北京市海淀区2011届高三二模考试(数学理)

- 1 - 海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 （理科） 2011.5

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 复数11i在复平面上对应的点的坐标是

A．(1,1) B. (1,1) C. (1,1) D. (1,1)

2. 已知全集R,U 集合1,2,3,4,5A,{|2}BxxR，下图中阴影部分所表示的集合为

A {1} B. {0,1}

C. {1,2} D. {0,1,2}

3．函数21()logfxxx的零点所在区间

A．1(0,)2 B. 1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3)

4.若直线l的参数方程为13()24xttyt为参数，则直线l倾斜角的余弦值为

A．45 B． 35 C． 35 D． 45

5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：

甲 乙

9 8 8 1 7 7 9 9

6 1 0 2 2 5 6 7 9 9

5 3 2 0 3 0 2 3

7 1 0 4

根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数

C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

BA - 2 - 6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是

7．若椭圆1C：1212212byax（011ba）和椭圆2C：1222222byax（022ba）

的焦点相同且12aa.给出如下四个结论：

① 椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点； ②1122abab；

③ 22212221bbaa； ④1212aabb.

其中，所有正确结论的序号是

A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③

8. 在一个正方体1111ABCDABCD中，P为正方形1111ABCD四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，,MN分别为,ABBC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段1DQ与OP互相平分，则满足MQMN的实数的值有

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

非选择题（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9．点(,)Pxy在不等式组2,,2yxyxx表示的平面区域内，则zxy的最大值为_______.

11主视图左视图1111B1A1111C11DA1D1A1C1BDCBOPNMQ - 3 - 10．运行如图所示的程序框图，若输入4n，则输出S的值为 .

11．若4234512345(1)xmxaxaxaxaxax，

其中26a，则实数m的值为 ；

12345aaaaa的值为 .

12．如图，已知O的弦AB交半径OC于点D，若3AD，

2BD，且D为OC的中点，则CD的长为 .

13．已知数列na满足1,at，120nnaa (,)tn**NN，记数列na的前n项和的最大值为()ft，则()ft .

14. 已知函数sin()xfxx

（1）判断下列三个命题的真假：

①()fx是偶函数；②()1fx ；③当32x 时，()fx取得极小值.

其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）

（2）满足()()666nnff的正整数n的最小值为___________.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

已知函数2()cos3sincosfxxxx (0)的最小正周期为.

（Ⅰ）求2()3f的值；

（Ⅱ）求函数()fx的单调区间及其图象的对称轴方程.

16.（本小题共13分）

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.

17.(本小题共14分) 开始0,1iSin≤SSi是否1iin输入结束S输出ABODC - 4 - 如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，//ABCD，ABAD，PAB和PAD是两个边长为2的正三角形，4DC，O为BD的中点，E为PA的中点．

(Ⅰ)求证：PO平面ABCD；

(Ⅱ)求证：//OE平面PDC；

(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

18. (本小题共14分）

已知函数221()()ln2fxaxxxaxx.()aR.

（I）当0a时，求曲线()yfx在(e,(e))f处的切线方程（e2.718...）；

（II）求函数()fx的单调区间.

19．(本小题共13分）

在平面直角坐标系xOy中，设点(,),(,4)PxyMx，以线段PM为直径的圆经过原点O.

（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；

（Ⅱ）过点(0,4)E的直线l与轨迹W交于两点,AB，点A关于y轴的对称点为'A，试判断直线'AB是否恒过一定点，并证明你的结论.

20. (本小题共13分）

对于数列12nAaaa：，，，，若满足0,1(1,2,3,,)iain，则称数列A为“0-1数列”.定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A:1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.TA设0A是“0-1数列”，令1(),kkATA

12k，，3,.

(Ⅰ) 若数列2A：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,AA；

(Ⅱ) 若数列0A共有10项，则数列2A中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；

(Ⅲ)若0A为0，1，记数列kA中连续两项都是0的数对个数为kl，1,2,3,k.求kl关于k的表达式.

ADOCPBE - 5 - 海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学（理）

答案及评分参考 2011．5

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7

8

答案 D

A C B D C

B

C

非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9. 6 10. 11 11. 32 ， 116

12. 2 13. 222, (4(1), (4ttttt为偶数)为奇数) 14. ①② ,

9

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15. （共13分）

解：（Ⅰ） 13()(1cos2)sin222fxxx „„„„„„„„„2分

1sin(2)26x, „„„„„„„„„„3分

因为()fx最小正周期为π,所以22ππω，解得1ω, „„„„„„„„„„4分

所以1()sin(2)62πfxx, „„„„„„„„„„ 5分

所以 - 6 - 21()32πf. „„„„„„„„„„6分

（Ⅱ）分别由222,()262kxkkZ，3222,()262kxkkZ

可得,()36kxkkZ，2,().63kxkkZ „„„„„„8分

所以,函数()fx的单调增区间为[,],()36kkkZ；

()fx的单调减区间为2[,],().63kkkZ „„„„„„„„„10分

由2,(62ππxkπkZ）得,()26kπxπkZ.

所以，()fx图象的对称轴方程为 ()26kπxπkZ. „„„„„„„„„„13分

16.（共13分）

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A, „„„„„„„„„„1分

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， „„„„„„„„„„„3分

则4265()1()1381PAPA . „„„„„„„„„„„6分

(Ⅱ) X的可能取值为0,1,2,3,4, „„„„„„„„„„7分