江西省南昌市高三数学二模考试试题理

一、单选题二、多选题1.一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班名同学成绩的平均数为，乙班名同学成绩的中位数为，则（）．A．B．C．D．2.已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，则( )A ．B．C．D．4. 在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．30D ．315. 公差不为0的等差数列满足：，为数列的前n 项和，则下列各选项正确的是（ ）A．B．C．D．6. 已知，向量，，则“”是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.若，则不等式：中一定成立的个数是（ ）A．B．C．D．8. 已知实数，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D ．函数的图象上存在点P ，使得在P点处的切线斜率为10. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为平行四边形，，，，点江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题三、填空题四、解答题、分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（）A ．与平面所成的角为B．C ．当时，平面D ．平面11.如图，在长方体中，，，为的中点，平面与平面的交线，则下列结论中正确的是（）A．直线B．平面平面C．三棱锥的外接球的表面积为D ．直线l与平面所成角的正弦值为12.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）A．的图象关于直线对称B ．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称13. 在中，角的对边分别为，，，，则____，___．14. （5分）已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．15. 已知函数，，直线与的图像交于两点、，若的最小值为，则_________.16. 甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x 个红球、y 个黄球和z 个蓝球，.现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.(1)当，，时，求乙胜的概率；(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x ，y ，z 的值.17.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.18. 某高校组织自主招生考试，共有2000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名学生的成绩进行统计，将统计的结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：(1)求值并估计这2000名学生的平均分；(2)若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？19. 某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；(2)若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值；附：若随机变量服从正态分布，则：20. 设数列的首项为1，前n项和为，且对，恒成立，其中b，k，c均为常数．(1)当时，求数列的通项公式；(2)当时，若数列为等差数列，求b，c的值．21. 设是正数组成的数列，其前n项和为，若对于所有的自然数n，都有，证明是等差数列.。

2024年江西省南昌市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.已知向量a=(1,2). Ii=（一2,3),则石Ii=()A.2B.4C.6D.82．设复数z 满足z+ 1 = (2 + i)z,则团＝（）1-2A 石＿2B C.1 D 迈3已知集合A=(xllnx � O}, B = (xl2x � 2}，则”XEA"是“XE B"的（）A ，充分不必要条件c ．充要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.已知f (x )= { 一x 2-2x ,x < 0lo如(x+l),x�O ，则不等式f(x)< 2的解集是（）A.(-oo, 2)B. (-oo, 3)C.(0,3)D .(3, +oo)5．在三棱锥A -BCD 中，AB l.平面BCD,AB=../3, BC=BD=CD =2, E, F 分别为AC,CD 的中点，则下列结论正确的是（）A. AF, BE 是异面直线，AF l. BEB. AF, BE 是相交直线，AF l. BEC. AF, BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D. AF, BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直6已知2cos(2x＋合）cos(x －台－cos3x= ¼，则sin(�-2x ) =( )1-2A B, －-7-8c7-8D227已知双曲线C:5＿兮＝l(a > O,b > 0)的左、右焦点分别为F 1'Fz,双曲线的右支上有一点A,AF 1与双曲线的左支交于8,线段AF 2的中点为M,且满足F 2,若L片AF 2=f ，则双曲线C 的离心率为（）A 岳B 岳c..f6D 石8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P-ABC 的三个侧面沿AB,BC, AC 展开得到面P 1AB,P 2BC, P 3AC,使得平面P 1AB,P 1BC, P 3AC 均与平面ABC 垂直，再将球0放到上面使得p l 'P 2,P 3三个点在球0的表面上，若奖杯的总窝度为6J习，且AB=4,则球0的表面积为（）A. 140n3B. 100n9C. 98兀9D.32兀3cB二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、单选题二、多选题1.已知函数，其导函数记为，则（ ）A ．2B．C ．3D．2. 已知,则A．B．C．D．3.设，，给出下列四个结论：①在区间上有2个零点；②的单调递增区间为，；③的图象关于点对称；④的值域为.其中正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）A ．32种B ．20种C ．16种D ．14种5. 已知函数（为自然对数的底数，），，分别为函数的极大值点和极小值点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 已知随机变量的分布列如下：其中、，若，则（ ）．A．，B．，C．，D．，7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）A．B．C．D．8.已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）A．B．C．D．9.已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x 轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）A ．若，则B．若，则的面积为9C．江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题三、填空题四、解答题D．的最小值为810.已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．11. 如图(a )，边长为2的正方形 AP ₁P ₂P ₃中，B ，C 分别是P ₁P ₂，P ₂P ₃的中点，AP ₂交BC 于D ，现沿AB ，AC 及BC 把这个正方形折成一个四面体，如图(b )，使P ₁，P ₂，P ₃三点重合，重合后的点记为P ，则有（）A ．平面PAD ⊥平面PBCB ．四面体 P -ABC的体积为C ．点P 到平面ABC 的距离为D ．四面体 P -ABC 的外接球的体积为12. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P ，Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ）A．三角形面积的最大值为B．三棱锥体积的最大值C．四面体外接球表面积的最小值为11D ．直线SP 与平面所成角的余弦值的最小值为13. 贾宪三角——开方作法本源图（图1）的今称，是由中国北宋数学家贾宪发明的，可以求任意高次方的二项展开式系数，西方称之为帕斯卡三角形．现根据图2构造一个数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则______．14. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为______.15.已知平面四边形，，，，，则______；动点，分别在线段，上，且，，则的取值范围为____.16.已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．17. 2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表：x12345y911142620其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益.(1)求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；(2)该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：满意不满意总计男451055女252045总计7030100是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？(3)对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式：①；②，其中.临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828参考数据：.18. 某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.（1）求服务通道的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？19. 已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）设，当时，关于的不等式在区间上恒成立，求的最小值.20. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,，,侧面底面,且是以为底的等腰三角形.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若四棱锥的体积等于.问：是否存在过点的平面分别交，于点，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.21. 已知函数.(1)试比较与1的大小；(2)求证：.。

— 高三理科数学参考答案（模拟二）第1页(共6页) —20220607项目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一1314．76415．2316．3.9三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．【解析】（1）因为11(0)n n a xa x ，所以2+11(0)n n a xa x ，…………2分 两式相减可得d xd ，因为0d ，所以1x ，则11n n a a ，所以1d ， …………4分因为11a ，所以1(1)n a a n d n ；…………6分（2）因为n a n ，121(1)nn n n n b a a ， 所以2111(1)(1)[(1)(1)n n n n b n n n n ， …………9分则10111111111110(1(()()...(1.223344*********S…………12分18.【解析】因为学期高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3)N ，则学期初期肥胖率：1(23.9 3.323.9 3.3)10.6827(27.2)0.1586522P X P X， …………2分4月中旬教体局抽查时，学生肥胖率为50.10.1586550， …………4分又因为1(23.9 3.323.9 3.3)10.6827(27.2)0.1586522P X P X ，(23.9 3.323.9 3.3)0.6827(23.927.2)0.3413522P X P X ，(23.92 3.323.92 3.3)0.9545(17.323.9)0.4772522P X P X ，1(23.92 3.323.92 3.3)10.9545(17.3)0.0227522P X P X ，所以初期体重指数学生平均得分为800.022751000.47725+800.34135+600.1586586.372 .…………8分4月中旬教体局抽查时，体重指数学生平均得分为：— 高三理科数学参考答案（模拟二）第2页(共6页) —FFHF 8031002580176058886.37250， …………11分所以从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度来看学校采取措施的效果是较好的.…………12分19. 【解析】方法一：（1）因为CD DA ，CD DE ， 所以CD 平面ADE ，所以面ABCD 平面ADE ，过E 作平面ABCD 的垂线，垂足为N ，则点N 在平面ABCD 与平面ADE 的交线AD 的延长线上， 因为CD CB ，CD CF ， 所以FCB 即为二面角F CD B 的平面角，同理EDA 也为二面角FCD B 的平面角， 则2π3EDA FCB，故132DN DE ， 2EN DE (4)所以BN ，12BE ， 所以直线BE 与平面ABCD 所成的EBN 的正弦值为sin ENEBN BE4； …………6分（2）因为平面ABGH 平面ABCD ，所以GB 平面ABCD ，又因为EN 平面ABCD ，所以EN ∥GB ，所以,,,E G B N 8分 又因为3DN ，6AD ，所以23AD AN ， 所以当点M 满足23AM AB 时，DM BN ∥， …………10分 因为BN 平面BEG ，所以DM ∥平面BEG ，所以在线段AB 上存在一点M ，当2BM 时，DM 方法二：因为CD DA ，CD DE ， 所以CD 平面ADE ，过E 作平面ABCD 的垂线，垂足为N ，则点N 在AD 的延长线上， …………2因为CD CB ，CD CF，所以FCB 即为二面角FCD B 的平面角， 则2π3EDA FCB，故132DN DE ， 2EN DE以A 为坐标原点，分别以,AD AB,AH 为,x y ,z 因为2π6,3FC CB FCB，π2GBC GFC ，所以GB HA .…………4分（1）因为E，(0,6,0)B，所以(9,BE，平面ABCD的一个法向量为1(0,0,1)n，所以111cos,4||||n BEn BEn BE，所以直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值为4；…………6分（2）假设在线段AB上是存在一点M，设(0,,0)(06)M m m，因为E，(0,6,0)B，G，所以(9,BE，BG，…………8分设平面BEG的法向量为2(,,)n x y z，则22BE nBG n，则960x y，令2x ，则2(2,3,0)n，…………10分因为(0,,0)M m，(6,0,0)D，所以(6,,0)DM m，所以2DM n，则4m ，则2BM ，所以在线段AB上存在一点M，当2BM 时，DM∥平面BEG. …………12分20. 【解析】（1）由题意知2a32，所以3(1,)2H ，…………2分所以229141a b，所以23b ，即椭圆方程为22143x y；…………4分（2）方法一：设(1,),(1,),(1,)2m nM m N n H，因为MN为圆H的直径，所以0OM ON，则1mn设直线:(2)3mAM y x，则22(2)3143my xx y，整理得到2222(427)16(16108)0m x m x m,所以2216108(2)427Pmxm，则22548427Pmxm，236427Pmym，…………8分同理可得：22254836,427427Q Qn nx yn n，— 高三理科数学参考答案（模拟二）第3页(共6页) —— 高三理科数学参考答案（模拟二）第4页(共6页) —所以2222122222222363636(427)36(427)427427548548(548)(427)(548)(427)427427P Q P Q m ny y m n n m m n k m n x x m n n m m n31112m n ，因为22m n k ，所以123113112224m n k k m n . …………12分方法二：(2)AM y k x ：，(2)AN y t x ：，可得3()(1,3),(1,3),(1,2k t M k N t H ， 因为OM ON ，所以91kt ， …………6分 由22(2)143y k x x y ，整理可得：2222(43)16(1612)0k x k x k ，所以221612(2)43P k x k ，则2226812,4343P Pk kx y k k ， …………8分 同理可得：2226812,4343Q Q t tx y t t ，所以2212222121243311434368684()364343P Q P Q k ty y kt k t k k t x x k t k t k t， 因为23()2k k t ，所以123124k k. …………12分 21. 【解析】（1）当1a 时，1e ()ln ln 2xf x x x，则1122e (1)1(1)()()1x x x x xf x e x x x x ， …………2分 设1()e 1x x x x ，则()x 在(1,) 为增函数.当1x 时，()x ，(2)20e .所以存在0(1,2)x ，使得0()0x .……4分 当0(1,)x x 时，()0x ，则()0f x ，即()f x 在0(1,)x 为减函数；当0(,)x x 时，()0x ，则()0f x ，即()f x 在0(,)x 为增函数；所以函数()f x 在(1,) 只有一个极值点，即唯一极小值点； …………6分（2）由22e (1)1(1)()(e )1x a x ax x x f x x x x x， 设()e 1x a x x x ，则()x 在(1,) 为增函数.— 高三理科数学参考答案（模拟二）第5页(共6页) —当1x 时，()x ，因为11e 1a ，11(1)e e 10a a a a. 所以存在0(1,1)x a ，使得0000()e 01x ax x x. …………8分 由于（1）可知0000e ()()ln ln(1)x af x f x x a x 又因为000e 1x ax x，所以0001()ln ln(1)1f x x a x ， 即证：对任意00111,ln ln(1)1x x a x a ， 即证：对任意00111,ln ln(1)1x x a x a. …………10分 设1()ln (1)1g x x x x，则()g x 在(1,) 单调递减， 因为0(1,1)x a ，所以0()(1)g x g a ，即0011ln ln(1)1x a x a， 故对任意11,().x f x a…………12分22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）因为曲线C 的参数方程为22cos sin 2x y（ 为参数）所以1cos 2sin 2x y，所以曲线C 的普通方程为22(1)1x y ， …………1分所以曲线C 的极坐标方程为2cos . …………3分因为直线l 的极坐标方程为cos()04a，所以cos sin 0 ，即直线l的直角坐标方程为0x y . …………5分 （2）方法一：设曲线C 的圆心为(1,0)C ，因为点O 在圆上，且4AOB，所以2ACB，则点(1,0)C 到直线l的距离为2， …………7分所以2d ，则0a或a ， …………9分当0a 时，直线l 过原点O ，不符合题意；所以a . …………10分— 高三理科数学参考答案（模拟二）第6页(共6页) —方法二：设1020(,),(,4A B，所以102cos ，202cos(4，…………6分 又因为点,A B 在直线l 上，所以10cos()04a，20cos(02a，则00002cos cos(2cos()cos(442， …………8分则04或034，则0a或a ，当0a 时，直线l 过原点O ，不符合题意；所以a . …………10分23. （10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）因为|1|()2x f x ，所以|1|24x x ，则|1|2x x ， …………1分 ①112x x x，解得1x ，②112x x x，解得113x ，所以不等式的解集为1[,)3； …………5分（2）|1||3|()(4)22x x y f x f x …………7分8 . …………9分当且仅当1x 时，()(4)y f x f x 取得最小值8. …………10分。

