圆中三角函数综合例题及练习

高中数学-单位圆与三角函数线练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段C.正弦线的长度为不大于1的正数D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C3.如图1-1-2，PM⊥x 轴，AT⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.图1-1-2 图1-1-3解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-43π＜α＜2π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ）图1-1-4A.sinα＜tanα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosαC.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .答案：D2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（ ）A.第一象限B.第一、二象限C.第三象限D.第一、三象限解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x∈（4π，45π）.答案：C4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.答案：A5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.6.设43π＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b ＞c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（ ）A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,2π),则sinθ+cosθ的一个可能值是（ ） A.32 B.72πC.224-D.1解析：由θ∈(0，2π)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C.答案:C3.适合cosα≥21的角α的集合是（ ） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+32π］（k∈Z ）C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k∈Z ）D.［2kπ+3π，2kπ-3π］（k∈Z ）解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3π.答案：C4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.答案：B5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)4π；(2)32π-.解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .(1) (2)6.利用三角线，求满足sinx≤21的角x 的集合. 解：由图可知，值为21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+613π，k∈Z ｝.7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤21，所以x∈［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ）.8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆,0,0,02121x x x x 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+>->+---.01sin 22sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或故21＜sinα＜23.利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z }.9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt△MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，所以cos 2α+sin 2α=1.10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，2），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由α=，显然S △OAP ＜S扇形OAP＜S △OAT ，即21·OA ·MP ＜21·OA ·＜21··AT .化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.。

中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。

二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。

2025人教B 版高中数学必修第三册7.2.2 单位圆与三角函数线基础过关练题组一 对三角函数线概念的理解1.(2024重庆缙云教育联盟月考)如图,已知点A 是单位圆与x 轴的一个交点,角α的终边与单位圆的交点为P,PM⊥x 轴于M,过点A 作单位圆的切线交角α的终边于T,则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是( )A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AT ⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AT⃗⃗⃗⃗⃗ 2.已知角α的正弦线是长度为单位长度的向量,那么角α的终边在( ) A.y 轴的非负半轴上 B.y 轴的非正半轴上 C.x 轴上 D.y 轴上3.(多选题)(2023辽宁葫芦岛月考)下列说法中正确的是( ) A.α一定时,单位圆中的正弦线也一定 B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的余弦线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 4.给出下列三个说法: ⊥π6和5π6的正弦线长度相等; ⊥π3和4π3的正切线长度相等;⊥π4和5π4的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.0题组二三角函数线的应用5.sin 1,sin 1.2,sin 1.5的大小关系是()A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1D.sin 1.2>sin 1>sin 1.56.若-3π4<α<−π2,则sin α,cos α,tan α的大小关系是()A.sin α<tan α<cos αB.tan α<sin α<cos αC.cos α<sin α<tan αD.sin α<cos α<tan α7.(2022福建龙岩期末)已知cos α>cos β,那么下列结论成立的是()A.若α,β是第一象限角,则sin α>sin βB.若α,β是第二象限角,则tan α>tan βC.若α,β是第三象限角,则sin α>sin βD.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β8.(2024山东青岛月考)依据三角函数线作出下列四个判断:⊥sinπ6=sin7π6;②cos(-π4)=cosπ4;③tanπ8>tan3π8;④sin3π5>sin4π5.其中判断正确的有(填序号).9.已知α⊥(0,π2),利用单位圆中的三角函数线证明下列不等式.(1)sin α<α<tan α;(2)sin α+cos α>1.答案与分层梯度式解析 7.2.2 单位圆与三角函数线基础过关练1.D 由三角函数线的定义可知,角α的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AT ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选D.2.D 由题意可知sin α=±1,故角α的终边在y 轴上.3.AD 显然A,D 正确;π6与5π6有相同的正弦线,但π6≠5π6,故B 错误;α与π+α的终边互为反向延长线,它们的余弦线方向相反,故C 错误. 4.C 在单位圆中分别作出π6和5π6的正弦线CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由图可知,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故π6和5π6的正弦线长度相等.同理,在单位圆中分别作出π3和4π3的正切线,π4和5π4的余弦线(图略),可知⊥和⊥中说法均正确.故选C.5.C 易知0<1<1.2<1.5<π2.在同一平面直角坐标系中作出1,1.2,1.5的正弦线MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QC ⃗⃗⃗⃗⃗ .由图可知,|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |<|NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |<|QC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与y 轴的正方向相同, ⊥sin 1<sin 1.2<sin 1.5. 6.D 如图,在单位圆中,作(-3π4,-π2)内的一个角α及其正弦线MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、余弦线OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、正切线AT ⃗⃗⃗⃗⃗ .由图知,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |<|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |<|AT ⃗⃗⃗⃗⃗ |,又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别与x 轴,y 轴的正方向相反,AT ⃗⃗⃗⃗⃗ 与y 轴的正方向相同,所以sin α<cos α<tan α.7.D对于A,由图(1)可知,cos α>cos β时,sin α<sin β,故A错误;对于B,由图(2)可知,cos α>cos β时,tan α<tan β,故B错误;对于C,由图(3)可知,cos α>cos β时,sin α<sin β,故C错误;对于D,由图(4)可知,cos α>cos β时,tan α>tan β,故D正确.8.答案⊥⊥解析⊥中,如图a所示,根据三角函数线,可得sinπ6>0,sin7π6<0,故sinπ6>sin7π6,所以⊥不正确;⊥中,如图b所示,根据三角函数线,可得-π4和π4的余弦线长度相等,方向相同,即cos(-π4)=cosπ4,所以⊥正确;⊥中,如图c所示,根据三角函数线,可得3π8的正切线的长度大于π8的正切线的长度,即tanπ8<tan3π8,所以⊥不正确;⊥中,如图d 所示,根据三角函数线,可得3π5的正弦线的长度大于4π5的正弦线的长度,即sin 3π5>sin4π5,所以⊥正确.故选⊥⊥.9.证明 (1)如图所示,设单位圆与x 轴的正半轴的交点为N,角α的终边与单位圆的交点为A,与直线x=1的交点为T,AM⊥x 轴于点M,则sin α=|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan α=|NT ⃗⃗⃗⃗⃗ |.连接AN,则S ⊥OAN <S 扇形AON <S ⊥ONT , 即12ON·MA<12ON 2·α<12ON·NT, ⊥MA<α<NT, ⊥sin α<α<tan α.(2)由(1)知,在⊥OAM 中,MA+OM>OA, 所以sin α+cos α>1.。

