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三角函数和解三角形典型题及常见题汇总三角函数是数学中重要的分支之一，它与解三角形问题密切相关。
本文将对三角函数的基本概念进行介绍，并通过解典型题和常见题的方式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数（sine function）：对于一个角α，它的正弦值（sinα）等于其对边与斜边的比值，可以表示为sinα = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：对于一个角α，它的余弦值（cosα）等于其邻边与斜边的比值，可以表示为cosα = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tangent function）：对于一个角α，它的正切值（tanα）等于其对边与邻边的比值，可以表示为tanα = 对边/邻边。
二、解三角形典型题1. 已知两边及夹角（SSA）：当已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用正弦定理求解第三边的长度。
具体步骤是：a) 使用正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别表示三个角的度数，a、b、c分别表示这些角所对应的边长。
b) 带入已知数据，求解未知边的长度。
2. 已知两个边及对应角（SSS）：当已知一个三角形的两个边及其夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。
具体步骤是：a) 使用余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应的角度。
b) 带入已知数据，求解未知边的长度。
三、常见题汇总1. 解三角形：已知三个角或两个角及一边的情况下，求解三角形的边长和角度。
2. 三角函数的图像与性质：通过画图并观察三角函数的周期、对称轴、最大最小值等性质。
3. 三角方程的求解：根据给定的三角方程，使用三角函数的性质和恒等式进行推导和求解。
4. 三角函数的应用：在物理、工程等领域中，通过三角函数可以描述和求解各种周期性现象，如电流的变化、振动的周期等。
结束语通过学习三角函数和解三角形的典型题目，我们能够更好地理解和运用三角函数的概念和公式。
第12讲 三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。
因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二、高考考点分析2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。
主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。
如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。
如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
三角函数例题及解析
1按照计算的一般顺序进行
首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;
其次，观测题目特点，看一看几步运算，有没有方便快捷算法;
再次，确定运算顺序。
在此基础上利用有关法则、定律进行计算;
最后，必须仔细检查，看看存有非为删、凿删、记错现象。
2解题模型
第一步，观测未知与未明与否为同一个角，若相同，则利用同角的基本关系解，若相
同则展开第二步。
第二步，观察已知与未知是否为同倍角，若相同，则求两角的和差为特殊值，利用已
知角表示未知角化为同角问题，进行第一步，若不同则进行第三步。
第三步，因为未知与未明不是同倍角。
所以可以将低倍角平分再再降次增高角的倍数，或者进行高倍角减少角的倍数，角同倍数后展开第二步。
3函数思想
锐角的正弦、余弦、正弦、余切都就是三角函数，其中都蕴含着函数的思想。
比如，
任一锐角a与它的正弦值就是一一对应的关系.也就是说，对于锐角a任一确认的一个度数，sina都存有惟一确认的值与之对应；反之，对于sina在0、1之间任一确认的一个值，锐角a都存有惟一确认的一个度数与之对应。
三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。
按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。
4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。
二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。
-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。
-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。
2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。
3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图像解三角函数方程和不等式。
4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。
-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。
-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。
5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。
-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。
以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。
第二讲：三角函数大题类型归纳经典1．根据解析式研究函数性质例1【2012高考真题北京理15】（本小题共13分）已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。
（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间。
【相关高考1】【2012高考真题天津理15】（本小题满分13分）已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （答案：T=π） （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.；最小值：—1）【相关高考2】【2012高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++。
（I ）求函数()f x 的最小正周期； 答案： （I ）T=π （II ）()1sin 2,(,)221sin 2,(,0)22x x g x x x πππ⎧∈--⎪⎪=⎨⎪-∈-⎪⎩（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。
2．根据函数性质确定函数解析式例2【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分)函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形。
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值。
【相关高考1】【2012高考真题陕西理16】（本小题满分12分） 函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； 答案：（Ⅰ）()2sin(2)16f x x π=-+。
高考数学中的三角函数例题分类讲解高考数学中的三角函数是考试中比较重要的知识点之一，也是考生普遍比较困惑的内容。
本文将针对高考数学中的三角函数例题进行分类讲解，并且通过实例展示每种类型的题目的解题思路。
一、求三角函数值的例题求三角函数值是高考中比较基础的一种考查形式，考生只需要根据所给的角度大小，应用三角函数公式求解即可。
常见的求三角函数值的例题有以下几种形式：1. 已知角度$x$，求$\sin{x}$，$\cos{x}$及$tan{x}$的值。
例题：已知角度$x=37^{\circ}$，求$\sin{x}$，$\cos{x}$和$tan{x}$的值。
解题思路：根据三角函数定义以及常识可知，$37^{\circ}$角位于第一象限，其余角函数值为$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos{x}=\frac{1}{2}$，$tan{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
值得注意的是，此处的结果是最简结果，因此在做题过程中应注意分母的约分。
2. 已知$\sin{x}=\frac{1}{2}$，求$\cos{x}$和$tan{x}$的值。
例题：已知$\sin{x}=\frac{1}{2}$，求$\cos{x}$和$tan{x}$的值。
解题思路：根据三角函数公式可知，当$\sin{x}=\frac{1}{2}$时，$x=30^{\circ}$或$x=150^{\circ}$。
因此，$\cos{x}$的值分别为$\frac{\sqrt{3}}{2}$和$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$tan{x}$的值分别为$\frac{\sqrt{3}}{3}$和$-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. 已知$\tan{x}=-\sqrt{3}$，求$\sin{x}$和$\cos{x}$的值。