江西省南昌市数学高三第二次高考理数模拟考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知M=｛x|y=ln(1-x)}，N={x|2x(x-2)<1}，则为（）A . {x|0<x<2}B .C . {x|0<x<1}D .2. （2分） (2018高二下·中山月考) 分别是复数在复平面内对应的点，是原点，若，则一定是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数则（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·南昌模拟) 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。

广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。

我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（）A . 36B . 45C . 54D . 636. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A . 4B . 7C . 11D . 167. （2分）将函数y=sin（x+）的图象向右平移，所得图象对应的表达式为（）A . y=sin xB . y=sin（x+）C . y=sin（x﹣）D . y=sin（x﹣）8. （2分）如图，已知三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=CA=CB= ，AB=2，SC= ，则二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A . 324B . 328C . 360D . 64811. （2分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域(0,1)内的概率为0.4，则位于区域(0,2)内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③12. （2分） (2019高二上·安平月考) 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的关系为（）A . |B .C .D . 与无关二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·陆川模拟) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB 的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为________．14. （2分）(2016·金华模拟) 自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持||为定值2 （P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，（I）PQ的中点M的轨迹是________的一部分（不需写具体方程）；（II）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则• 的取值范围是________．15. （1分）(2017·江西模拟) 已知实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为________．16. （1分） (2018高一下·汪清期末) 函数的最大值为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2016高一上·常州期中) 求解下列各式的值：（1）（2 ） +（﹣2017）0+（3 ）；（2） +lg6﹣lg0.02．18. （5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．19. （5分） (2016高二上·凯里期中) 某汽车公司为了考查某4S店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．（I）求所打分值在[6，10]的客户的人数：（II）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．20. （10分） (2018高三上·酉阳期末) 已知，，动点P满足，其中分别表示直线的斜率，t为常数，当t=-1时，点P的轨迹为；当时，点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线l，使得成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2017高二下·寿光期中) 己知，f（x）=1﹣lnx﹣ x2（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．22. （5分）(2017·武邑模拟) 已知曲线C 的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．23. （15分） (2017高一下·宿州期末) 函数f（x）=x2+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a；（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求实数m的取值范围；（3）若f（x）≥nx对任意的实数x≥1成立，求实数n的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共13 页第12 页共13 页22-1、23-1、23-2、23-3、第13 页共13 页。

