三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2、象限角的概念：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的表示：〔1〕α终边与θ终边相同<α的终边在θ终边所在射线上>⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意：相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.例1．与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是＿25-,合＿536π-＿弧度. 〔2〕α终边与θ终边共线<α的终边在θ终边所在直线上>⇔()k k αθπ=+∈Z . 〔3〕α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . 〔4〕α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . 〔5〕α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .〔6〕α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.例2．α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,则α＝____Z k k ∈+,32ππ________. 4、α与2α的终边关系：由"两等分各象限、一二三四"确定.例3．若α是第二象限角,则2α是第__一、三___象限角 5.弧长公式：||l R α=,扇形面积公式：211||22S lR R α==,1弧度<1rad>57.3≈.例4．已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积. 答案：22cm 〕6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点〔异于原点〕,它与原点的距离是r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠,()csc 0ry yα=≠.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关.例5．〔1〕已知角α的终边经过点P<5,－12>,则ααcos sin +的值为＿713-＿.〔2〕设α是第三、四象限角,m m --=432sin α,则m 的取值范围是___〔－1,)23____.〔3〕若0|cos |cos sin |sin |=+αααα,试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号答：负 7.三角函数线的特征是：正弦线MP"站在x 轴上<起点在x 轴上>"、余弦线OM"躺在x 轴上<起点是原点>"、正切线AT"站在点(1,0)A 处<起点是A >".三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.例6．〔1〕若08πθ-<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____〔tan sin cos θθθ<<〕〔2〕若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ ,〔sin tan ααα<<〕〔3〕函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______,答案：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号；在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.例7．〔1〕函数sin tan cos cot y αααα+=+的值的符号为____大于0,〔2〕若π220≤≤x ,则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____,yTA xα B SO M P答案：[0,]4π],43[ππ 〔3〕已知53sin +-=m m θ,)2(524cos πθπθ<<+-=m m ,则θtan ＝___125-,〔4〕已知11tan tan -=-αα,则ααααcos sin cos 3sin +-＝____35-； 2cos sin sin 2++ααα＝________513_;〔5〕已知a = 200sin ,则160tan 等于 〔 B 〕A 、21aa-- B 、21a a- C 、a a 21-- D 、a a 21-；〔6〕已知x x f 3cos )(cos =,则)30(sinf 的值为______－1.10.三角函数诱导公式〔2kπα+〕的本质是：奇变偶不变〔对k 而言,指k 取奇数或偶数〕,符号看象限〔看原函数,同时可把α看成是锐角〕.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：〔1〕负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<；<2>转化为锐角三角函数.例8．〔1〕97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为____23-____； 〔2〕已知54)540sin(-=+α,则=-)270cos( α___54-___,若α为第二象限角,则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα ____1003-____. 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-例9．〔1〕下列各式中,值为12的是 〔 C 〕A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ-C 、22251225tan .tan .-D 30； 〔2〕命题P ：0tan(A B )+=,命题Q ：0tan A tan B +=,则P 是Q 的 〔 〕A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；〔3〕已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=,那么2cos β的值为___725_； 〔4〕131080sin sin -的值是____4__；<5>已知0tan110a =,求0tan 50的值〔用a ,乙求得的结果是212a a-,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对;12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常"切化弦"；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:〔1〕巧变角〔已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等〕,例10．〔1〕已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是____322_； 〔2〕已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,223sin()αβ-=,求cos()αβ+的值；答案：490729〔3〕已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3cos()5αβ+=-,则y 与x 的函数关系为______43(1)55y x x =<<；<2>三角函数名互化<切割化弦>,例11．〔1〕求值sin 50(13tan10)+；〔答案：1〔2〕已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--,求tan(2)βα-的值；答案：18<3>公式变形使用〔tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±.例12．〔1〕已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝__2-_；<2>设ABC ∆中,tan A tan B Atan B ++=,4sin Acos A =,则此三角形是__等边__三角形；<4>三角函数次数的降升<降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=>.例13．<1>若32(,)αππ∈,为_____sin 2α；〔2〕函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为_______51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈<5>式子结构的转化<对角、函数名、式子结构化同>. 例14．