2019年高考数学(北师大版理科)： 14 导数与函数的单调性

第 1 页 共 11 页 高考数学总复习《导数与函数的单调性》专项测试卷及答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 复习要点 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，

会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

一 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论

f(x)在区间 (a，b)上可导

f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增

f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常函数 二 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 注意：导数的绝对值与函数值变化的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． 常/用/结/论 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 此命题适用于所有初等函数．

1．判断下列结论是否正确． (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√) (2)若函数f(x)在定义域上单调递增，则f′(x)>0.() (3)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√) (4)如果函数f(x)在区间(a，b)上变化得越快，其导数就越大．() 2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( ) 第 2 页 共 11 页

专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。

综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增； 当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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北师大版§1 函数的单调性与极值课堂练习与习题详细解析1.1导数与函数的单调性练习详解1.求下列函数的单调区间： （1）y=2x ²-5x+4; （2）y=3x-x ²。

解析:利用函数求导法判断即可。

（1） y ’=4x-5,当y ’>0时，即4x-5>0时，x>54,函数递增；当y ’<0时，即4x-5<0时，x<54,函数递减；故函数y=2x ²-5x+4的单调递增区间为（54,+∞），递减区间为（-∞，54,）.（2） 由y=3x-x ²得，y ’=3-2x,当y ’>0时，即3-2x>0,x<1.5时，函数递增； 当y<0时，即3-2x<0,x>1.5时，函数递减； 故函数y=3x-x ²的单调递增区间为（-∞，1.5），递减区间为（1.5，+∞）。

2.讨论函数y=2x-sinx 在（0,2π）上的单调性. 解析：求导得，y ’=2-cosx,当x ∈(0,2π)时，cosx ∈（-1,1），所以y ’=2-cosx>0,故函数在（0，2π）单调递增，§1.2函数的极值P83练习1.求下列函数的极值：（1）y=3x-x3；（2）y=x4−8x3+18x²−1；解析:（1）定义域为R，y’=3-3x²，令3-3x²=0，得x=1或者-1，画出导函数的图像如下:当x=1时，f(x)的极小值f(1)=3-1=2.(2)y’=4x3−24x2+36x=4x(x−3)²，定义域为R ,令y’=0,得x=0,3,画出导函数的图像如下:X (-∞，0) 0 （0,3） 3 （3，+∞）习题4-1 A 组1.求下列函数的单调区间： （1）y =−x 3−2x 2-4x+5; （2）y=(x+1)(x ²-1)； （3）y =4x 2+1x（4）y=xlnx 解析：（1）y ′=−3x 2−4x −4=−(3x 2+4x +4),x ∈R ， Δ=16-48<0,开口向下，y ’<0,故函数在R 上单调递增； (2)y ’=(x ²-1)+(x+1)·2x=3x ²+2x-1=（3x-1）（x+1）, x ∈R ， 当y ’>0时，x>13,或者x<-1;当y ’<0时，-1<x<13;故在（-∞，-1）和（13,+∞）时，函数递增；在（-1，,13）时，函数递减。