综合题 1．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ） A．125 CD3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（ ）．A ．78B ．67C ．56D ．1 6．如图，已知⊙O 的半径为9cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝15 cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．动点A 自P 点以25cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，同时动点B 也自P 点以2cm/s 的速度沿射线PN 方向运动，则它们从点P 出发 s 后AB 所在直线与⊙O 相切.9．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？12．如图（1）x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣2，0）． （1）求此抛物线的解析式；（2）①若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，连接CD ，以OE 为直径作⊙M ，如图（2），试求当CD 与⊙M 相切时D 点的坐标；②点F 是x 轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G ，使A 、C 、G 、F 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，点E 从点A 出发，沿射线AD 移动，以CE 为直径作圆O ，点F 为圆O 与射线BD 的公共点，连接EF 、CF ，过点E 作EG ⊥EF ，EG 与圆O 相交于点G ，连接CG ．（1）试说明四边形EFCG 是矩形；（2）当圆O 与射线BD 相切时，点E 停止移动，在点E 移动的过程中，①矩形EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； ②求点G 移动路线的长．16．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H （0, m ）作平行于x 轴的直线，直线与二次函数D ，E.（1）写出点A,点B 的坐标；B（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.25．在直角坐标系xOy 中，已知点P 是反比例函数y ＝x32（x ＞0）图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21？若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标；若不存在，试说明理由．35．如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A （2,0）、B （8,0）、C （8,3）．将直线l:y ＝－3x －3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t 秒．（1）当t ＝_________时,直线l 经过点A ．（直接填写答案）（2）设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S,试求S ＞0时S 与t 的函数关系式．（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l 出发的同时,⊙M 以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t 为何值时,直线l 与⊙M 相切？34．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，以AB 为直径的半⊙O’与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是半⊙O’的切线，AD ⊥CD 于点D ．（1）求证：∠CAD =∠CAB ；（2）已知抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点，AB=10 ，tan ∠CAD=12． ① 求抛物线的解析式； x yO （备用图）②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；③在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．。