2022届江西省南昌市高三第二次模拟测试数学（理）试卷理科数学一、选择题1.已知集合{|13}A x N x =∈≤≤，2{|650}B x x x =-+<，则A B =（ ）A.∅B.{1,2,3}C.(1,3]D.{2,3} 答案： D解析：{1,2,3}A =，{|15}B x x =<<，∴{2,3}A B =.2.已知i 为虚数单位，若1z i =+，则|2|z i +=（ ） A.1i +C.2答案： B解析：21z i i +=+，∴|2|z i +==3.已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 答案： C解析：可画出截面图如图，∵三角形ABC 为等边三角形，可得=AB 设圆锥底面的半径为r，则12r AB ==母线长l =∴6S rl πππ=⋅==侧.4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若5b =，1cos 8A =，sin 16B =，则a =（ ） A.8 B.6 C.5 D.3 答案： B解析： 由正弦定理可得sin sin a b A B =，∵1cos 8A =，∴sin A =. ∴sin 6sin b Aa B==. 5.已知6log 2a =，sin1b =，12c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.b a c << C.c b a << D.a b c << 答案： A解析：261log log 2a =<=，故a c <，又∵1sin1sin 62π>=，∴b c >，故b c a >>. 6.已知实数,x y 满足约束条件103301x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22z x y =+的最小值为（ ）B.5C.10D.910答案： D解析：画出可行域得，又∵22z x y =+，可表示为平面区域到原点的距离的平方.此时，最小值为原点到直线330x y +-=的距离的平方.故222min (09)1x y +==.7.已知函数3()|cos |()22f x x x x ππ=+-≤≤，则方程()f x = （ ）A.1B.2C.3D.4 答案： C解析：可化简为2sin() [,] 622()32sin() ,622ππππππ⎧+∈-⎪⎪=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩x x f x x x .∴()f x =sin()6x π+=，[,]22x ππ∈-，6x π=或2x π=.或sin()6x π-=，3,22ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦x .∴6x π5=.∴()f x =3个. 8.如图1，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形1111A B C D 内（包含边界），若三棱锥P ABC -的左视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可能是（ ）A.B.C.D.答案：D解析：A 选项，当P 到平面1111ABCD 中心上时满足.B 选项，当P 在11BC 中点时满足C 选项，当P 在11AD 中点时满足.故选D9.已知:12p x -<<，12:2log (2)1x q x +-+<，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案： B解析：充分性，当0x =时.1222log 1-=.故充分性不成立.又122log (2)1x x +-+<，1221log (2)x x +-<+画图令1121x y +=-，22log (2)y x =+.∴12y y <，1y 图像要在2y 图像下方. ∴:q 10x -<<， ∵(1,0)(1,2)--.即必要性成立.∴p 是q 的必要不充分条件.10.的图形.图中四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若DO OB λ=，则λ=（ ）A.1C.答案： B解析：如图所示，以C 点为原点，CD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，∴(0,0)C ，(1,0)D -，22B ，所在直线BD 的斜率12BDk -==，所以直线BD 方程为：1)(1)y x =+，令0x =，所以1y =，∴1)O ，∴(1,1)DO =，2(22OB =-，∴2DO OB =，∴λ=故选B.11.已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，2F 也是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点P 是双曲线E 与抛物线C 的一个公共点，若112||||PF F F =，则双曲线E 的离心率为（ ）A.2+B.2C.答案：A解析：设点()00,P x y ，2(,0)F c ，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，连接1PF （如图） 由题意得：2p c =，由双曲线的定义可得：21222PF PF a c a =-=-，由抛物线的定义得：02||22PA x c PF c a =+==-，所以22104(2)48AF y c c a c ac ==-=-.在1Rt F AP ∆中有：22211||AF PA PF +=，即222(48)(22)(2)c ac c a c -+-=.所以2240a c ac +-=，即2410e e -+=.解得：2e =+2（舍去），故选A.12.已知函数11e ,0,()(0)e ,0x x a x f x a a x ---⎧≥=>⎨<⎩，若函数()f x 的图象上存在两个点11(,)A x y ，22(,)B x y ，满足12120y y x x -<，则a 的取值范围为（ ）A.2a ≥B.1a ≥C.01a <<D.02a << 答案： C解析：()f x 的图像如图所示，若120x x <<，则1212112212121212()()0x x x x y y x x ae ae x x a e x x ----+--=-=->，与题意不符，所以点A 与点B 在同侧.因为函数()f x 为偶函数，不妨设120x x <<，则12121212011OA OB y y y y x x k K x x -<⇔⋅<⇔⋅<.转化为求曲线过原点的切线，设切点为010(,)x P x ae -，切线方程为00110()x x y ae ae x x ---=-代入原点坐标得01x =，切点为(1,)a ，切线斜率为a 若1a ≥则1OA OB k K ⋅≥.仅当121x x ==时取等号，所以01a <<.二、填空题13.已知向量(1,3)a =，||1b =，若a b ⊥，则||a b += . 答案：解析：222||||25a b a b a a b b +=+=+⋅+=.14.3(n x -的展开式共有8项，则常数项为 .答案：764解析：展开式有8项，则7n =，故37(x 展开式为7212171()2-+=⋅-⋅r rr r T C x .∴72102r -=，∴6r =.∴常数项为66717()264C ⋅-=. 15.从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为 . 答案：23解析：记事件A 为从盒子中取到两个相同颜色的球，事件B 为从盒子中取到两个红球.则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为(|)P B A .所以2422742222434327()2(|)()3C C P AB C P B A C C P A C C C ====++. 16.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，驾驶员反应距离1s （单位：m ）关于车速v （单位：m/s ）的函数模型为10.7584s v =：刹车距离2s （单位：m ）关于车速v （单位：m/s ）的函数模型为220.072s v =，反应距离与刹车距离之和称为停车距离.在某个十字路口标示小汽车最大限速50km/h v =（约14m/s ），路口宽度为30m ，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮 s （保留两位有效数字）. 答案： 3.9 解析：由题意，当停车距离等于离停车线距离时，设通过路口所需时间为t ，则1230vt s s =++，即2140.7584140.0721430t =⨯+⨯+，所以 3.9t ≈，所以黄灯至少亮3.9s .三、解答题17.已知{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，11a =，11n n a xa +=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设121(1)nn n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前10项和10S . 答案： 见解析 解析：因为11(0)n n a xa x +=+≠，所以211(0)n n a xa x ++=+≠，两式相减可得d xd =，因为0d ≠，所以1x =，则11n n a a +=+，所以1d =， 因为11a =，所以1(1)n a a n d n =+-=；（2）因为n a n =，121(1)nn n n n b a a ++=-， 所以2111(1)(1)[](1)(1)nn n n b n n n n +=-=-+++，则10111111111110(1)()()()()1223344510111111S =--+++--+++++=-+=-.18.国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值.高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高.某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3)N ，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学习采取措施的效果. 附：参考数据与公式若2~(,)X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+=；③(33)0.9973P X μσμσ-≤≤+= 答案： 见解析 解析：因为学期高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3)N 则学期初期肥胖率：1(23.9 3.323.9 3.3)10.6827(27.2)0.1586522P X P X --≤≤+->===，4月中旬教体局抽查时，学生肥胖率为50.10.1586550=<，又因为1(23.9 3.323.9 3.3)10.6827(27.2)0.1586522P X P X --≤≤+->===， (23.9 3.323.9 3.3)0.6827(23.927.2)0.31413522P X P X -≤≤+≤<===，(23.92 3.323.92 3.3)0.9545(17.323.9)0.4772522P X P X -⨯≤≤+⨯≤≤===，1(23.92 3.323.92 3.3)10.9545(17.3)0.0227522P X P X --⨯≤≤+⨯-<===，所以初期体重指数学生平均得分为800.022751000.47725800.34135600.1586586.372⨯+⨯+⨯+⨯=.4月中旬教体局抽查时，体重指数学生平均得分为：8031002580176058886.37250⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度来看学校采取措施的效果是较好的.19.如图，四边形ABCD ，CDEF 都是边长为6的正方形，23BCF π∠=，四边形ABGH 是矩形，平面ABGH ⊥平面ABCD ，平面EFGH ⊥平面CDEF . （1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的正弦值；（2）在线段AB 上是否存在一点M ，使得//DM 平面BEG ；若存在，求出BM 的长，若不存在，请说明理由.答案： 见解析 解析：方法一：（1）因为CD DA ⊥，CD DE ⊥，所以CD ⊥平面ADE ，所以面ABCD ⊥平面ADE ， 过E 作平面ABCD 的垂线，垂足为N ，则点N 在平面ABCD 与平面ADE 的交线AD 的延长线上，因为CD CB ⊥，CD CF ⊥，所以FCB ∠即为二面角F CD B --的平面角， 同理EDA ∠即为二面角F CD B --的平面角， 则23EDA FCB π∠=∠=，故132DN DE ==，2EN DE ==，所以BN =，12BE =，所以直线BE 与平面ABCD 所成的EBN ∠的正弦值为sin 4EN EBN BE ∠==；（2）因为平面ABGH ⊥平面ABCD ，所以GB ⊥平面ABCD ，又因为EN ⊥平面ABCD ，所以//EN GB ，所以E ，G ，B ，N 四点共面， 又因为3DN =，6AD =，所以23AD AN =， 所以当点M 满足23AM AB =时，//DM BN ，因为BN ⊂平面BEG ，所以//DM 平面BEG ，所以在线段AB 上存在一点M ，当2BM =时，//DM 平面BEG .方法二：因为CD DA ⊥，CD DE ⊥， 所以CD ⊥平面ADE ，过E 作平面ABCD 的垂线，垂足为N ， 则点N 在AD 的延长线上，因为CD CB ⊥，CD CF ⊥，所以FCB ∠即为二面角F CD B --的平面角， 则23EDA FCB π∠=∠=，故132DN DE ==，EN DE ==， 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AH 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为6FC CB ==，23FCB π∠=，2GBC GFC π∠=∠=，所以GB HA ==.（1）因为E ，(0,6,0)B，所以(9,BE =-， 平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =，所以111cos ,||||81n BE n BE n BE ⋅<>===⋅，所以直线BE 与平面ABCD（2）假设在线段AB 上是存在一点M ，设(0,,0)(06)Mm m ≤≤， 因为E ，(0,6,0)B ，G ，所以(9,BE =-，BG =，设平面BEG 的法向量为2(,,)nx y z =，则2200BE n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则960x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令2x =，则2(2,3,0)n =，因为(0,,0)M m ，(6,0,0)D ，所以(6,,0)DM m =-， 所以20DM n ⋅=，则4m =，则2BM =，所以在线段AB 上存在一点M ，当2BM =时，//DM 平面BEG .20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B，点H 是直线:1l x =上的动点，以点H 为圆心且过原点的圆与直线l 交于M ，N 两点.当点H 在椭圆E 上时.圆H 的半径为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AM ，AN 与椭圆E 的另一个交点分别为P ，Q ，记直线PQ ，OH 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值？ 若是，求出这个定值；若不是，说明理由.答案： 见解析 解析：（1）由题意知2a =32=，所以3(1,)2H ±， 所以229141a b +=，所以23b =，即椭圆方程为22143x y +=； （2）方法一：设(1,)M m ，(1,)N n ，(1,)2m nH +， 因为MN 为圆H 的直径，所以0OM ON ⋅=，则1mn =-，设直线AM ：(2)3m y x =+，则22(2)3143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理得到2222(427)16(16108)0m x m x m +++-=，所以2216108(2)427P m x m -⋅-=+，则22548427Pm x m -=+，236427P m y m =+， 同理可得：22548427Q n x n -=+，236427Q n y n =+，所以22122223636427427548548427427P Q P Q m ny y m n k m n x x m n --++==----++22222236(427)36(427)311(548)(427)(548)(427)12m n n m m n n m m n+-+==-⋅-+--++， 因为22m n k +=，所以123113112224m n k k m n +⋅=-⋅⋅=-+.方法二：AM ：(2)y k x =+，AN ：(2)y t x =+，可得(1,3)M k ，(1,3)N t ，3()(1,)2k t H +，因为OM ON ⊥，所以91kt =-，由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2222(43)16(1612)0k x k x k +++-=，所以221612(2)43P k x k -⋅-=+，则226843P k x k -=+，21243P k y k =+，同理可得：226843Q t x t -=+，21243Q t y t =+，所以2212222121243311434368684()364343P Q P Q k t y y kt k t k k t x x k t k tk t ---++====-⨯---++-++，因为23()2k k t =+，所以123124k k ⋅=-.21.已知函数e ()ln ln(1)(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）. （1）当1a =时，试判断()f x 在(1,)+∞上极值点的个数；（2）当11>-a e 时，求证：对任意1x >，1()f x a >.答案： 见解析 解析：（1）当1a =时，1e ()ln ln 2xf x x x -=-+，则1122e (1)1(1)()(e )1x x x x xf x x x x x ----'=-=--，设1()e1x xx x ϕ-=--，则()x ϕ在(1,)+∞为增函数. 当1x →时，()x ϕ→-∞，(2)20e ϕ=->.所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=. 当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 为减函数； 当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(,)x +∞为增函数； 所以函数()f x 在(1,)+∞只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）由22(1)1(1)()()1x a x a e x x xf x e x x x x ----'=-=--，设()e1x axx x ϕ-=--，则()x ϕ在(1,)+∞为增函数. 当1x →时，()x ϕ→-∞，因为11e 1a <≤-，11(1)e e 10a a a aϕ++=-=-->. 所以存在0(1,1)x a ∈+，使得000()01x ax x ex ϕ-=-=-.由于（1）可知0000e ()()ln ln(1)x af x f x x a x -≥=-++， 又因为000e1x ax x -=-，所以0001()ln ln(1)1f x x a x =-++-， 即证：对任意1x >，0011ln ln(1)1x a x a-++>-， 即证：对任意1x >，0011ln ln(1)1x a x a->-+-.设1()ln (1)1=->-g x x x x ，则()g x 在(1,)+∞单调递减， 因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，即0011ln ln(1)1x a x a->-+-， 故对任意1x >，1()f x a>.四、选做题（二选一）22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程22cos sin 2x y αα⎧=⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()04a πρθ++=.（1）求曲线C 极坐标方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且4AOB π∠=，求a .答案： 见解析 解析：（1）因为曲线C 的参数方程为22cos sin 2x y αα⎧=⎨=⎩（α为参数）所以1cos 2sin 2x y αα-=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.因为直线l 的极坐标方程为cos()04a πρθ++=，所以cos sin 0ρθρθ-+=，即直线l的直角坐标方程为0x y -+=.（2）方法一：设曲线C 的圆心为(1,0)C ，因为点O 在圆上，且4AOB π∠=，所以2ACB π∠=，则点(1,0)C 到直线l的距离为2，所以2d ==，则0a =或a =当0a =时，直线l 过原点O ，不符合题意；所以a =方法二：设10(,)A ρθ，20(,)4B πρθ+，所以102cos ρθ=，202cos()4πρθ=+，又因为点A ，B 在直线l 上，所以10cos()04a πρθ++=，20cos()02a πρθ++=， 则00002cos cos()2cos()cos()442πππθθθθ+=++，则04πθ=或034πθ=，则0a =或a = 当0a =时，直线l 过原点O ，不符合题意；所以a =23.已知函数|1|()2x f x -=（1）求不等式()4xf x ≤的解集； （2）求()(4)y f x f x =++的最小值. 答案： 见解析 解析：（1）因为1()2x f x -=，所以124x x -≤，则12x x -≤，①112x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得1x ≥，②112x x x<⎧⎨-≤⎩，解得113x ≤<，所以不等式的解集为1[,)3+∞；（2）13()(4)22x x y f x f x -+=++=+≥8==.当且仅当1x =-时，()(4)y f x f x =++取得最小值8.。