例题：已知$\tan{x}=-\sqrt{3}$，求$\sin{x}$和$\cos{x}$的值。
高中数学三角函数的性质及相关题目解析一、三角函数的基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解析三角函数题目之前，我们首先来了解一下三角函数的基本性质。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 正负性：在单位圆上，正弦函数的值在[-1,1]之间取值；余弦函数的值也在[-1,1]之间取值；正切函数的值在整个实数轴上取值。
二、三角函数的相关题目解析1. 题目一：已知sinθ=1/2，求cosθ的值。
解析：根据三角函数的基本性质，我们可以利用三角函数的定义来解决这个问题。
已知sinθ=1/2，代入sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。
假设y=1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。
根据余弦函数的定义cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。
代入已知条件，可以求得cosθ=√3/2。
2. 题目二：已知cosθ=-1/2，求sinθ的值。
解析：同样地，根据三角函数的定义，我们可以利用已知条件来求解。
已知cosθ=-1/2，代入cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。
假设x=-1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。
根据正弦函数的定义sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。
代入已知条件，可以求得sinθ=√3/2。
3. 题目三：已知tanθ=1，求θ的值。
解析：根据正切函数的定义tanθ=y/x，其中y为θ对应的直角三角形的对边，x 为邻边。
已知tanθ=1，代入已知条件，可以得到y=x。
根据勾股定理，可以得到斜边的长度为√2。
根据三角函数的定义，我们可以得到sinθ=y/r=1/√2，cosθ=x/r=1/√2。
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数最值问题典型错例剖析三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。
学生在解决这些问题过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。
下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。
例1. 已知2αβπ+=，求y =-cos sin βα6的最小值。
错解：由2αβπ+=，得βπα=-2，则()y =--=--=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-cos sin sin sin sin πααααα2626123211222故y min =-112剖析：错在忽视了三角函数的有界性。
正解：()y =--=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-cos sin sin πααα262321122 因为sin x ≤1，所以当sin α=-1时，y max =7当sin α=1时，y min =-5例2. 已知0≤≤x π，求函数y x x =-sin cos 的最大值和最小值。
错解：y x x x =-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪sin cos sin 24π由0≤≤x π，得-≤-≤πππ4434x所以-≤-⎛⎝ ⎫⎭⎪≤22422sin x π 故y y max min ==-11， 剖析：单调函数的最值在边界上，但正弦函数在闭区间-⎡⎣⎢⎤⎦⎥ππ434，上不单调，因此，函数最值不一定在区间端点处取得。
此题错在误用了函数单调性的性质。
正解：y x x x =-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪sin cos sin 24π 因为-≤-≤πππ4434x 由函数的图象易知-≤-⎛⎝ ⎫⎭⎪≤2241sin x π所以y y max min ==-21，例3. 已知-≤≤ππ22x ，求函数y x x =+sin cos 3的最大值和最小值。
错解：y x x x =+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin cos sin 323π 因为sin x +⎛⎝ ⎫⎭⎪≤π31所以y y max min ==-22，剖析：错在忽视了条件中对自变量的限制。
高中数学三角函数经典例题及详解高中数学三角函数专题复考试要求：三角函数是一类最典型的周期函数。
本单元的研究可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性。
同时，我们可以利用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；并且利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
1）角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
2）三角函数概念和性质①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π，α±π的正弦、余弦、正切）。
②借助图象理解正弦函数在[0,2π]上、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在(-π/2,π/2)上的性质。
③结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
3）同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式sinx+cosx=4）三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。
5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。
经典题型：一、求值化简型这类问题常常用到的公式包括三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍公式、降幂公式、辅助角公式。
数学高考总复习：三角函数的图象与性质经典例题精析类型一：周期1. 求下列函数的周期：（1）；（2）解析：（1），∴周期为；（2）函数的周期，∴周期为.总结升华：①求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式：或，否则很容易出现错误。
②二者的共同点是，如：的周期是，的周期是.举一反三：【变式】求函数的最小正周期．（1）；（2）；（3）【答案】（1），∴周期为；（2），∴周期为；（3），∴周期为；类型二：定义域2．求函数的定义域。
思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.解析：将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：∴因此函数的定义域为：。
总结升华：①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度。
求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式1】求函数的定义域：【答案】要使得函数有意义，需满足，解得或，∴定义域为：.【变式2】已知的定义域为，求的定义域.【答案】∵中，∴中，解得，∴的定义域为：.类型三：三角函数的图象3．试述如何由的图象得到的图象.【答案】方法一：.方法二：.举一反三：【变式1】由的图象得到的图象需要向__________平移________个单位.【答案】左，；∵，∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.举一反三：【变式2】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A． B． C．D．【变式3】写出下列函数图象的解析式（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。
（2）将函数的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象。
初中三角函数知识点总结及典型习题共5页初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
2、在直角三角形Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为：定义表达式取值范围关系正弦 sinA a/c (-1,1] 对边/斜边余弦 cosA b/c (-1,1] 邻边/斜边正切 tanA a/b (-∞。
+∞) 对边/邻边同时，有以下关系式：sinA = cosBcosA = sinBsin^2A + cos^2A = 13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值。
即：sinA = cos(90°-A)cosA = sin(90°-A)4、特殊角的三角函数值：角度 30° 45° 60°正弦值1/2 √2/2 √3/2余弦值√3/2 √2/2 1/2正切值√3/3 1 √35、正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
