高中数学基础知识典型例题4——三角函数

高中数学基础知识典型例题4——三角函数

数学基础知识与典型例题

第四章三角函数

三

角

函

数

相

关

知

识

关

系

表

角的概念1.①与α（0°≤α<360°）终边相

同的角的集合

（角α与角β的终边重

合）:{}Z

k

k∈

+

⨯

=,

360

|α

β

β ;

②终边在x轴上的角的集

合:{}Z

k

k∈

⨯

=,

180

|

β

β;

③终边在y轴上的角的集合：

{}Z

k

k∈

+

⨯

=,

90

180

|

β

β;

④终边在坐标轴上的角的集

合：{}Z

k

k∈

⨯

=,

90

|

β

β.

2. 角度与弧度的互换关系：

360°=2π180°=π

1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，

例1.已知2弧度的圆心

角所对的弦长为2,那么

这个圆心角所对的弧长

为( )

()2

A

()sin2

B

2

()

sin1

C

()2sin1

D

例 2. 已知α为第三象

限角,则

2

α

所在的象限

是( )

(A)第一或第二象限

(B)第二或第三象限

(C)第一或第三象限

(D)第二或第四象限

负角的弧度数为负数，零角的

弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.

3.弧度制下，扇形弧长公式

1

2

r

α

=，扇形面积公

式2

11

||

22

S R Rα

==，其中α为弧所对圆心角的弧

度数。

三

角

函

数

的

定

义

1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角

形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边

上任取一点(,)

P x y（与原点不重合），记

22

||

r OP x y

==+，

则sin y

r

α=，cos x

r

α=，tan y

x

α=，cot x

y

α=。

注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由

角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,

以比值为函数值的函数.

⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:

①诱导公式：即

2

kπ

αα

±→或

90

2

k

αα

±→

之间函数值关系()

k Z

∈，其规律是“奇变偶不变，

符号看象限”；如sin(270)

α

-=cosα

-

②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商

数关系.

⑶重视用定义解题.

⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各

种三角函数值的一种图示方法.如单位圆

例 3.已知角α的终边经

过P(4,-3),求

2sinα+cosα的值.

例 4.若α是第三象限

角,且cos cos

22

θθ

=-,

则

2

θ

是( )

()A第一象限角

()B第二象限角

()

C第三象限角

()

D第四象限角

例5.

若cos0,

θ>sin20,

θ<

且

;;

MP OM AT 正弦线:余弦线:正切线:

2. 各象限角的各种三角函数值符号:

一全二正弦,三切四余弦

sin

y

r

α=cos

x

r

α=tan y

x

α=,cot

x

y

α=

(纵坐标y的符号) (横坐标x的符号)

θ

则角的终边所在象限是（）

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

三角函数公式三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二(k Z

∈)

sin(2)sin,cos(2)cos

tan(2)tan,cot(2)cot

k x x k x x

k x x k x x

ππ

ππ

+=+=

+=+=

公式组三

sin()sin tan()tan

cos()cos cot()cot

x x x x

x x x x

-=--=-

-=-=-

公式组四公式组五

x

x

x

x

x

x

x

x

cot

)

cot(

tan

)

tan(

cos

)

cos(

sin

)

sin(

=

+

=

+

-

=

+

-

=

+

π

π

π

π

x

x

x

x

x

x

x

x

cot

)

2

cot(

tan

)

2

tan(

cos

)

2

cos(

sin

)

2

sin(

-

=

-

-

=

-

=

-

-

=

-

π

π

π

π

公式组六

sin()sin tan()tan

cos()cos cot()cot

x x x x

x x x x

ππ

ππ

-=-=-

-=--=-

(二)两角和与差公式

公式组一

β

α

β

α

β

αsin

sin

cos

cos

)

cos(-

=

+

β

α

β

α

β

αsin

sin

cos

cos

)

cos(+

=

-

β

α

β

α

β

αsin

cos

cos

sin

)

sin(+

=

+

β

α

β

α

β

αsin

cos

cos

sin

)

sin(-

=

-

例 6.化简：

440

sin

12

-

例7.已知tanα，tanβ是

方程23340

x x

++=两

根，且α，β)

2

,

2

(

π

π

-

∈，

则α+β等于( )

(A)π

-

3

2

(B)π

-

3

2或

3

π

(C)

3

π

-或π

3

2

(D)

3

π

例8.︒

+

︒15

cot

15

tan

的值是（）

β

α

β

α

β

α

tan

tan

1

tan

tan

)

tan(

-

+

=

+

β

α

β

α

β

α

tan

tan

1

tan

tan

)

tan(

+

-

=

-

公式组二: α

α

αcos

sin

2

2

sin=

α

α

α

α

α2

2

2

2sin

2

1

1

cos

2

sin

cos

2

cos-

=

-

=

-

=

α

α

α

2

tan

1

tan

2

2

tan

-

=

2

cos

1

2

sin

α

α-

±

=

2

cos

1

2

cos

α

α+

±

=,

1cos sin1cos

tan

21cos1cos sin

αααα

ααα

--

=±==

++

公式组三

1

cos()sin

2

παα

-=

,

1

cos()sin

2

παα

+=-

,

1

sin()cos

2

παα

-=

1

sin()cos

2

παα

+=

,

1

tan()cot

2

παα

-=

,

1

tan()cot

2

παα

+=-

常用数据:

30456090

、、、的三角函数值

62

sin15cos75

4

-

==

,

4

2

6

15

cos

75

sin

+

=

=

3

2

75

cot

15

tan-

=

=

,3

2

15

cot

75

tan+

=

=

(A)2 (B)2+3

(C)4 (D)

3

3

4

三

角

函

数

公

式

注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰

地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.

如tan()(1tan tan)tan tan

αβαβαβ

+-=+

22

1cos1cos

cos,sin

2222

αααα

+-

==等.

从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.

⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研

究三角函数图象及性质做准备.

⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2

θ=tanx·cotx=tan45°等。

②项的分拆与角的配凑。

如分拆项：222222

sin2cos(sin cos)cos1cos

x x x x x x

+=++=+;

配凑角(常用角变换):

2()()

ααβαβ

=++-、2()()

βαβαβ

=+--、

22

αβαβ

α

+-

=+、

22

αβαβ

β

+-

=-、

()

ααββ

=+-等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函

数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=2

2b

a+sin(θ+ϕ)，

这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的

例9. 设)

2

,0(

π

α∈,若

,

5

3

sin=

α则)

4

cos(

2

π

α+=

（）

(A)

5

7

(B)

5

1

(C)

2

7

(D)4

例10.sin163sin223+

sin253sin313=( )

1

()

2

A-

1

()

2

B

3

()

2

C-

3

()

2

D

例11. 求下列各式的

值：⑴

75

tan

1

75

tan

1

-

+;

⑵

tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒

例12.已知α为锐角，且

1

tan

2

α=，求