大值、最小值问题》课件(北师大版选修(1)

【成才之路】2015-2016学年高中数学 4.2.2最大值、最小值问题第1课时练习 北师大版选修1-1一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B ．π2－1C ．πD ．π＋1[答案] C[解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数， ∴f (x )的最大值为f (π)＝π－sin π＝π，故选C.2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在(1,3)上f (x )是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C[解析] 由导函数y ＝f ′(x )的图像知，f (x )在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x ＝4是f (x )的极小值点，故A 、B 、D 错误，选C.3．(2014·营口三中期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx 在x ＝1处有极值，则a ＋b 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由条件知x ＝1是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＋b ＝6. 4．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B ．229C.329D ．38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.5．(2014·河南淇县一中模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13[答案] B[解析] y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a<1，∴a <－3.6．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D ．(0，32)[答案] D[解析] y ′＝3x 2－2a ，因为函数在(0,1)内有极小值， 所以方程3x 2－2a ＝0较大的根在(0,1)内， 所以2a ＝3x 2∈(0,3)， 所以a ∈(0，32)．二、填空题7．设函数f (x )＝－x 3＋3x －1，则其极大值点为________，极小值点为________． [答案] 1，－1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调减；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调增，所以f (x )极大值点为x ＝1，极小值点为x ＝－1. 8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间( t －1，t ＋1)上不是单调函数，则t 的取值范围是________．[答案] [1，32)[解析] f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝x －x ＋x，f (x )在其定义域的一个子区间不单调，则需0≤t －1<12，1≤t <32.三、解答题9．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．[答案] (1)极大值913，极小值－113 (2)最大值913，最小值－113.[解析] (1)由导数公式表和求导法则可得f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表f (－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋4＝913.而当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝13×23－4×2＋4＝－113.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝913.与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[－3,4]上的最大值是913，最小值是－113.10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值． [答案] (1)a ＝2，b ＝－4 (2)13[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (3)＝27，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.2．(2014·开滦二中期中)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎨⎧b >02b <1，∴0<b <12.3．(2014·枣庄市期中)若1、3为函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )的两个极值点，则曲线y＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为( )A ．8B ．6C ．4D ．0[答案] A[解析] f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ，由条件知，1,3是方程f ′(x )＝0的两个实根，∴b ＝－2，c ＝3，∴f ′(－1)＝8，故选A.4．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)<e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0) D ．f (2)>e 2f (0)[答案] D [解析] 设F (x )＝f xex，则F ′(x )＝f x －f xex>0，∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)， ∴fe2>fe，即f (2)>e 2f (0)．二、填空题5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.[答案] 3[解析] 考查分式函数求导法则、极值点的性质． f ′(x )＝2xx ＋－x 2＋a x ＋2＝x 2＋2x －ax ＋2， f ′(1)＝0⇒1＋2－a4＝0⇒a ＝3. 6．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a ，a ](a >0)内图像不间断的函数f (x )满足f (－x )－f (x )＝0，函数g (x )＝e x·f (x )，且g (0)·g (a )<0，又当0<x <a 时，有f ′(x )＋f (x )>0，则函数f (x )在区间[－a ，a ]内零点的个数是________．[答案] 2[解析] ∵f (－x )－f (x )＝0，∴f (x )为偶函数， ∵g (x )＝e x·f (x )，∴g ′(x )＝e x[f ′(x )＋f (x )]>0， ∴g (x )在[0，a ]上为单调增函数，又∵g (0)·g (a )<0，∴函数g (x )＝e x·f (x )在[0，a ]上只有一个零点， 又∵e x≠0，∴f (x )在[0，a ]上有且仅有一个零点，∵f (x )是偶函数，且f (0)≠0，∴f (x )在[－a ，a ]上有且仅有两个零点． 三、解答题 7．已知函数f (x )＝fe ·e x－f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求f (x )的解析式和单调区间；(2)若函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图像在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．[答案] (1)f (x )＝e x－x ＋12x 2 f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)(2)(1,1＋1e][解析] (1)由已知得f ′(x )＝fee x－f (0)＋x ，∴f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝fe，∴f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x－x ＋12x 2.显然f ′(x )＝e x－1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x ，令h (x )＝e x－x ， 则h ′(x )＝e x－1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0；当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0. ∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e ，h (2)＝e 2－2且h (－1)<h (2)，∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是(1,1＋1e]．8．(2014·唐山市二模)已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围． [答案] (1)0 (2)(－∞，0)[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x －x ，f ′(x )＝x ＋x －x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0. ∵f (x )的极小值为f (1)＝0， 又∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f (x )的最小值为f (1)＝0.(2)f (x )＞x ，即f (x )－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x ＞0. 由于x ＞0，所以f (x )＞x 等价于x －ln xx＞a ＋1.令g (x )＝x －ln x x ，则g ′(x )＝x 2－1＋ln xx2. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0.g (x )有最小值g (1)＝1.故a ＋1＜1，a 的取值范围是(－∞，0)．。