南昌市第二次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N ==∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 7．函数ln ()xx xf x e =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．229．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．6B ．3C ．2-D ．6 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 5 B 6 C 102+ D 52+ 12．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面P AC 垂直的平面α，平面α与截面P AC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上） ①2； ②22 ③3； ④3三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z对应复平面上的点Z(12,√32)，则z2在复平面上对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x−y+1)=0}，则集合A中元素个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个3.从编号依次为01，02，…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为()53083395550262152702436932181826099478465887352224683748168595271413872714955656A. 09B. 02C. 15D. 184.心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数p(t)=110+25sin(150πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是()A. 1150B. 1110C. 170D. 1755.已知等比数列{a n}中，a1+a4=2，a2+a5=4，则数列{a n}的前6项和S6=()A. 12B. 14C. 16D. 186.如图，正四棱锥P−ABCD的高为12，AB=6√2，E，F分别为PA，PC的中点，过点B，E，F的截面交PD于点M，截面EBFM将四棱锥分成上、下两个部分，规定BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为主视图方向，则几何体CDAB−FME的俯视图为()A.B.C.D.7. 已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，P 是抛物线上的一个动点，A(3,1)，则△APF 周长的最小值为( )A. 2+2√5B. 4+√5C. 3+√5D. 6+√58. 已知f(x)={ax 2,x ∈(0,1)log a x,x ∈[1,2)，若f(x)=a 2有两解，则a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,12]C. (1,2]D. (1,2)9. 已知f(x)=2e x +1，则“x 1+x 2=0”是“f(x 1)+f(x 2)=2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线x 22−y 22=1的图象绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y =1x的图象(其渐近线分别为x 轴和y 轴)：同样的，如图所示，常见的“对勾函数”y =mx +nx (m >0,n >0)也能由双曲线的图象绕原点旋转得到(其渐近线分别为y =mx 和y 轴).设m =√33，n =√3，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为( )A. 4√3B. 4C. 2√6D. 2√711. 四面体ABCD 中，∠ABC =∠BCD =90°，AD =4，BC =2，且AB 与CD 所成角为60°，则该四面体的外接球表面积为( )A. 10πB. 16πC. 18πD. 20π12. 已知直线l 0：xa+1+ya+7=1，l n ：x6n−8−a+y6n−2−a =1(a 为常数，n =1，2，3，…)，点(a n ,a n+1)是l 0与l n的交点，则数列{a n }的前20项和为( )A. 320B. 360C. 590D. 600二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，则与a⃗−b⃗ 同方向的单位向量是______ ．14.某学科视导团有三名男专家和两名女专家，安排到五所学校进行教学视导，这五所学校中省级重点中学有三所，省级建设重点中学有两所，要求每所学校各派一位专家，两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有______ 种(结果用数字作答)．15.若函数f(x)=x2+a在(−1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______ ．x+116.通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图1所示)，图2是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在钝角△ABC中，A为钝角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，sinA=cosB，C=2B．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)若c=2√2，求△ABC的面积．18.如图，菱形ABCD的边长为4，对角线交于点E，∠ABC=2π3，将△ADC沿AC折起得到三棱锥D−ABC．(Ⅰ)求证：平面DBE⊥平面ABC(Ⅱ)若CD与平面ABC所成角的正弦值为√34，求二面角D−BC−E的余弦值．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，椭圆E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，四边形ACBD的面积为4．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若P是椭圆E上一点(不在坐标轴上)，直线PC，PD分别与x轴相交于M，N两点，设PC，PD，OP的斜率分别为k1，k2，k3，过点P的直线l的斜率为k，且k1k2=kk3，直线l与x轴交于点Q，求|MQ|−|NQ|的值．20. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响． (Ⅰ)当p =15时，(ⅰ)若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；(ⅰ)甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ； (Ⅱ)乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值．21. 已知函数f(x)=xsinx −alnx(a ∈R)的图象在x =π2处的切线斜率为−1．(Ⅰ)求证：x ∈(0,π2)时，f(x)>0； (Ⅱ)求证：32sin(π3+12)+43sin(π3+13)+⋯…+n+1nsin(π3+1n )>πlnn+12(n ≥2,n ∈N)．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ(θ为参数)，曲线C 2：xy =√3.以原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C1与C2交于A，B，C，D四点，求以A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积．23.已知f(x)=|x−a+1|+|x+b−1|的最小值是c.(其中a，b都是0到1之间的正数)(Ⅰ)求a+b+c的值；(Ⅱ)证明：a2+2ab+4bc+2ac≤4．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，z=12+√32i，则z2=(12+√32i)2=(12)2+√32i+(√32i)2=14−34+√32i=−12+√32i．∴z2在复平面上对应的点的坐标为(−12,√32)，在第二象限．故选：B．由已知求得z，再由复数代数形式的乘除运算求得z2，求其坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵(x+y+1)(2x−y+1)=0，∴x+y+1=0或2x−y+1=0或x+y+1=0且2x−y+1=0，∵直线x+y+1=0和直线2x−y+1=0上有无数个点，直线x+y+1=0与直线2x−y+1=0的交点只有一个，∴集合A中元素的个数是无数个．故选：D．根据元素与集合的关系进行判断即可．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取：08，33(舍)，95(舍)，55(舍)，02，62(舍)，15，27(舍)，02(舍)，43(舍)，69(舍)，32(舍)，18，18(舍)，26(舍)，09，⋅⋅⋅则第五个编号为09．故选：A．从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，舍去不在范围内和重复的数字，即可得到答案．本题考查了简单随机抽样中的随机数表法的应用，解题的关键是掌握随机数表法抽取样本的步骤，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可知相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是函数p(t)的半个周期，∵p(t)=110+25sin(150πt)，∴最小正周期T=2π150π=175，∴12T=1150，故选：A．由题意可知相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是函数p(t)的半个周期，再利用三角函数的周期公式求解．本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了三角函数的周期公式，是基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1+a4=2，a2+a5=4，则a2+a5a1+a4=q=2，则有a1+a4=a1+a1q3=a1(1+q3)=2，解可得a1=29，则S6=a1(1−q6)1−q=14，故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质可得a2+a5a1+a4=q=2，进而求出a1=29，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：本体不借助运算，利用排除法就可以求出结果：由于点E、F为AP和CP的中点，所以点E和F在下底面的射影在AC上，故根据E和F的射影不能排除答案；由于点M的射影在对角线BD上，点E和F的射影在AC上所以直接排除D答案；根据点E和F为AP和CP的中点，且EBFM四点共面，所以点M在下底面的射影更接近点P在下底面的射影，所以当点M在中点时，选A，由于点M不为中点且接近点P，故B更不可能，故选：C．直接利用锥体的定义和点在平面上的射影的应用，利用排除法求出结果．本题考查的知识要点：锥体的定义，点在平面上的射影，排除法，主要考查学生对空间问题的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：抛物线的准线方程为x=−1，焦点坐标(1,0)，过A作准线的垂线，垂足为N，则|PN|=|PF|，故而当P，A，N三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值4，则△APF周长的最小值为4+√(3−1)2+12=4+√5．故选：B．根据抛物线的性质可知|AP|+|PF|最短距离为P到准线的距离，然后求解三角形的周长的最小值．本题考查了抛物线的定义与性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意，a>0且a≠1．当0<a<1时，函数f(x)的图象如图，至多一解；显然f(x)=a2当a>1时，函数f(x)的图象如图，要使f(x)=a2有两解，则{a>1a2<aa2<log a2，解得1<a<2．∴a的取值范围是(1,2)．故选：D．由题意可得a>0且a≠1，分类画出函数f(x)的图象，数形结合求解使f(x)=a2有两解的a的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题．9.【答案】C【解析】解：①若x1+x2=0，则f(x1)+f(x2)=2e x1+1+2e x2+1=2e x1+2e x2+4e x1+x2+e x1+e x2+1=2e x1+2e x2+4e x1+e x2+2=2，∴充分性成立，②若f(x1)+f(x2)=2，则f(x1)+f(x2)=2e x1+1+2e x2+1=2e x1+2e x2+4e x1+x2+e x1+e x2+1=2，∴e x1+e x2+2=e x1+x2+e x1+e x2+1，∴e x1+x2=1，∴x1+x2=0，∴必要性成立，∴x1+x2=0是f(x1)+f(x2)=2的充要条件．故选：C．先把函数式进行变形，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，函数式的变形是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：由y=√33x+√3x，可得渐近线方程为y=√33x和y轴，由对称性可得，此双曲线的实轴所在的直线为y=√3x，由{y =√3x y =√33x +√3x，可得{x =√62y =3√22或{x =−√62y =−3√22， 所以实轴长为√(√62+√62)2+(3√22+3√22)2=2√6．故选：C ．求得y =√33x +√3x表示的图像的渐近线方程，运用对称性可得实轴所在的直线方程，与函数联立，求得交点坐标，由两点的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，以及对称性的运用和两点的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由∠ABC =∠BCD =90°，AD =4，BC =2，且AB 与CD 所成角为60°，可补形成正方体， 如图，AC 即为外接球直径2R ，AE ⊥底面BCDE ，底面为正方形，可得EC =2√2， ∴2R =AC =√AE 2+CE 2=√5， 那么外接球表面积S =4π2=20π． 故选：D ．根据∠ABC =∠BCD =90°，AD =4，BC =2，且AB 与CD 所成角为60°，可补形成正方体，即可求解外接球半径，即求解外接球表面积．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.【答案】C【解析】解：由l 0：xa+1+ya+7=1，l n ：x6n−8−a +y6n−2−a =1， 两式相减可得，x =−(a+1)(6n−8−a)y (a+7)(6n−2−a)， 代入l 0的方程，可得x =−(a+1)(6n−a−8)6，y =(a+7)(6n−a−2)6，即有a n =−(a+1)(6n−a−2)+(a+1)⋅(−6)6，a n+1=(a+1)(6n−a−2)+6(6n−a−2)6，可得a n+a n+1=6n−1，所以数列{a n}的前20项和为(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a19+a20)=5+17+29+...+113=12×10×(5+113)=590．故选：C．联立l0，l n，求得交点(a n,a n+1)，推得a n+a n+1=6n−1，分别令n=1，3，5，...，19，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的求和，以及两直线的交点求法，考查方程思想和运算能力，属于难题．13.【答案】(−45,3 5 )【解析】解：∵a⃗−b⃗ =(−4,3)，∴与a⃗−b⃗ 方向相同的单位向量是：a⃗ −b⃗|a⃗ −b⃗|=15(−4,3)=(−45,35)．故答案为：(−45,35 )．可求出a⃗−b⃗ 的坐标，然后代入a⃗ −b⃗|a⃗ −b⃗|即可求出答案．本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】108【解析】解：根据题意，将5人安排到五所学校进行教学视导，有A55=120种分派方案，若3名男专家都安排在省级重点中学，有A22A33=12种分派方案，则两类学校都要有男专家的分配方案有120−12=108种，故答案为：108．根据题意，用间接法分析：先计算没有限制条件的安排方法，排除其中“3名男专家都安排在省级重点中学”的情况，即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意间接法的使用，属于基础题．15.【答案】(−∞,−1]【解析】解：根据题意，f(x)=x2+ax+1=x2−1+a+1x+1=x−1+a+1x+1，其导数f′(x)=1−a+1(x+1)2，若函数f(x)=x2+ax+1在(−1,+∞)上单调递增，则f′(x)=1−a+1(x+1)2≥0，即a+1≤(x+1)2的区间(−1,+∞)上恒成立，又由x∈(−1,+∞)，则(x+1)2≥0，必有a+1≤0即a≤−1恒成立，即a≤−1，则a的取值范围为(−∞,−1]．故答案为：(−∞,−1]．根据题意，求出函数的解析式，由函数的导数与单调性的关系，可得f′(x)=1−a+1(x+1)2≥0，即a+1≤(x+ 1)2的区间(−1,+∞)上恒成立，据此分析可得答案．本题考查利用导数分析函数单调性的方法，注意先化简函数的解析式，属于基础题．16.【答案】12【解析】解：如图，|QG|=2a，|PQ|=3，|PH|=|PE|=2，|QF1|=1，|GH|=|GF1|=2a−1，则|PG|=|PH|+|GH|=2+2a−1=2a+1，由勾股定理可得：32+(2a)2=(2a+1)2，解得a=2，又|QF1|=a−c=1，得c=1．∴e=ca =12，故答案为：12．由题意画出图形，由勾股定理求得椭圆的长半轴长，进一步求得c，则离心率可求．本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合思想，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为sinA=cosB，A为钝角，所以A−B=π2，因为C=2B，A+B+C=π，所以A=3π4−C2，B=π4−C2，所以C=π4．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得C=π4，所以A=5π8，B=π8，由正弦定理asinA =bsinB=csinC，所以a=4sin5π8，b=4sinπ8，所以S△ABC=12absinC=8sin5π8⋅sinπ8⋅sinπ4=8cosπ8⋅sinπ8⋅sinπ4=4sin2π4=2．【解析】(Ⅰ)由已知利用诱导公式可得A−B=π2，结合三角形内角和定理可求A，B的值，进而可求C的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得C，进而可求A，B的值，由正弦定理可得a=4sin5π8，b=4sinπ8，根据三角形的面积公式，二倍角公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为折叠前BD⊥AC，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又DE∩BE=E，DE，BE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面DBE；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面DBE⊥平面ABC，过点D作DO⊥BE，则DO⊥平面ABC，①当点D在平面ABC内的射影O落在△ABC内时，因为AB =4，∠ABC =2π3，所以CE =AE =2√3,DE =BE =2，因为OD DC=√34,DC =4，所以OD =√3，则BO =OE =1，如图所示，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(0,0,√3),C(−1,2√3,0),E(−1,0,0)， 则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2√3,√3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)，设平面BCD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2√3y =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2√3y +√3z =0，则可取n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1)， 因为平面BCE 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设二面角D −BC −E 的平面角为θ，所以cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55； ②当点D 在平面ABC 内的射影H 落在△ABC 外时，因为平面BDE ⊥平面ABC ， 所以点H 在BE 的延长线上，Rt △DHE 中，DE =2,DH =√3，则HE =1，如图，以E 为坐标原点，EB ，EC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(0,2√3,0),D(−1,0,√3),E(0,0,0)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−√3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)， 设平面DBC 的法向量为m 1⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{m 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −√3c =0m 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +2√3b =0，可取m 1⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,3)， 而平面BCD 的一个法向量为m 2⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，则cos <m 1⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 2⃗⃗⃗⃗⃗ >=m 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1+9=3√1313， 所以二面角D −BC −E 的余弦值为√55或3√1313．【解析】(Ⅰ)先证明AC ⊥平面BDE ，再由面面垂直的判定即得证；(Ⅱ)分点D 在平面ABC 内的射影O 落在△ABC 内以及点D 在平面ABC 内的射影H 落在△ABC 外两种情形讨论，分别建立空间直角坐标系，求出平面BCD 及平面BCE 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可． 本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(I)根据题意，作出图形如下：则有c a=√32，且有12⋅2a ⋅2b =4，又因为a 2−b 2=c 2，所以由上可求得a =2，b =1， 即得椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(II)设点P(x 0,y 0)，则有x 024+y 02=1，即得x 02=4(1−y 02)，此时不妨设点C(0,1)，D(0,−1)， 则可得直线PC ：y =y 0−1x 0x +1，令y =0，可得x =x 01−y 0，故有M(x 01−y 0,0)，同理可得N(x 01+y 0,0)， 则k 1k 2=y 0−1x 0⋅y 0+1x 0=y 02−1x 02=−14，又因为k 3=yx 0，所以可得k =k 1k 2k 3=−x 04y 0，因此可得直线l 的方程为：y −y 0=−x4y 0(x −x 0)，令y =0，即得x =x 02+4y 02x 0；又因为x 024+y 02=1，故x =4x 0，即得Q(4x 0,0)，所以||MQ|−|NQ||=|x01−y 0+x1+y 0−8x 0|=|2x 0(1−y0)(1+y 0)−8x 0|， 由上可得，||MQ|−|NQ||=|2x 0x 024−8x 0|=0．即得|MQ|−|NQ|=0．【解析】(1)根据椭圆的性质，结合题意表示离心率及四边形ACBD 的面积，即可求出a ，b ；(2)设出点P ，表示PC 的直线方程，进而表示PC ，PD ，OP 的斜率关系，从而求解得出结果． 本题考查椭圆的基本性质，同时考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)(ⅰ)记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则P(B|A)=P(AB)P(A)=1212+12×15=56．(ⅰ)X 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率为P(A)=12+12×15=35，则X ～B(4,35)，P(X =k)=C 4k(35)k (25)4−k (k =0,1，2，3，4)， 则X 的分布列为：则E(X)=4×35=125(Ⅱ)记事件A i 为“甲答对了i 道题”，事件B i 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为12+12p =12(1+p)，答错某道题的概率为1−12(1+p)=12(1−p)， 则P(A 1)=C 21⋅12(1+p)⋅12(1−p)=12(1−p 2)， P(A 2)=[12(1+p)]2=14(1+p)2，P(B 0)=(13)2=19，P(B 1)=C 21⋅23⋅13=49，所以甲答对题数比乙多的概率为：P(A 1B 0∪A 2B 0∪A 2B 1)=P(A 1B 0)+P(A 2B 0)+P(A 2B 1) =12(1−p 2)⋅19+14(1+p)2⋅19+14(1+p)2⋅49=136(3p 2+10p +7)≥1536，解得23≤p <1，甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23．【解析】(Ⅰ)(ⅰ)由条件概率公式计算即可得解；(ⅰ)X ～B(4,35)，由二项分布的概率计算公式即可求得分布列以及数学期望；(Ⅱ)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率，从而可得关于p 的不等式，计算可得p 的最小值．本题主要考查条件概率的求法，离散型随机变量的分布列和数学期望，相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】证明：(Ⅰ)由f(x)=xsinx−alnx，得f′(x)=sinx+xcosx−ax，由题意，f′(π2)=1−2aπ=−1，得a=π，故f(x)=xsinx−πlnx，f′(x)=sinx+xcosx−πx <sinx+tanx⋅cosx−πx=2sinx−πx，令g(x)=2sinx−πx ，可得g(x)在(0,π2)上单调递增，∴g(x)<g(π2)=0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,π2)上单调递减，则f(x)>f(π2)=π2−πlnπ2=π2(1−lnπ24)>0，则x∈(0,π2)时，f(x)>0；(Ⅱ)当n∈N，n≥2时，π3+1n∈(0,π2)，∵π3+1n>1+1n，∴sin(π3+1n)>sin(1+1n)，则n+1n ⋅sin(π3+1n)>n+1n⋅sin(1+1n)，由(1)知，x∈(0,π2)时，xsinx>πlnx，令x=k+1k，(k=2,3，...，n)，n+1 n ⋅sin(π3+1n)>n+1n⋅sin(1+1n)>π⋅ln(n+1n)，∴32sin(π3+12)>πln32，43sin(π3+13)πln43，...，n+1n⋅sin(π3+1n)>πln n+1n，相加得：32sin(π3+12)+43sin(π3+13)+⋯…+n+1nsin(π3+1n)>πln n+12(n≥2,n∈N)．【解析】(Ⅰ)由已知求得a值，代入原函数的解析式，求其导函数，再由导数可得函数的单调性，进一步可得f(x)>f(π2)=π2−πlnπ2=π2(1−lnπ24)>0，则结论得证；(Ⅱ)当n∈N，n≥2时，π3+1n∈(0,π2)，由π3+1n>1+1n，得n+1n⋅sin(π3+1n)>n+1n⋅sin(1+1n)，由(1)知，x∈(0,π2)时，xsinx>πlnx，令x=k+1k，(k=2,3，...，n)，然后利用累加法即可证明结论．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的证明，考查化归与转化思想，属难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ(θ为参数)，转换为普通方程为x 2+y 2=4；曲线C 2：xy =√3，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2sinθcosθ=4； (Ⅱ)由于{x 2+y 2=4xy =√3，解得{x =1y =√3或{x =−1y =−√3或{x =√3y =1或{x =−√3y =−1，所以四边形ABCD 为矩形；所以AB =√2(√3−1)，BC =√2(√3+1)， 故S 矩形=√2×(√3+1)×√2×(√3−1)=4．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)利用举行的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，矩形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x −a +1|+|x +b −1|≥|x −a +1−(x +b −1)|=|a +b −2|，因为a ，b ∈(0,1)，所以f(x)≥2−a −b ，当a −1≤x ≤1−b 时，取到最小值2−a −b ，所以c =2−a −b ，即a +b +c =2；(Ⅱ)证明：因为a +b +c =2，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4， 因为b 2+c 2≥2bc ，所以a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥a 2+2bc +2ab +2bc +2ac ， 即a 2+2ab +4bc +2ac ≤4(当且仅当b =c 时取等号)．【解析】(Ⅰ)由绝对值不等式的性质，可得最小值，进而得到所求值； (Ⅱ)由三个数的完全平方公式，结合基本不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