〔1〕化简tan (cos sin )ααα-sin tan cot csc αααα+++；〔〕〔2〕求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；〔sin α〕〔3〕：化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 〔1cos 22x 〕 <6>常值变换主要指"1”的变换〔221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42ππ===等〕,例15．已知tan 2α=,求22sin sin cos 3cos αααα+-.〔35〕<7>正余弦"三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、"的内存联系――"知一求二",例16．〔1〕若sin cos x x t ±=,则sin cos x x =212t -± __,特别提醒：这里[t ∈；〔2〕若1(0,),sin cos 2απαα∈+=,求tan α的值.；〔3〕已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<,试用k 表示sin cos αα-的值13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+<其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan baθ=确定>在求最值、化简时起着重要作用. 例17．〔1〕若方程sin x x c =有实数解,则c 的取值范围是___[－2,2]________.；〔2〕当函数23y cos x sin x =-取得最大值时,tanx 的值是___32-___；〔3〕如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ=－2；〔4〕求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222_______32_； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,3,,,222ππππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： 〔1〕定义域：都是R.〔2〕值域：都是[]1,1-,对sin y x =,当()22x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1；对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1. 例18．〔1〕若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23,最小值为21-,则=a __,=b ；答案：1,12a b ==或1b =- 〔2〕函数x x x f cos 3sin )(+=〔]2,2[ππ-∈x 〕的值域是____[－1, 2]； 〔3〕若2αβπ+=,则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是_7___ 、__－5___；〔4〕函数2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是__2___,此时x ＝()12k k Z ππ+∈；〔5〕己知21cos sin =βα,求αβcos sin =t 的变化范围；1[0,]2〔6〕若αβαcos 2sin 2sin 22=+,求βα22sin sin +=y 的最大、最小值.1max =y ,222min -=y特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？〔3〕周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 例19．<1>若3sin)(xx f π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___0； <2> 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为___π_； <3> 设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ,若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立,则||21x x -的最小值为__2__；〔4〕奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,对称轴是直线()x k k Z π=∈〔正<余>弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点〕.例20．〔1〕函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______偶函数； 〔2〕已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数〕,且57f ()=,则5f ()-=－5_；〔3〕函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；128k (,)(k Z )ππ-∈；28k x (k Z )ππ=+∈ 〔4〕已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数,求θ的值.6k (k Z )πθπ=+∈〔5〕单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增.特别提醒,别忘了k Z ∈！ 16、形如sin()y A x ωϕ=+的函数： 〔1〕几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率〔周期的倒数〕；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；〔2〕函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定,例21．()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>,||2πϕ<图所示,则()f x ＝___15()2sin()23f x x π=+； 〔3〕函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①"五点法"――设X x ωϕ=+,令X ＝0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法.〔4〕函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左〔ϕ>0〕或向右〔ϕ<0〕平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标向上〔0k >〕或向下〔0k <〕,得到()sin y A x k ωϕ=++的图象.要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位, 例22．〔1〕函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？；2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象<2> 要得到函数cos()24x y π=-的图象,只需把函数sin 2xy =的图象向_左__平移__2π__个单位； 〔3〕将函数72sin(2)13y x π=-+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出a ；若不唯一,求出模最小的向量；答案：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--答：〕 〔4〕若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点,则k 的取值范围是；〔5〕研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质,只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ,但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正.例23．〔1〕函数23y sin(x )π=-+的递减区间是______；〔2〕1234x y log cos()π=+的递减区间是_______；〔3〕设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则 〔 〕A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A ； 〔4〕对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位,即得到函数2cos 2y x =的图像.其中正确结论是_______； 〔5〕已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中,距离最近两点间的距离为3π,那么此函数的周期是_______； 17、正切函数tan y x =的图象和性质：〔1〕定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？