=则sin α= 【参考答案】2109（闵行2017一模8）集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 【参考答案】2{,}33ππ10（浦东2017一模8）函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为【参考答案】π11（普陀2017一模2）若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 【参考答案】72412（青浦2017一模9）将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''，则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01） 【参考答案】3.6213（松江2017一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为 【参考答案】π14（杨浦2017一模4）若ABC ∆中，4a b +=，o 30C ∠=，则ABC ∆面积的最大值是 。

上海市浦东新区2018届高三数学一模试题(解析版)

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上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵，，∴点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 不等式的解集为________【答案】【解析】由，得：，即解得：∴不等式的解集为.3. 已知函数的反函数是，则________【答案】3【解析】设，则即∴∴故答案为：34. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为________【答案】-1【解析】∵向量，，∴，，∴向量在向量的方向上的投影为故答案为：-15. 已知是虚数单位，复数满足，则________【答案】【解析】∵∴∴故答案为：点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．6. 在的二项展开式中，的系数是________【答案】80【解析】由题意得：，当时，∴的系数是80故答案为：807. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为________【答案】【解析】一工厂生产的10个产品中有9个一等品，1个二等品，现从这批产品中抽取4个，基本事件总数n==495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数m=，∴其中恰好有一个二等品的概率p==．故答案为：8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴又在上是增函数，∴即，∴故答案为：9. 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为________【答案】10【解析】由题意知：即∴使得的的最小值为10故答案为：1010. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为________【答案】【解析】因为|OA|=3，所以底面圆周长为6π，所以底面圆的面积为9π，所以弧AB长为6π，又因为，则有，所以SA=9．扇形ASB的面积为，所以圆锥的表面积=9π+27π=36π故答案为：36π学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...【答案】【解析】由题意可知：∴又对任意的实数，都有成立，∴为的最小值，为的最大值∴，，，∴的最小值为12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________ 【答案】【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备，当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故答案为：必要非充分条件14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，，，，，故选；B15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 33【答案】C【解析】由题意可得：，解得：∴∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时故选：C16. 关于的方程恰有3个实数根、、，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】设，易知：为偶函数，若方程恰有3个实数根、、，其中一根必为0，另外两根互为相反数，，即，由图易得：另外两根为，∴故选：B点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体中，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由是异面直线与所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥的体积.试题解析：（1）是异面直线与所成的角或其补角.在等腰中，易得.即：异面直线与所成的角.（2）.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且. （1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，易得：，利用正弦定理把条件统一到角上，从而易得的值；（2）由余弦定理及，易得：，再结合，得到的值.试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得：，∴；；由，∴，∴；（2）由，∴，∴，∴；由知，，∴，∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.19. 已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，，，令（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析：（1），，，，（2）∵，∴，，当时，，，，当时，是偶数，20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2)设直线方程：，联立方程可得：，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切，，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数. 试题解析：（1）由得：，所以………①又周长为，所以………②解①②方程组，得所以椭圆方程为（2）设直线方程：，交点依题：即：过定点.（3），设直线与椭圆相切，得两切线到的距离分别为当时，个数为0个当时，个数为1个当时，个数为2个当时，个数为3个当时，个数为4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭. （1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足 ，其中（），，证明：存在的真子集， ，使得在所有（）上封闭.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)根据在上封闭的定义，分别求出函数，在上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.从而问题转化为：在两不等实根．（3）分两种情况：和，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..试题解析：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.在上封闭（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.在单调递增.则在两不等实根．，故，解得．另解：在两不等实根．令在有两个不等根，画图，由数形结合可知，解得．（3）如果，则，与题干矛盾.因此，取，则.接下来证明，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..。

2018届浦东区高三一模数学Word版(附解析)