— 高三理科数学参考答案（模拟二）第1页(共6页) —理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一13．0.614．215．1216．17[,1212三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．【解析】（1）将图象平移至A 与原点O 重合，则3(0,0),(,1),(,1)44T TA B C ，所以3(,1),(,1)44T TA B A C ，所以23116T AB AC A B A C，…………………… 4分所以231216T ，解得4T ，故2π4 ，解得π2.…………………… 6分（2）因为42π1π(2)(sin(π)sin()sin cos sin(33223f f，所以πsin()32，即πsin(32 ， …………………… 9分所以ππ2π33k 或π2π2π()33k k Z ，即2πk 或π2π()3k k Z ，…………………… 11分 又π02 ，所以π3 .…………………… 12分18．【解析】（1）如图，取AB 的中点F ， 连接,,DB EF DF ，因为底面ABCD 是边长为4的菱形，π3DAB ，所以DF AB ，…………………… 因为CD DE ，所以AB DE ，因为DF DE D ，所以AB 平面DEF ，所以AB EF ， (4)— 高三理科数学参考答案（模拟二）第2页(共6页) —B在PAB 中，如图，因为4AB ， 所以3PE； …………………… 6分（2）因为平面PAB 平面ABCD ，DF AB ，所以DF如图，以FE 为x 轴，以FA 为y 轴，以FD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(,0,0)3E，D ，(0,4,C则(PC ，(0,4,0)CD ，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z，则00PC nCD n，所以3040y y ， 令2x ，得(2,0,1)n， …………………… 因为(3DE ， ……………………所以cos ,10||||n DE n DE n DE，所以直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值10. …………………… 12分19. 【解析】（1）由已知，3x ，所以21(10nii x x，因此，如果选择模型y a bx ， 则相关系数1r， …………………… 2分如果选择模型ln y a b x，即y a bu ， 则相关系数2r， (4)分因为2220.9 ，2232.56 ， 所以120r r ，故选择ln y a b x 更适宜作为y 关于x 的回归模型. ……… 6分（2）因为514.79ii u，5162i i y ，所以 4.79620.958,12.455u y， …………………… 8分— 高三理科数学参考答案（模拟二）第3页(共6页) —121()()19.38121.615(niii nii u u y y b u u， …………………… 10分 所以12.4120.9580.904a y bu，所以y 关于x 的回归方程为0.90412ln y x . …………………… 12分 20. 【解析】（1）因为直线2A B 的斜率为12，所以12b a ， 焦距2c ，因此223a b ， …………………… 2分解得2,1a b ，所以椭圆C 的方程是2214x y ； …………………… 4分（2）因为2(2,0)A ，所以直线2l 的方程为1(2)()2y k x k联立22(2)14y k x x y ，整理得2222(41)16k x k x 则2216241Q k x k ，故228241Qk x k ， 则24241Q Q k y k x k ．所以222824(4141k kQ k k ，．又直线1A B 的方程为112y x ．联立 1122y x y k x，解得424(2121k k P k k ，． …………………… 9分 122||||||||11Q P Q P Q Q Q Qy y y y y S QR QP S QB QA y y y 22228(21)2(21)1681(21)(82)21824k k k k k k k k k k ， 因为12k ，所以2211,044k k，所以12(2,)S S . …………………… 12分21.【解析】（1）当1,2a k 时，此时1()2ln f x x x x，则2211(21)(1)()2x x f x x x x， ………………………… 2分— 高三理科数学参考答案（模拟二）第4页(共6页) —当01x 时，()0f x ，则()f x 在(0,1)单调递增； 当1x 时，()0f x ，则()f x 在 1, 单调递减；所以()f x 的极大值为(1)3f ，无极小值. ………………………… 5分 （2）不妨设12x x ，因为12()()f x f x ， 则11221211ln ln kx a x kx a x x x12112122ln ()x x x a k x x x x x ，所以121212ln 1xx a k x x x x ， …………………… 7分由21()a f x k x x ，则122212121111()()()2f x f x a k x x x x ， 12122212121212ln 11111()()()2()x x f x f x a a x x x x x x x x即12122212121212ln 11211()()(2x x f x f x a x x x x x x x x 所以2221212112221212122()1()()(2ln )x x x x x f x f x a x x x x x x x 即21212112221212212()1()()(2ln x x x x x f x f x a x x x x x x x ， …………………… 10分 设12(1,)x t x ，构造函数1()2ln (1)t t t t t ， 则2221221()10t t t t t t， 所以()t 在(1,) 上为增函数， 所以()(1)0t ，因为212221212()10,0x x x x x x ，0a ， 所以12()()0f x f x . …………………………………… 12分 22. 【解析】（1）由题意，点P的极坐标为3π)4， …………………… 2分 因为分界线1C 的圆心在y 轴上，且直径为4，则其直角坐标方程为22(2)4x y ，即2240x y y (0)x ， 可得其极坐标方程为24sin 0 (π02)，— 高三理科数学参考答案（模拟二）第5页(共6页) —即4sin (π02). …………………… 5分 （2）由太极图的对称性可知，M ，N 两点关于极点对称，所以122||||sin 2PMN OPM S S OP OM POM ,设直线l 的极坐标方程为 （π02），则(4sin ,)M ，3π4POM ，所以13224sin sin(π)24PMN OPM S Scos sin )224sin 24(1cos 2)π44， …………………… 8分因为π02，则ππ3π2444 ，所以当ππ242 ，即3π8时，PMN面积的最大值为4 . ……………… 10分23. 【解析】（1）3,1,()|1||22|31,11,3,1,x x f x x x x x x x………………… 3分其图象如下图所示：………………… 5分（2）由（1）知函数()f x 与x 轴的交点为1(,0)3和(3,0)， 结合函数()f x 和()g x 的图象可以知道，当3a 时，只需133b ， 则()()f x g x 在R 上恒成立，— 高三理科数学参考答案（模拟二）第6页(共6页) —此时110333b a ， …………………… 7分 当31a 时，过点(1,4) 且斜率为a 的直线方程为4y ax a ，令0y ，则41x a，要()()f x g x 在R 上恒成立，则413b a，此时441113b a a a a a ，当且仅当2a 时等号成立.综上：b a 的最小值为3. …………………… 10分。

