2
1. ∵0
3
π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2
A +4k sin A +1,A ∈(0,
3
2π) …
设sin A =t ,则t ∈]1,0(.
则m n ⋅=-2t 2
+4kt +1=-2(t -k )2
+1+2k 2
,t ∈]1,0(.
∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =
2
3. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22
sin 2sin
=++C
B A . I.试判断△AB
C 的形状;
II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.)4
2sin(22sin 2cos 2sin
2
sin
ππ+=+=+-C C C C C
￥
2
242π
ππ==+∴
C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2
)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,
此时面积的最大值为()
24632-.
4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4
3cos =
A , (1)求
B
C cos ,cos 的值; (2)若2
27
=
⋅,求边AC 的长｡ 【解析】:(1)8
1116921cos 22cos cos 2=-⨯
=-==A A C
4
7
sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由
~
()16
9
814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=
-=+-=∴C A C A C A B (2)24,2
27
cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 2
3cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6
2516
9
483616cos 2222=⨯
-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.
5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652
=+-x x 的两个根.
(Ⅰ)求)tan(B A +的值;
》
(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652
=+-x x 的两根tan 3,
tan 2A B ==.
∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
-23
1123
+==--⨯
(Ⅱ)∵
180=++C B A ,∴)(180B A C +-=
.
由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,
∵C 为三角形的内角,∴2sin 2
C =
∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴3sin 10
A =
, 由正弦定理得:
sin sin AB BC
C A
=
，
∴53352102
BC =
⨯=. 6 ．在
ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量
()
2sin ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,且//m n ｡
(I)求锐角B 的大小;
(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡
【解析】:(1) //m n
2sinB(2cos 2B
2
-1)=-3cos2B
2sinBcosB=-3cos2B tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π
3
(2)由tan2B =- 3
B=π3或5π
6
)
①当B=π
3
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2
+c 2
-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3
4ac ≤3
∴△ABC 的面积最大值为 3
②当B=5π
6
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2
+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14
ac≤ 2-3