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上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷2017.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合{1,2,3,4}B=，则A B =A=，{1,3,5,7}2. 不等式11<的解集为x，3. 已知函数()21=-的反函数是1()f x-f x x则1(5)f-=4. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a在向量b的方向上的投影为5. 已知i是虚数单位，复数z满足(1)1z ⋅=，则||z =6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为8. 已知函数()y f x=是定义在R上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f+≤，则实数a的取值范围是9. 已知等比数列11,,1,93⋅⋅⋅前n项和为n S，则使得2018n S>的n的最小值为10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为 11. 已知函数()sin f x xω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线22124x y -=上的两个动点，动 点P满足2OP OM ON=-，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若实数,x y R∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 14. 已知ABC∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则BQ CP⋅的最小值为（ ）A. 4- B. 2- C. 1- D. 015. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系kx b y e+=（ 2.718e=⋅⋅⋅为自然对数的底数，k、b为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 3316. 关于x的方程2arcsin(cos)03x x a++=恰有个实数根1x、2x、3x，则222123++=x x x（）A. 1B. 2C. 2π D. 22π2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角； （2）求三棱锥1B D AC-的体积.18. 在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b 、c ，已知(2,1)m =，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n⊥.（1）求C；（2）若227c b =，且ABC S ∆=b的值.19. 已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n项和22n S pn n=+（*n N ∈，p R∈）.（1）求p的值及{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)(2)nn na n k cb n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），求数列{}n c 的前n项和nT .20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB 与AC的斜率之和为1-，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP∆面积S的不同取值范围，讨论AEP∆存在的个数，并说明理由.21. 已知函数()f x 的定义域为D，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈，若()f D D⊆，则称()f x 在D上封闭.（1）分别判断函数2017()2017log xf x x=+，2()1x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由；（2）函数()f x k=的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数()f x在D上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D，对任意,x y D∈，若x y≠，有()()f x f y ≠恒成立，则称()f x 在D上是单射，已知函数()f x 在D上封闭且单射，并且满足()x f D D，其中 1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈），1()()f xf x =，证明：存在D的真子集，nD 1n D -⋅⋅⋅3D 2D 1D D，使得()f x 在所有iD （1,2,3,,i n=⋅⋅⋅）上封闭.参考答案一. 填空题 1. {}1,32.(,0)(1,)-∞+∞U 3. 34. 1- 5. 126. 807. 16338. []5,3- 9. 1010. 36π11. π12.二. 选择题13. B 14.B 15. C 16. B 三. 解答题17.（1）11//AD BC Q1A D C∴∠是异面直线1BC 与1CD 所成的角或其补角.2分在等腰1ACD ∆中，11AC CD AD ==易得110CD A ∠=……………………4分即：异面直线1BC 与1CD所成的角arccos10……………………1分（2）11B D AC D ABCV V --=……………………4分111(12)1323=⨯⨯⨯⨯=……………………3分 18. （1）由m n⊥u r r，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=， (2)分由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；2sin cos sin 0C C C +=；由sin 0C ≠，∴1cos 2C =-，……………………2分 ∴23C π=；……………………1分 （2）由2222cos c a b ab C=+-，∴22272cos b a b ab C=+-，∴2260a ab b +-=，∴2a b=；……………………4分由ABC S ∆=知，1s i 232a b C=，∴122b b ⋅⋅=，……………2分∴2b = (1)分19. （1）22n S pn n=+Q*22,n a pn p n N ∴=-+∈ (3)分1p ∴=，122)1(3+=-+=n n a n ……………………3分（2）∵21323,49b a b a ===+=，∴3=q ，2212333n n n n b b q ---==⨯=，……………………2分 当*2,n k k N =∈时，1234212n k kT a b a b a b -=++++++L(1)3(31)28n n n +-=+ (3)分 当*21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩……………………3分 20. （1）由1223F AF π∠=得：13F AO π∠=，所以2a b ==………① 又12AF F ∆周长为43+，所以224a c +=+………②解①②方程组，得21a b =⎧⎨=⎩所以椭圆方程为2214x y +=………………………4分（2）设直线l方程：y k x m=+，交点1122(,),(,)B x yC x y22222(14)84(1)044y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩………………………1分212122284(1),1414km m x x x x k k -+=-⋅=++…………………………1分121211,AB AC y y k k x x --== ………………………………………1分依题：1AB AC k k +=-即：1212111y y x x --+=-…………………………1分21m k ⇒=-- ……………………………………………………………1分21y kx m kx k ∴=+=--过定点(-…………………………………………1分 （3）:10AE l x y +-=，(0,1),(2,1),A E AE -=………………………1分设直线:l y x t=-+与椭圆2214x y +=相切，22225210414y x tx tx txyt=-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩∆=⇒=……………………1分得两切线到:10AEl x y+-=的距离分别为12d d==()2112AEP dS∆=⋅=………………………1分当1AEPS∆>+时，AEP∆个数为0个当1AEPS∆=+时，AEP∆个数为1个11AEP S ∆<<+时，AEP ∆个数为2个当1AEP S ∆时，AEP ∆个数为3个当01AEP S ∆<<时，AEP∆个数为4个……………………3分 21. （1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，值域为(,)-∞+∞，（取一个具体例子也可）， 所以()f x 在()0,1上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）上封闭……………………()g x在()0,1（结论和理由各1分）（2）函数()f x在D上封闭，则()f D D⊆.函数1()f x-在()f D上封闭，则()D f D⊆，得到：=.………………………………()D f D…………（2分）()f x k=在[],D a b =单调递增.则(),()f a a f b b ==()f x k x⇔==在[)1,-+∞两不等实根．…………（1分）(){221g()2110x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭，故22(21)4(1)0g(1)0g()02122112k k k k k k ⎧⎪+-->⎪-≥⎪≥⎨+⎪>⎪+⎪>-⎩，解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦． …………（3分） 另解：()f x k x⇔==在[)1,-+∞两不等实根．令0)t t =≥21k t t+=-在[)0,t ∈+∞有两个不等根，画图，由数形结合可知，(11,04k ⎤+∈-⎥⎦解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦．（3）如果()f D D=，则()n f D D=，与题干()n f D D≠⊂矛盾. 因此()f D D≠⊂，取1()D f D =，则1D D≠⊂.…………………………（2分）接下来证明11()f D D ≠⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈，则p是唯一的使得()()f x f p =的根，换句话说1()()f p f D ∉.……………（2分） 考虑到1\p D D ∈，即{}1\D D p ⊆，因为()f x 是单射，则{}(){}{}111()\()\()\()f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了11()f D D ≠⊂.………………………………………………（3分）接着令1()n n D f D +=，并重复上述论证证明1n nD D +≠⊂.…………（1分）。