解：(2)f′(x)＝－4x3＋4x， 由 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1 或 x＝0 或 x＝1， 当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
所以当 x＝－3 时，f(x)有最小值－60， 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)有最大值 4.
变式训练： 1．求函数 f(x)＝－2cosx－x 在区间－π2，π2上的最大值与最小 值．
(2)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0.但反过 来不一定成立． (3)函数的极值不是唯一的． (4)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函 数的极大值未必大于极小值． (5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点．
2．利用结论“判”与“求” 结论1：极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么 f(x0)是极小值．
自主探究 1．函数的极值与最值的区别和联系．
【答案】
区别
联系
是在局部对函数 极 值 可 能
如果连续函Байду номын сангаас
极 值的比较，表示 有 多 个 ， 只能在区 数 在 开 区 间
值 函数在某一点附 也 可 能 没 间内取得 (a，b)内存在
近的局部性质 有
最大(小)值，
最 值
是对考区间函在查上数整函的值个数情的区在况比间整较上个，最值有一最大个多( 小只)
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
课标要求
理解函数最值的概念，了解函数最值与极 值的区别和联系，会用导数求在给定区间 上不超过三次的多项式函数的最大值、最 小值.

3
6
62
) =- + .
3
6
6
2
6
又f(x)在区间端点的取值为f( ) =- ,f (- )= ,所以
2
2
22
f(x)max=
2
,f(x)min=-
.
2
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7.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比， 已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费 用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速 度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
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2.极值和最值的区别与联系？ 提示：(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值 必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个 区间上所有函数值中的最小值. (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出 的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极 值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有 最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点 必定是极值.
又f(-1)=-7a+b,f(0)=b,f(2)=-16a+b,
∵a＞0，∴最大值为b，最小值为-16a+b.
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二、填空题（每题5分，共10分） 4.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最大值、最小值分 别为_____. 【解析】f′(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1). 又x∈［0,3］，由f′(x)=0得x=2, f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4, ∴f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-15. 答案：5,-15

微教案
求近似数的最大值与最小值
席张中心校席张小学程林娟教学目标：
1、通过学习，理解求近似数最大值与最小值的方法。
2、通过探究交流，能用语言总结求近似数最大值与最小值的方法并能正确应用。
教学过程：
一、导入
这节课我们一起来学习求近似数的最大值与最小值。学习新知识之前，我们一起回忆一下求近似数的方法有哪些？
生：“省我们借助数级表填一填。
最大值
最小值亿级万级个级
最大值：肯定超过十万了，万级写10，补个级。因为四舍五入到万位是看千位，千位要舍去，在舍去的数字中，4是最大的，所以千位补4，其余数位不参与四舍五入，最大补9。
最小值：肯定比10万小，10-1=9，万级写9，补个级。因为10是千位向前一位进1得到的，所以最小值万级要减1，补个级。因为向前一位进1，千位最小补5，其余数位不参与四舍五入，最小补0。
2、巩固练习：
（1）一个数四舍五入到万位是12万，这个数最大是（），最小是（）。
（2）一个数精确到万位是120万，这个数最大是（），最小是（）。
要求：
借助数级表填一填。
观察这两道题的，最大值、最小值与近似数的关系，你发现了什么？3、总结规律：
近似数的最大值：近似数“照抄”补尾，尾数的最高位补4，其余数位补9。
（1）四舍五入法：这是最常用的求近似数的方法。当省略的尾数最高位上的数是4或比4小的时候，就把尾数舍去；当省略的尾数最高位上的数是5或比5大时，把尾数去掉后，要向前一位进1。
（2）进一法：在实际生活中，有时把一个数的尾数省略后，不管尾数最高位上的数是几，都要向它的前一位进一。用进一法得到的近似数总比准确值大。
（3）去尾法：在实际生活中，有时把一个数的尾数省略后，不管尾数最高位上的数字是几，都不要向它的前一位进一。用去尾法得到的近似数总比准确值小。