一、单选题二、多选题1.已知方程在上有且仅有两个不同的解、，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．2. 已知复数满足：，则（ ）A ．1B．C．D ．53. 已知数列为等比数列，，是方程的两个根，设等差数列的前项和为，若，则（ ）A ．或B．C ．18D ．24. 已知椭圆C 的一个焦点F （0，-），P 为C 上一点，满足则椭圆C 的标准方程为（ ）A．B．C．D．5. 设为等差数列，= 9，=39，则=（ ）A ．24B ．27C ．30D ．336. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个7. 若函数的图像不过第一象限，则a ，b 所满足的条件是（ ）A ．a >1，b <-1B ．0<a <1，b ≤-1C ．0<a <1，b <-1D ．a >1，b ≤-18.已知，，，则（ ）A．B．C．D．9. 设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（ ）A．的最大值为B ．的最小值为8C．存在点使D ．过A 点作圆的切线，则切线长为10.数列满足，，则下列说法正确的是（ ）A ．若且，数列单调递减B ．若存在无数个自然数，使得，则C ．当或时，的最小值不存在D ．当时，11.等差数列的前项和为，，，则（ ）A．B．C ．当时，的最小值为D．江西省南昌市2023届高三二模数学（理）试题三、填空题四、解答题12. 已知为正实数，且，则（ ）A．的最大值为B ．的最小值为C．的最小值为D ．的最小值为13. 已知是等腰直角三角形，点P在平面的同一侧运动，P到平面的距离为6，三棱锥的体积为18且其外接球的半径为5，则满足上述条件的点P 的轨迹长度为____________．14.点是直线上一动点，过点作圆的两条切线其中为切点，若四边形面积的最小值为2，则实数的值为___________.15. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.16. 我市为改善空气环境质量，控制大气污染，政府相应出台了多项改善环境的措施.其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从2018年起大力推广使用新能源汽车，鼓励市民如果需要购车，可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴，同时为了地方经济发展，对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的户，其中有户购买使用本市企业生产的新能源汽车，对购买使用新能源汽车的满意度进行调研，满意度以打分的形式进行.满分分，将分数按照分成5组，得如下频率分布直方图.（1）若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有户满意度得分不少于分，把得分不少于分为满意.根据提供的条件数据，完成下面的列联表.满意不满意总计购本市企业生产的新能源汽车户数购外地企业生产的新能源汽车户数总计并判断是否有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关？（2）以频率作为概率，政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是：购买本市企业生产的每台补贴万元，购买外地企业生产的每台补贴万元.但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元？附：，其中.17. 如图，在四棱锥中，，底面，是边长为2的菱形，，正所在平面与底面垂直．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．18. 已知函数，.（1）若在上有极值点，求的取值范围；（2）若，时，，求的最大值.19. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，比例系数为（），固定部分为1000元.（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20. 手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率.21. 如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形，其中P位于边上，Q位于边上，已知米，，设，记，当越大，则污水净化效果越好.（1）求关于的函数解析式，并求定义域；（2）求最大值，并指出等号成立条件？。

江西省南昌市2013届高三数学第二次模拟测试试题理（南昌二模，扫描版）123456 2012—2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题目1234567 8 9 10 答案 A A B A C B DACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5，共20分） 11. 3； 12.29； 13. 4 14. 222sin 2sin 2sin 22sin 2sin 2cos 2A B C B C A =++ 三、选做题（本题共5分）15.①②{|1x x ≤-或2}x ≥四、解答题（本大题共6小题，共75分） 16.解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.0651000300⨯⨯=，第4组的人数为0.0451000200⨯⨯=，第5组的人数为0.025*******⨯⨯=。

…………………3分 所以利用分层抽样在600名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数为： 第3组123006600⨯=，第4组122004600⨯=，第5组121002600⨯=……………6分 （2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3，03663121(0)11C C P C ξ===，12663129(1)22C C P C ξ===，21663129(2)22C C P C ξ===，363121(3)11C P C ξ===，……………………………………………………………………10分所以，ξ的分布列为：0 1 2 317．解：（1）1(sin cos ,)2m n x x +=+u r r ，所以21111()(sin cos )sin sin sin cos sin 2cos 22222f x x x x x x xx x =+-=+-=-，…3分即()f x sin(2)24x π=-，………………………………………………………………4分 当[0,]2x π∈时，32[,]444x πππ-∈-，sin(2)[42x π-∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的值域是1[,22-；……………………………6分7（2）由22()25B f =，得3sin()45B π-=，又(,)444B πππ-∈-， 所以4cos()45B π-=，………………………………………………………………………8分因此”2cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444B B B B ππππππ=-+=---=, ……9分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2223242298225c c c =+-⨯⨯， ……11分 所以：52,8c a ==。