〔2〕值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；〔3〕周期性：是周期函数且周期是π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π.绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π,而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+,|tan |y x =的周期不变；〔4〕奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒：正<余>切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.〔5〕单调性：正切函数在开区间(),k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪内都是增函数.但要注意在18. 三角形中的有关公式：<1>内角和定理：三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.<2>正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===<R 为三角形外接圆的半径>.注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.<3>余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.<4>面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++〔其中r 为三角形内切圆半径〕.如ABC ∆中,若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-,判断ABC ∆的形状〔答：直角三角形〕.特别提醒：〔1〕求解三角形中的问题时,一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；〔2〕求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.例24．〔1〕ABC ∆中,A 、B 的对边分别是 a b 、,且A=60 4,a b ==,那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定 〔 〕；〔2〕在ABC ∆中,A ＞B 是sin A sin B >成立的____条件；〔3〕在ABC ∆中,112(tan A)(tan B )++=,则2log sinC ＝_____；<4>在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边,若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=,则C ∠＝____；〔5〕在ABC ∆中,若其面积222S =,则C ∠=____；〔6〕在ABC ∆中,60 1A ,b ==,这个三角形的面积为,则ABC ∆外接圆的直径是_______；〔7〕在△ABC 中,a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边,21,cos 32B C a A +==则=,22b c +的最大值为；〔8〕在△ABC 中AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是；〔9〕设O 是锐角三角形ABC 的外心,若75C ∠=,且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=,求A ∠．19.反三角函数：〔1〕反三角函数的定义〔以反正弦函数为例〕：arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内(11)a -≤≤.<2>反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以与两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ,[)π,0,[0,),[0,),[0,]2πππ． 20、求角的方法：先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数〔要注意选择,其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值〕.例25．〔1〕若,(0,)αβπ∈,且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根,则求αβ+的值______；〔2〕ABC ∆中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=,则C ∠＝_______；〔3〕若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=,0cos cos cos αβγ++=,求βα-的值例26．已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=,求：〔1〕函数f <x >的定义域； 〔2〕函数f <x >的周期和值域.例27．已知.0cos 35cos sin )515(sin ),23,(22=---∈θθθθππθ〔I 〕求θcos ； 〔Ⅱ〕若)(,21cos sin cos 34cos sin 15154)(2x f x x x x f 求+-=θθ的最小正周期与单调 递减区间.例28．已知： 〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦若在上最大值与最小值之和求的值.〔答：25-；536π-〕 〔答：Z k k ∈+,32ππ〕〔答：一、三〕〔答：22cm 〕〔答：713-〕；〔答：〔－1,)23〕；〔答：负〕<答：tan sin cos θθθ<<>；〔答：sin tan ααα<<〕；〔答：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〕〔答：大于0〕；〔答：[0,]4π],43[ππ〕；〔答：125-〕；〔答：35-；513〕；答：B 〔答：－1〕〔答：2-〕〔答：54-；1003-〕〔答：C 〕〔答：725〕〔答：4〕〔答：甲、乙都对〕〔答：322〕〔答：490729〕〔答：43(1)55y x x =<<〕〔答：1〕〔答：18〕〔答：2-〕〔答：等边〕〔答：sin 2α〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：sin α〕〔答：1cos 22x 〕〔答：35〕〔答：212t -±〕〔答：〕〔答：[－2,2]〕<答：32-><答：－2><答：32>〔答：1,12a b ==或1b =-〕〔答：[－1, 2]〕〔答：7；－5〕〔答：2；()12k k Z ππ+∈〕〔答：1[0,]2〕〔答：1max =y ,222min -=y 〕〔答：0〕〔答：π〕〔答：2〕〔答：偶函数〕〔答：－5〕〔答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈〕〔答：6k (k Z )πθπ=+∈〕〔答：15()2sin()23f x x π=+〕〔答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象〕〔答：左；2π〕〔答：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--〕〔答：〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：C 〕〔答：②④〕〔答：π〕答：C 〔答：充要〕〔答：12-〕〔答：60〕〔答：30〕〔答：3〕〔答：1932;〕〔答：06C π<≤〕〔答：45〕〔答：34π〕〔答：3π〕〔答：23π〕解：〔1〕2202cos ππ+≠⇒≠k x x 得)(22Z k k x ∈+≠ππ 〔2〕化简得).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f 所以周期T=]2,21()21,1[,⋃-值域为π 解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当已知： ()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分 〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分 〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣若在上最大值与最小值之和求的值.〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分 即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =。