7、正弦定理、余弦定理：1) 三角形常用公式：A+B+C=π；S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB2) 三角形中的边角不等关系：A>B⇔a>b。
a+b>c。
a-b<c3) 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（外接圆直径）4) 正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角。
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
③几何作图时，存在多种情况。
如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：1)A为锐角一解：a = bsinA/sinB两解：a < b2)A为锐角或钝角，当a>b时有一解。
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 已知，且，则可以表示（）））） 分析 由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为 依据诱导公式，有，，由此排除了 又，故，）若，则等于（）） ）））已知，那么的值是（ （A）（B） （C）（D） 分析（1）方法1 因为 （注意）. （注意由有）. 于是原式，故选. 方法 2 利用，，， 又，，，故选（A）. （2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可． 设，， 由，有，，， 故， 并且，，.建议收藏下载本文，以便随时学习！ 由此可知，故选.的值 设，则，且 又设，则，且，故． 又由，可得， 即． 函数的定义域为建议收藏下载本文，以便随时学习！ 分析 所求函数定义域应该由下列条件确定： 解得为，故所求定义域为． 又由，则，，即所求值域为 函数的单调递增区间是 分析 由，得函数的定义域为 由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为 因此，已知函数的递增敬意是 满足的的取值范围是 满足的的取值范围是此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件． 例7 若，则在上满足的的取值范围是（）． （A）（B） （C）（D） 分析这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图， 满足已知条件的的取值范围是， 其中满足：，故， 同样，因此本题应选B．。
学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课课前检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________教学过程一：函数的定义域问题1.求函数1sin2+=xy的定义域。
分析：要求1sin2+=y的定义域，只需求满足01sin2≥+x的x集合，即只需求出满足21sin-≥x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Zk∈即可。
解：由题意知需01sin2≥+x，也即需21sin-≥x①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππkk()Zk∈小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log≠>=aaxfya的函数，则其定义域由()x f确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。
求下列函数的值域（1）xy2sin23-=（2）2sin2cos2-+=xy x分析：利用1cos≤x与1sin≤x进行求解。
解：（1） 12sin1≤≤-x∴[]5,151∈∴≤≤yy（2）()[].0,4,1sin11sin1sin2sin2sin2222cos-∈∴≤≤---=-+-=-+=yxxxxxxy 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
解：(1)221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2).11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤-y x y x x 时，；当时，当πππ(3)[]222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-；当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。
(4)413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式； （1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。
三：函数的周期性例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1=())62sin(2)(2π-=x x f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。
（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。
（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2)()62sin(26421sin 2ππππ-=∴-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x f x x 的是π4。
小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。
一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ωπ2=T 。
四．函数的奇偶性 例 判断下列函数的奇偶性xxx x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π 分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。
解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。
是偶函数。
)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ （2函数应满足∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x ππ，且函数的定义于为函数的定义域不关于原称。
∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于(xf -)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
五：函数的单调性 例：下列函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .= x y Bcos = x y C2sin = x y D2cos =分析：判断。
在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2ππππ≤≤∴≤≤解：sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin y x =[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。
小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。
的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ωϕω练习：1. 函数xy sin 1=的定义域为（ ） {}[)(]{}0.1,00,1.,..≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π2. 函数)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域是( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,211,2323,2121,23.DCBA 3. 函数)0)(4sin(>+=ωπωx y 的周期为32π，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）1sin sin sin 2sin .+==-==x y D x y C x y B x y A5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =432.1.D C B A6. 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上，下列函数为增函数的是（ ） x y Dxy Cxy Bxy A cos sin cos 1sin 1.-=-=-==7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）[]()Z k k k D k k Ck k B k k A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ8. 如果4π≤x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————9. 函数)2434(tan πππ≠≤=x xx y 且的值域为（ ） [](][)(][)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1DCBA答案：B B 3 C C D B 221- B。