江西省南昌三中2025届高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)- B ．(1,3)- C ．(3,1)-- D ．(1,3)--2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．253．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）A ．25B ．32C ．35D ．404．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）A ．c c a b >B ．22ac bc ＜C ．lna lnb ＜D ．11()()22a b < 5．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心6．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤ C ．{}2|0x x -≤≤ D ．∅7．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =8．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值 9．函数()cos 2x f x x =的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．10．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上最大值是1 11．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件12．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届江西省南昌市高三二模数学（理）试题一、单选题1．复数z 对应复平面上的点12Z ⎛ ⎝⎭，则2z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】首先根据复数的几何意义表示出复数z ，再根据复数的乘方运算求出2z 即可得到其坐标，即可判断；【详解】解：因为复数z 对应复平面上的点122Z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以12z =+，所以221122z ⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，在复平面内对应的点的坐标为12⎛- ⎝⎭位于第二象限. 故选：B. 2．已知集合()()(){},1210A x y x y x y =++-+=，则集合A 中元素个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】D【分析】根据集合A 是由两条直线上的所有点组成的集合可得答案.【详解】因为()()1210x y x y ++-+=等价于10x y ++=或210x y -+=， 所以集合A 是直线10x y ++=和直线210x y -+=上的所有点组成的集合， 所以集合A 中的元素个数有无数个. 故选：D3．从编号依次为01，02，…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（ ）A ．09B ．02C ．15D ．18【答案】A【分析】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，舍去不在范围内的和重复的数字，可得答案．【详解】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取08，33（舍），95（舍），55（舍），02，62（舍），15，27（舍），02（舍），43（舍），69（舍），32（舍），18，18（舍），26（舍），09 则第五个编号为09 故选：A4．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数()11025sin(150)p t t π=+，其中()p t 为血压(单位：mmHg )，t 为时间(单位：min )，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（ ） A ．1150B ．1110C ．170D ．175【答案】A【分析】相邻血压的最大值与最小值之间的间隔，由三角函数性质易知为半个周期，求得血压函数的周期即可求得.【详解】由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期， 则2115075T ππ==，时间间隔为112150T =. 故选：A.5．已知等比数列{}n a 中，142524a a a a +=+=，，则数列{}n a 的前6项和6S =（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】首先根据条件先求公比，再求首项，代入公式求6S .【详解】25142a a q a a +==+，31411192a a a a q a ∴+=+==，129a ∴=，()6621291412S -∴==-.故选：B.6．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，62AB =，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD 为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M 点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面DPB ，设AC 与BD 的交点为O ，BM 与EF 交点为N ,,E F 为,PA PC 的中点，N ∴为PO 的中点，12PO =，6ON OB ∴==，又因为12tan 26PO PDB OD ∠===, 过点M 作MG DB ⊥， 设GB x =，45NBO ∠=︒，GB MG x ∴==，又12DB =，12DG x ∴=-，tan 212xPDB x∠==-,8x GB ∴==,DG ∴为4个格，GB 为8个格，故选：C【点睛】关键点点睛：研究并计算平面PDB ,确定点M 在底面上的投影G 的位置，是解题的关键，属于中档题.7．已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，()3,1A ，则APF 周长的最小值为（ ） A ．225+B ．45 C ．35 D ．65【答案】B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，过P 做PQ l ⊥，垂足为Q ，设APF 周长为c ，22(31)15c PA PF AF PA PF PA PF =++=+-+=+知：PF PQ =，因此5c PQ AP =++,,P A Q 在同一条直线上时，c 有最小值，即PA l ⊥时，min 3(1)545c =--=故选：B8．已知2(0,1)()log ,[1,2)a ax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2af x =有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】D【分析】首先求解()0,1x ∈时的实数根，再根据函数图象，判断[)1,2x ∈时，方程有一个解时，a 的取值范围.【详解】由条件可知0a >且1a ≠，当()0,1x ∈时，22a ax =，解得：22x =，成立，当[)1,2x ∈时，若01a <<，log0ax <，02a >，log 2a a x ≠， ∴log 2a ax =有解，则1a >， 如图，当log 22a a >时，有交点，a 越大，log 2a 越小，2a 越大，当2a =时，log 22a a=， ()1,2a ∴∈故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数，以及根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合分析，当[)1,2x ∈时，log2aax =有解，求参数的取值范围.9．已知2()1x f x e =+，则“120x x +=”是“()()122f x f x +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用等价转化的方式探讨“120x x +=”与“()()122f x f x +=”的关系而得解. 【详解】因为2()1x f x e =+， 所以()()()()111221121122011x x x x x x f x f x f x f x e e -+=⇔=-⇔+=+-=+++ 111111112(1)2(1)2(2)2(1)(1)2x x x x x x x x e e e e e e e e ----+++++===++++，从而有“120x x +=”是“()()122f x f x +=”充要条件. 故选：C.10．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线22122x y -=的图象绕原点逆时针旋转45︒后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近线分别为x 轴和y 轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”()0,0ny mx m n x=+>>也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为y mx =和y 轴）．设3m =，3n =，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）A ．3B ．4C ．26D ．7【答案】C【分析】求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的距离公式可得解.【详解】旋转后两条渐近线分别为3y =和0x =，夹角为60， 旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线， 所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为6033y x =，联立333y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得6322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以旋转后的双曲线的两个顶点为6322或632(2-， 22663232()()262222+++=故选：C11．四面体ABCD 中，90,4,2ABC BCD AD BC ∠=∠=︒==，且AB 与CD 所成角为60︒，则该四面体的外接球表面积为（ ） A ．10π B ．16πC ．18πD ．20π【答案】D【分析】把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积.【详解】如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，在Rt AED △中，2ED BC ==，4=AD ，则224223AE =-=又AB 与CD 夹角为60，则60ABE ∠=，在Rt ABE △中，2tan 60AEBE ==，则四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为()222112322522AC =++=故外接球表面积为24520ππ=故答案为：D.【点睛】方法点睛：将四面体外接球转化为长方体外接球，从而求得半径. 12．已知直线0:1,:1176862n x y x yl l a a n a n a+=+=++----(a 为常数，1,2,3n =，…)，点()1,n n a a +是0l 与n l 的交点，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．320B ．360C ．590D ．600【答案】C【分析】联立直线方程，解出x ，y 的表达式，因交点是1(,)n n a a +，则求得的1,n n a x a y +==，从而根据数列递推关系求得参数a 的值，代入可求得数列通项公式，从而求得前20项和.【详解】联立11716862x y a a x y n a n a ⎧+=⎪⎪++⎨⎪+=⎪----⎩①②，1111()()0168762x y a n a a n a-+-=+--+--， 即()()()()6926920168762n a n ax y a n a a n a ----+=+--+--，n N +∈，则6920n a --≠，即()()()()762168a n a y xa n a +--=-+--，代入①式，得()()()()()626111168168n a x x x a a n a a n a ----=⇒=++--+--， ()()1686a n a x +--=-，则()()7626a n a y +--=， 故()()1686n a n a a +--=-，()()17626n a n a a++--=，由n a 的通项可以推出：()()11[618]6n a n a a +++--=-()()()1(62)76266a n a a n a +--+--=-=，又n N +∈，620n a --≠，则(1)74a a a -+=+⇒=-， 故32n a n =-，1321a =-=，20320258a =⨯-=， 故数列{}n a 的前20项和为20(158)5902⨯+=.故选：C.【点睛】方法点睛：联立求得交点，满足数列的递推关系，求得参数和通项公式，进而求得前20项和.二、填空题13．已知()1,2a =-，()3,1b =-，则与a b -同方向的单位向量是___________． 【答案】43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】求出a b -的坐标与模，进而可求得与a b -同方向的单位向量为a b a b--，即可得解.【详解】由已知条件可得()4,3a b -=-，则()45a b -=-=，所以，与a b -同方向的单位向量为43,55a ba b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-. 故答案为：43,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：（1）与非零向量a 共线的单位向量为a a±；（2）与非零向量11,ax y 垂直的单位向量为e ⎛⎫=±. 14．某学科视导团有三名男专家和两名女专家，安排到五所学校进行教学视导，这五所学校中省级重点中学有三所，省级建设重点中学有两所，要求每所学校各派一位专家，两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有___________种(结果用数字作答). 【答案】108【分析】先求总的分派方案再减去不符合要求的方案即可．【详解】两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有53253212012108A A A -=-= 故答案为：10815．若函数2()1x af x x +=+在(1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(,1]-∞-【分析】函数在(1,)-+∞上单增，说明其导数在(1,)-+∞上大于等于0，恒成立，从而解得参数取值范围.【详解】22222(1)()2()(1)(1)x x x a x x af x x x +-++-'==++，(1,)x ∈-+∞()f x 在(1,)-+∞上单增，等价于2()020f x x x a '≥⇔+-≥，在(1,)-+∞上恒成立，22y x x a =+-的对称轴为1x =-，则22y x x a =+-在(1,)-+∞上单增， 则22120x x a a +-≥--≥ 即1a ≤-故答案为：(,1]-∞-【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调递增，则其导数在去上大于等于0，恒成立.16．通过研究发现：点光源P 斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点1F (如图所示)，如图是底面边长为2､高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P 位于AD 的中点处时，则在平面1111D C B A 上的投影形成的椭圆的离心率是___________.【答案】12【分析】作出光源投影后的图形，在三角形中分别解得椭圆参数a ，c ，从而求得离心率.【详解】从P 作11PM A D ⊥于M 点，在平面POM 内作球的切线PN ，交平面1111D C B A 于N 点，则在平面POM 内形成的图形如图所示：底面边长为2､高为3的正四棱柱，实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切， 则3PM =，11OQ MF MQ ===，故2PQ =，212142tan tan 23112QPO MPN ⨯∠=⇒∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则4tan 343MN PM MPN =⋅∠=⨯=， 根据题目条件知，1F 是椭圆焦点，MN 是长轴，即24a =，11MF a c =-=，则2,1a c ==，离心率12e = 故答案为：12三、解答题17．在钝角ABC 中，A 为钝角，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，sin cos A B =，2C B =.（1）求角C ；（2）若22c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）4Cπ；（2）2.【分析】（1）由sin cos A B =可得,A B 关系，结合内角和为π可求得B ，由2C B =得到结果；（2）利用正弦定理可求得,a b ，利用三角形面积公式，结合二倍角公式可求得结果.【详解】（1）A 为钝角，sin cos A B =，2A B π∴=+，又2C B =，A B C π++=，22B B B ππ∴+++=，解得：8B π=，4C π∴=.（2）由（1）得：()58A B C ππ=-+=， 由正弦定理得：sin 54sin sin 8c A a C π∴==，sin 4sin sin 8c B b C π==， 15sin 8sin sin sin 8cos sin sin 2884884ABC S ab C ππππππ∴===24sin 24π==.18．如图，菱形ABCD 的边长为4，对角线交于点23E ABC π∠=，，将ADC 沿AC折起得到三棱锥D ABC -.（1）求证：平面DBE ⊥平面ABC ； （2）若CD 与平面ABC 3D BCE --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55或31313. 【分析】（1）若要证面面垂直，只要证平面内一条直线垂直于另外一个平面即可； （2） 两种情况，1°点D 在面ABC 内的投影O 落在ABC 内，2°点D 在面ABC 内的投影H 落在ABC 外两种情况分类讨论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量进行求解即可.【详解】（1） （2） （1）因为折叠前BD AC ⊥，所以,AC BE AC DE ⊥⊥，因为DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ， 又AC ⊂平面ABC ，平面DBE ⊥平面ABC . （2）由（1）知，平面DBE ⊥平面ABC ， 过点D 作DO BE ⊥，则DO ⊥平面ABC ，1°当点D 在面ABC 内的投影O 落在ABC 内时，如图（1）， 因为24,3AB ABC π=∠=， 所以23,2CE AE DE BE ====，因为34OD DC DC ==，所以3OD = 则1BO OE ==，如图所示，建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),3)B D ，(1,23,0),(1,0,0)C E --，则(1,23,3),(2,3,0)CD BC =-=-，设平面BCD 的法向量为1(,,)n x y z =，则230330x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，则(3,1,1)n =，因为平面BCE 的法向量为2(0,0,1)n =，所以12125cos 5n n n n θ⋅==⋅； 2°当点D 在面ABC 内的投影H 落在ABC 外时，如图（2）， 因为面BDE ⊥面ABC ， 所以点H 在BE 的延长线上，Rt DHE △中，2,1DE DH HE ==⇒=.如图以E 为原点，,EB EC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,((0,0,0)B C D E -， 所以(3,0,3),(2,DB BC =-=-， 设平面DBC 的法向量为()1111,,m x y z =，由110,0mDB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到111130,20x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令10y =，有1(3,1,3)m =，而平面BCE 的一个法向量为2(0,0,1)m =，121212cos ,3m m m m m m ⋅<>===⋅所以二面角D BC E --【点睛】本题考查了空间面面垂直的在证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，同时考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，属于较难题.本题的关键有： （1）证明面面垂直，先证明线面垂直；（2）建系求二面角关键是利用方程求法向量.19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）0． 【分析】（1）由离心率得32c a =，由四边形面积得24ab =，结合222a b c =-可求得,a b 得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，不妨设()0,1C ，()0,1D -，得直线,PC PD 方程，可得,M N 点坐标，求出直线l 斜率，得直线l 方程，从而可得Q 点坐标，计算MQ NQ -即可得结论．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=， 所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-， 所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=， 故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭．()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--， 又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线椭圆方程的应用，解题关键是设00(,)P x y ，由P 在椭圆上得()220041x y =-，解题方法是解析几何的基本方程，写出直线方程求得交点坐标，计算两点间距离，然后计算距离之差，得出结论．考查了学生的运算求解能力．20．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响. （1）当15p =时， （i ）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii ）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ；（2）乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值.【答案】（1）（i ）56；（ii ）分布列答案见解析，数学期望：125；（2）最小值为23.【分析】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，分别求得(),()P A P AB 的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii ）求得甲答对某道题的概率为3()5P A =，得到3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，求得()()()012,,P A P A B P ， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则1111(),()2252P A P AB =+⨯=，所以1()52()111()6225P AB P B A P A ===+⋅∣. （ii ）随机变量X 可取01234、、、、，甲答对某道题的概率为1113()2255P A =+⋅=，则3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4432()(0,1,2,3,4)55k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的分布列为则()455E X =⨯=. （2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+， 答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-则()()1212111(1)(1)1222P A C p p p =⋅+⋅-=-，()22211(1)(1)24P A p p ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， ()201139P B ⎛⎫==⎪⎝⎭，()112214339P B C =⋅⋅=，所以甲答对题数比乙多的概率为()()()()102120102120P A B A B A B P A B P A B P A B ⋃⋃=++()()22221114111151(1)(1)31072949493636p p p p p =-⋅++⋅++⋅=⋅++≥ 解得213p ≤<，即甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23.【点睛】方法点拨：记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”， 分别求得()1P A ，()()20,P A P B ，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.21．已知函数()()sin ln f x x x a x a R =-∈，的图象在2x π=处的切线斜率为1-.（1）求证：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；（2）求证：3141111sin sin sin ln 23233332n n n n ππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2,()n n N ≥∈. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对复合函数求导，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，利用sin tan <<x x x 进行放缩或者利用辅助角公式，来证明导数恒小于0，从而求得()f x 的最小值，与0进行比较即可. （2）10,32n ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，利用11sin sin 13n n π⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭放缩，结合（1）中函数得出的结论sin ln x x x π>，进一步放缩，最后转化为对数的累加，从而证得结果. 【详解】证明：（1）()sin cos af x x x x x'=+-， 由题2112a f ππ'⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以a π=. 故()sin ln ,()sin cos f x x x x f x x x x xππ'=-=+-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，易知0sin tan x x x <<< 方法一：()sin cos sin tan cos 2sin f x x x x x x x x xxxπππ'=+-<+⋅-=-，令()2sin g x x x π=-，知()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以()02g x g π⎛⎫<=⎪⎝⎭，也即()0f x '<， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，2()ln 1ln 022224f x f ππππππ⎛⎫⎛⎫>=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，在0,,()02x f x π⎛⎫∈> ⎪⎝⎭得证；方法二：2()sin cos cos 1cos f x x x x x x x x x xx x πππ'⎛⎫=+-<+⋅-=+- ⎪⎝⎭， 令232()1cos ,()sin h x x h x x xx ππ'=+-=-+，知()h x '在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，所以216()102h x h ππ''⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，知()h x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 所以4()102h x h ππ⎛⎫<=-<⎪⎝⎭，也即()0f x '<， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，2()ln 1ln 022224f x f ππππππ⎛⎫⎛⎫>=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，在0,,()02x f x π⎛⎫∈> ⎪⎝⎭得证；方法三：()sin cos )f x x x x x xxππϕ'=+-=+-，因为sin()1,()x f x xπϕ'+≤≤，设()g x xπ=，显然()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()20g x x π=<<，所以()0f x '<， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，故()ln 222f x f ππππ⎛⎫>=-⎪⎝⎭，因为1ln 22π<， 所以()ln 0222f x f ππππ⎛⎫>=->⎪⎝⎭. （2）当,2n N n ∈≥时，10,32n ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为1113n n π+>+，所以11sin sin 13n n π⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则1111sin sin 13n n n n n n π++⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin ln x x x π>，令111111,(2,,),sin sin 1ln 3k n n x k n n kn n n n n ππ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+>+>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以313414111sin ln ,sin ln ,,sin ln 232233333n n n n n ππππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+>+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 相加得3141111sin sin sin ln 23233332n n n n ππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：导数解决函数最值问题，对于复杂函数，可以利用放缩的办法求得函数值恒成立，从而证得结论.22．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C：xy=．以原点O为极点，x的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的极坐标方程；（2）曲线1C与2C交于A，B，C，D四点，求以A，B，C，D为顶点的四边形ABCD 的面积．【答案】（1）224x y+=；2sin cosρθθ=；（2）4．【分析】（1）根据曲线1C的参数方程，消去参数θ即可；将cosxρθ=，sinyρθ=代入xy=即可；（2）联立224x yxy⎧+=⎪⎨=⎪⎩，分别求得A，B，C，D的坐标，结合图象，利用曲线1C和曲线2C的对称性得到ABCD为矩形求解.【详解】（1）因为曲线1C的参数方程为2cos2sinxyθθ=⎧⎨=⎩，解得cos2sin2xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去θ得曲线1C的普通方程为224x y+=．曲线2C：xy=．将cosxρθ=，sinyρθ=代入得：2sin cosρθθ=（2）由224x yxy⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩1xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩不妨设(A，)B，(1,C-，()1D-，如图所示：由图可知四边形ABCD 为矩形，()231AB =，)231BC =， 所以四边形面积4S AB BC =⋅=．【点睛】关键点点睛：明确曲线1C 和曲线2C 都是中心对称，得到ABCD 为矩形是求解本题的关键.23．已知()11f x x a x b =-+++-的最小值是c ．（其中a ，b 都是0到1之间的正数）（1）求a b c ++的值；（2）证明：22424a ab bc ac +++≤．【答案】（1）2a b c ++=；（2）证明见解析．【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为2a b +-，结合a ，b 的范围可得结果；（2）结合（1）中的结论，将2a b c ++=进行平方，由基本不等式得222b c bc +≥，进而可得结果.【详解】（1）()()11112f x x a x b x a x b a b =-+++-≥-+-+-=+-， 因为(),0,1a b ∈，所以()2f x a b ≥--，当11a x b -≤≤-时取到最小值2a b --，所以2c a b =--即2a b c ++=；（2）因为2a b c ++=，所以()24a b c ++=，即2222224a b c ab bc ac +++++=，因为222b c bc +≥，所以2222a b c ab bc ac a bc ab bc ac+++++≥++++，2222222即22424+++≤．a ab bc ac。

