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第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
平面问题的有限单元法有限单元法是随着计算机的出现而发展起来的一种有效数值计算方法，有限单元法出现于40年代，被应用于飞机结构分析，有限元这个术语是1956年首先使用的。
目前已广泛地用于工程结构的力学分析中。
第一节基本概念一、实质理想化连续体―――――――单元集合体（解析模拟、逼近求解区域）无限自由度有限个自由度有限单元法首先把结构划分成许多单元,在一定的简化假设前提下,研究单元的力学特性，即单元分析；然后把各单元综合起來, 把局部的力学特性扩展到整体, 即整体分析；12最后导出一组以结构结点位移为未知量的代数方程组。
通过求解方程组而得到单元的结点位移值，就可近似计算出结构任意一点的受力状态。
这种以结点位移为基本未知量的计算方法称为有限单元位移法。
二、理论基础弹性力学：变分原理能量原理基本方程：几何方程、物理方程1. 平面问题的几何方程⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=v u x y y x x v y u y v x u xy y x 00γεεε3这就是弹性力学平面问题的几何方程，它给出了某一点的位移与该点应变之间的关系。
反映了变形协调关系。
2. 平面问题的物理方程⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 即： D εζ= 给出了力与变形之间的关系，称为平面问题物理方程，是针对平面应力问题推导出的。
对于平面应变问题，只需将公式中的E 换成21μ-E，把μ换成μμ-1即可。
这样，弹性矩阵D 就变为：4⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(μμμμμμμμE D （2.8）这就是适用于平面应变问题的弹性矩阵。
3. 弹性体的能量原理（1）应变能 在弹性范围内，对于平面问题，某个面积A 的应变能可以用下式表示tdxdy V xy xy y y Ax x )(21γτεσεσ++=⎰⎰ 写成矩阵的形式为5t d x d y V AT ζε⎰⎰=21 （2）外力势能 外力势能用矩阵的形式可表示为∑-=i T i P V P d 式中 {}iy ixi P P =P −−作用在弹性体i 点的外力分量； {}i i i v u =d −−i 点的位移分量（3）弹性体的总势能弹性体在外力作用的总势能定义为应变能和荷载势能之和，即∑⎰⎰-=+=i T i AT PP tdxdy V V E P ζεd 21 （4）最小势能原理6单元的众多的结点位移)(e δ中, 须满足条件：0)(=e P E δ即 0)()(=∂∂e e P E δ的一组位移才是真正的位移。
