有限元 第1讲_概述

M1 M2
M3
. .
单元1
单元2
节点1
. .
.
节点3
节点2
θ
1
θ
2
θ 3=0
已知：M1、M2、θ3 未知： θ1 、θ2 、M3 。


第一章 有限元的基本理论
3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）
力的分类：体积力（内力）、表面力（surface force）（外力 • 体积力：重力、离心力、惯性力等 • 表面力：外载荷、流体静压力等 • （主应力：某个面切应力都为零。等效应力，范米赛斯屈 服准则：各向同性材料时，等效应力超过材料的屈服应力 时，屈服发生） 根据力的平衡条件： x yx zx Fx x y z px 0 xy y zy py 0 Fy x y z xz yz z Fz x y z p z 0
第一章 有限元的基本理论
3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）
根据合力矩为零的平衡条件：（作用在单元体上的力对x、y 、z轴取矩）
xy yx xz zx zy yz
第一章 有限元的基本理论
平面问题的定义
1、平面应力问题 条件：等厚度薄板（厚度< 截面尺寸/15）状弹性体； 受力方向沿薄板方向。 假设：力与板平行，沿厚 度方向均匀分布，沿厚度方 向应力分量为零，薄板不失 稳。
例子：水坝等
第一章 有限元的基本理论 第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
离散化 单元分析
支撑条件的引入
整体分析
非节点载荷的处理
解方程
第一章 有限元的基本理论 第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法

L K 1n u1 L K 2n u 2 L L M L K in u i L L M L K nn u n
为了看出该方程能给出所需的结果，取出该方程组中第 i 个方程式
10 30 u i* = K i1u1 + K i 2 u 2 + L + 10 30 u i + L + K in u n
单元节点载荷列阵。
五、 约束处理 由于结构刚度矩阵是奇异的、不能求逆。造成刚度矩阵奇异的原因是在建立刚度矩阵 时，解除了结构的外界约束而成了自由结构，使结构可产生刚体运动。因此必须排除结构 的刚体位移，使结构刚度矩阵成为非奇异的，才能求解出节点位移。一般情况下，引进边 界位移约束条件后可排除刚体运动，否则，还应适当给定某些节点的位移值。经引进边界 约束条件后，可适当地减少待求的节点位移的数目和方程的数目。 在这里介绍一种适合计算机实施的约束处理的作法，称“置大数法” 。设给定的节点 位移为 ui= u i* ,只需在 ui 所在行中， 将结构刚度矩阵的主对角元素 K ij 置入一个大数， 如 10 30 , 同时，将对应行的载荷项 Pi 用 10 30 u i* 代替,于是结构刚度方程成为
{ } { } { } { }
e V
——单元的等效节点载荷列阵， PVe , Pse , P0e 分别是
{ }{ }{ }
e s
单元的体力、面力、节点上的集中力的等效节点载荷列阵，
{P } = ∫∫∫[N ] {f }dv
T Ve
{P } = ∫∫ [N ] {P}ds
T se p
(1-10a)
方程（1-10）表示了结构的总位能是各单元的应变能之和加上各单元等效节点载荷的 位能之和。将单元刚度矩阵 K e 和单元节点载荷列阵 P e 按结构节点位移列阵 {∆} 的自由 度数和排列顺序添零升阶，式（1-10）可进一步完成 1 1 T T T T Π = {∆} ∑ K e {∆} − {∆} ∑ P e = {∆} [K ]{∆} − {∆} {P} 2 2

15
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2

y
1

0

(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x x dy
dU

dW

1 2

x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。

U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o

43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即

有限元分析及应用 胡于进
有限元法基本思想
离散化是分析的基础。有限 元法可以模型化任何复杂几 何形状的物体或求解区域， 离散精度高。如右图，齿轮 轮齿模型。有限元法可采用 变密度的网格，很好地逼近 了原始的轮廓形状，齿根部 位的应力集中也可通过网格 加密来提高计算精度。
a) 差分法离散
y c3
b) 有限元法离散
u3 3 R3
1
2
1、结构离散
y
F11
l1
u2 2
F21
l2
1 u1 ○
1）杆单元 2）截面尺寸不同离散为不 同的杆单元 3）局部坐标
1
l1
x
y
F22
2 u2 ○
2 u3 F3
2
3
l2
x
有限元分析及应用
胡于进
有限元法分析实例 y
2、单元分析 1）位移函数 单元1为例
F11
1 u1 ○
u2 2
F21
有限元分析及应用 胡于进
直接实验模型 相似实验模型 试验
典型工程问题物理模型
有限元分析及应用
胡于进
典型工程问题的数学模型
弹性力学问题 热传导问题 流体力学问题 电磁场问题 多场耦合问题 边界条件
有限元分析及应用
应力场 温度场 流速场 电磁场 力-热等 偏微分方程边值问题
胡于进
偏微分方程
典型工程问题的数学描述
A、由势能变分原理（势能最小原理）得 势能变分，整理得平衡方程
∂Π1 ∂Π1 = 0= , 0 ∂u1 ∂u2
1 A1 E 1 −1 u1 F1 = 1 l1 −1 1 u2 F2
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