参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．小题,13．0.79（或79%） 14. 1 15. 100π 16.12三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．【解析】（Ⅰ）由34552,,22a a a 成等差数列得：435522a a a =+， 设{}n a 的公比为q ，则22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），3分所以515(12)3112a S -==-，解得11a =， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=. 6分（Ⅱ）由2135(21)100n n ++++-==得10n =，所以所求数列的前100项和100123103519T a a a a =++++，8分即2910013252192T =+⨯+⨯++⨯，所以239101002123252172192T =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，两式相减得：23910100122222222192T -=+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯所以1023410101010012(22222)192121921,12T --=+++++-⨯-=⨯-⨯--所以101001723(17411).T =⨯+=12分18．【解析】（Ⅰ）因为平面//CEF 平面PAD ，平面CEF 平面ABCD CE =，平面PAD平面ABCD AD =，所以//CE AD ，又因为//AB DC ，所以四边形AECD 是平行四边形， 所以12DC AE AB ==，即点E 是AB 的中点， 3分因为平面//CEF 平面PAD ，平面CEF平面PAB EF =，平面所以//EF PA ，点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点， 综上，,E F 分别是,AB PB 的中点. 6分（Ⅱ）因为,PA PB AE EB ==，所以PE ⊥AB ， 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ， 又AB AD ⊥，所以CE AB ⊥.如图以点E 为坐标原点，,,EC EB EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,0)B C D E -，由中点公式得到(0,1,1)F ， 设平面CEF ，平面DEF 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==， 由,m EC m EF ⊥⊥得：1111112000,00x y z x y z +⋅+⋅=⎧⎨⋅++=⎩，令11y =，得(0,1,1)m =-，8分由,n ED n EF ⊥⊥得：2222222200,00x y z x y z -+⋅=⎧⎨⋅++=⎩，令21y =，得(1,1,1)n =-10分所以cos ,m n <>== 综上，二面角D EF C --12分.2分所以选手的均分及最终排名表如下：4分（Ⅱ）对4号评委分析：排名偏差平方和为：2222222222102112210117.+++++++++= 6分对5号评委分析：排名偏差平方和为：2222222222215111301043+++++++++=， 8分由于1743<，所以评委4更准确.（Ⅲ）10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，X 可能取值有0,1,2,3.所以353101(0)12C P X C ===，12553105(1)12C C P X C ===，21553105(2)12C C P X C ===，35361(3)12C P X C ===，10分所以X 的分布列为：所以数学期望0123121212122EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．12分20．【解析】（Ⅰ）由已知34AC BC k k ⋅=-34=-， 所以223424x y +=，又三点构成三角形，得0y ≠所以点C 的轨迹E 的方程为221(0)86x y y +=≠. （缺定义扣1分）5分（Ⅱ）设点P 的坐标为(0,)t ，当直线MN 斜率不存在时，可得,M N分别是短轴的两端点，得到t =，6分当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 则由2MP PN =得122x x =-①，联立22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84240k x ktx t +++-=，由0∆>得2222644(34)(424)0k t k t -+->，整理得2286t k <+.由韦达定理得21212228424,3434kt t x x x x k k -+=-=++，②9分由①②，消去12,x x 得2226128t k t -+=-， 由2222260128686128t t t t t ⎧-+≥⎪⎪-⎨-+⎪<⋅+⎪-⎩，解得2263t <<，10分又因为M为长轴端点(-时，可求得N点，此时t =， 综上，2223t ≤<或226t <<，又因为以AP 为直径的圆面积284t S π+=⋅，所以S 的取值范围是13557[,)(,)6222ππππ． （缺区间断点扣1分）12分21．【解析】（Ⅰ）解法1：记()F x ()()2l n (2)f x g x x x a x a=-=+-+，则()2l n 4F x x a '=+-，当4a ≤时，因为1x >，()0F x '>，函数()F x 单调递增，()(1)2F x F >=， 函数()y F x =无零点，即函数()f x 与()g x 的图像无交点； 3分当4a >时，22()0e(1)aF x x -'=⇒=>，且221ea x -<<时，()0F x '<，22ea x ->时，()0F x '>，所以，22min ()(e )a F x F -=，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个交点，得22(e)0a F -=，化简得：222e 0a a --=，4分记22()2ea h a a -=-，22()1e0a h a -'=-<，所以()h a 在(4,)a ∈+∞上单调递减，又(6)62e>0h =-，32(7)72e 772 4.480h =-=-≈-⨯<， 所以(6,7)a ∈，即6n =. 6分解法2：因为()2ln 2f x x x x =+，所以()2ln 4f x x '=+， 当1x >时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.由图像可知，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个交点，则()f x 在点00(,())x f x 处的切线即为()g x 的图像. 所以00()2ln 4a f x x '==+.2分因为()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000002ln 2(2ln 4)()y x x x x x x --=+-， 且切线过点(1,0)，所以000002ln 2(2ln 4)(1)x x x x x --=+-，即00ln 2x x +=，4分 令()ln 2,1h x x x x =-+>，则11()10xh x x x-'=-=<， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，因为(3)ln 310h =->，(4)ln 420h =-<， 所以0(3,4)x ∈，所以02ln 4(6,7).a x =+∈ 所以6n =. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当3x >时，()()(1)6(1)≥=->-f x g x a x x ，只要证明：3x >时，4(3)6(1)eln(2)x x x -->-即e 2(3)ln(2)03(1)x x x --->-， 8分记2(3)()eln(2)3(1)x G x x x -=---，则222e 43e (6e+4)3e 8()23(1)3(2)(1)x x G x x x x x -++'=-=----， 10分记2()3e (6e+4)3e 8x x x φ=-++，图像为开口向上的抛物线，对称轴为21(3)3ex =+<，且(3)12e 4>0φ=-，所以当3x >时，()0x φ>，即()0G x '>， 所以()G x 在区间(3,)+∞上单调递增，从而()(3)0G x G >=，即e 2(3)ln(2)03(1)x x x --->-成立，所以4(3)()eln(2)x f x x ->-成立．12分22．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=， 2分曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 222ρθρθ⋅+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=； 5分（Ⅱ）因为点E 的坐标为(4,0)，2C 的倾斜角为6π5， 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：22(4)2024t t -+-=，整理得：22)160t t -+=，判别式0>△，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为1． 10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a a =--+，()|21||24|g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1R x ∈，存在2R x ∈,使得12()()g x f x -=成立, 求实数a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由|21||24|6x x -++<- 11 - ①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-,即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<,即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <,即1324x ≤<； 综上，不等式()6g x <解集是93()44-，.5分（Ⅱ）对任意的1R x ∈，存在2R x ∈,使得12()()g x f x -=成立，即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()||f x x a a =--+，知()(,]f x a ∈-∞， 由()|21||24||(21)(24)|5g x x x x x =-++≥--+=，且等号能成立，所以()(,5]g x -∈-∞- 所以5a ≥-，即a 的取值范围为[5,)-+∞． 10分。

江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）对于集合M,N，定义：M-N={x|且}，，设A={y|y=x2-3x,}，B={x|y=log2(-x)}，则（）A . （， 0]B . [， 0)C .D .2. （2分） (2017高一上·武汉期中) 己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（）A .B . 或C .D . 或3. （2分）极坐标方程的直角坐标方程为（）A . 或B .C . 或D .4. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则（）A .B .C .D .5. （2分）已知，则（）A .B .C .D .6. （2分）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A .B . 8C .D .7. （2分）已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是（）A . 4B . 8C . 16D . 158. （2分） (2016高二上·南昌期中) 下列说法正确的是（）A . “f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B . 若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C . 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D . “若α= ，则sinα= ”的否命题是“若α≠ ，则sinα≠ ”二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知复数z1 ， z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|= ，则|z1+z2|等于________．10. （1分） (2018高二下·泰州月考) 执行如图所示的程序框图，输出的的值为________.11. （1分）已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则 =________．12. （1分） (2017高二上·驻马店期末) 已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为________．13. （1分） (2018高三上·邵东月考) 已知，则不等式的解集是________．14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （5分） (2017高二下·菏泽开学考) 在△ABC中，角A，B，C所列边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，试判断bc取得最大值时△ABC形状．16. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ= ，方差Dξ= ，求n、p的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．指针位置A区域B区域C区域返券金额（单位：元）6030017. （5分）(2018·杭州模拟) 如图,在等腰三角形中,，M为线段的中点，为线段上一点,且 ,沿直线将翻折至 ,使 .(I)证明;平面⊥平面 ;(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.18. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．19. （15分） (2016高二上·唐山期中) 已知椭圆C的方程为： =1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e= ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0，y0）满足，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON 的斜率之积为﹣，求证：x02+2y02为定值．（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．20. （5分）数列{an}的前n项和记为Sn若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的通项公式，判断{an}是否为“H数列”；（2）等差数列{an}，公差d≠0，a1=2d，求证：{an}是“H数列”参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共50分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、。

一、单选题二、多选题1. 明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（ ）A ．122钱B ．115钱C ．108钱D ．107钱2. 为防控疫情，学校要对每个教室定时通风换气．已知某个教室南面有4扇编号分别为a ，b ，c ，d 的窗户，北面有2扇编号分别为x ，y 的门．若在此教室所有门窗都关闭的情况下随机地敞开其中3扇，则能实现此教室南北通风的概率为（ ）A．B．C．D．3.已知，，则（ ）A．B．C．D．4. 第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5.等差数列的前n 项和为，公差为d ，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值② ③，④为的最小值A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）A ．0.56B ．0.14C ．0.24D ．0.947. 在中，，点P 是的中点，则（ ）A．B ．4C．D ．68.已知向量，若，则锐角为（ ）A．B．C．D．9. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则A．B．C．D．江西省南昌市稳派2023届高三二模数学（理）试题(1)江西省南昌市稳派2023届高三二模数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题10. 为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：日期项目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日党员先锋24272625377672邻里互助11131111127132143对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ）A ．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25B ．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64C ．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为D ．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为11. 已知圆，直线，下列结论正确的是（ ）A ．直线l恒过点B ．若直线l 平分圆C，则C ．圆心C 到直线l的距离的取值范围为D ．若直线l 与圆C 交于点A ，B ，则面积的最大值为12. 正三棱台中，，分别是和的中心，且，则（ ）A ．直线与所成的角为B ．平面与平面所成的角为C ．正三棱台的体积为D ．四棱锥与的体积之比为13. 已知向量，向量的夹角是，，则等于_______．14.设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为______．15. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则________；双曲线的渐近线方程是________．16.定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.17. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，.(1)若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛. 18. 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点.求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）点到平面的距离.19. 马拉松（）长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合为42.195千米（也有说法为42.193千米）.分全程马拉松（）、半程马拉松（）和四分马拉松（）三种.以全程马拉松比赛最为普及，一般提及马拉松，即指全程马拉松.2021年沈阳国际马拉松将于9月19日在辽宁沈阳举行，本次“沈马”获评“2021世界田联标牌”赛事.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．（1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望参考公式及数据：，其中．0.500.40.250.150.100.050.0250.010.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820. 已知数列满足：.（1）求证：；（2）求证：.21. 设分别是椭圆的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，点到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．(1)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，求实数的取值范围；(2)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值．。