《现代控制理论》讲义
第1章 控制系统的状态空间模型
1 Chapter1控制系统的状态空间模型
1.1 状态空间模型
在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量)(tu和输出量)(ty之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(tuLsU和输出量)]([)(tyLsY之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法
例1-1（6P例1.1.1） 如下面RLC（电路）系统。试以电压u为输入，以电容上的电压Cu为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC电路图
解：由电路理论可知，他们满足如下关系
)(d)(d)()()(d)(dtittuCtututRittiLCC
经典控制理论：消去变量)(ti，得到关于)(tuC的2n阶微分方程：
)(1)(1d)(dd)(d22tuLCtuLCttuLRttuCCC
对上述方程进行Laplace变换：)()()2(20202sUsUssC 《现代控制理论》讲义
第1章 控制系统的状态空间模型
2 得到传递函数：202202)(sssG，LC10，LR2
信息工程学院 现代控制理论 课程习题清单
学分、学时 3 学分， 48
学 时 课程归属
（系、专业） 自动化系 授课专业 年级 自动化大三
总章节或 总单元 6 授课周数 16 教师教龄 2
命题教师 签名
课程负责人 签名
教学副院长 签名
课程目标： 自动控制领域的科学研究方法， 已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主， 发展为 现今的现代控制中以状态空间模型为主。因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的知 识。“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步理解
系统稳定性这一控制学科最为重要的概念， 掌握能控与能观、 状态反馈与状态估计等核心方
法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题方法灵活运用， 分析解决实际问
题。从宏观角度把握课程的体系结构， 建立起现代控制理论的基本框架。 主要培养学生以下 三个方面的能力：
1、分析建模能力 根据系统的工作原理或实验数据，建立合理的数学模型。
2、认知和理解能力 理解与掌握能控性、 能观测性与系统设计的关系， 系统矩阵与稳定性的关系， 输出反馈 与状态反馈的关系。
3、设计实施能力 根据系统的不可变部分及给出的综合性性能指标， 设计出满足控制系统要求的状态反馈 矩阵，并画出模拟电路图。
第一章（单元） ： 绪论
本章节（单元）教学目标： 主要介绍控制理论的产生背景及现代控制理论研究的主要内容， 使学生对现代控制理论 的发展及其所研究的主要问题有一个初步了解，并且复习、补充有关《线性代数》的内容。 重点内容：逆矩阵、线性无关与线性相关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性 理论等。
预习题 1.系统的数学描述可分为哪两种类型？
2.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别？
复习题 1.现代控制理论研究的主要内容是什么？
2.现代控制理论研究对象？
3.现代控制理论所使用的数学工具有哪些？
线性系统理论
一、 主要内容
本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。
1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容
2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述
3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析
4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据
5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解
6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据
7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题
二、线性系统及其研究的对象
一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
三、研究线性系统的基本工具
研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。例如：
单输入双输出系统的状态方程 概述及解释说明
1. 引言
1.1 概述
在控制系统中，状态方程是描述系统动态行为的一种数学模型。单输入双输出系统是一类常见的多变量控制系统，它具有一个输入和两个输出。本文旨在对单输入双输出系统的状态方程进行概述和解释，并探讨其在实际应用中的重要性。
1.2 文章结构
本文将分为五个部分进行论述。引言部分（第一章）将介绍文章的背景和目的，明确文章结构框架。接下来，我们将深入探讨单输入双输出系统的状态方程（第二章），包括定义、形式与含义以及状态变量与输入输出关系等方面。然后，详细解析单输入双输出系统的状态方程（第三章），并探讨系统鲁棒性和稳定性以及实际应用案例分析。最后，我们将总结回顾文章内容（第四章），并给出对未来研究展望与思考（第四章）。参考文献部分（第五章）列出了本文所引用的相关资料。
1.3 目的
本文旨在通过对单输入双输出系统的状态方程进行全面深入地阐述，使读者能够清楚了解这一模型在控制系统中的重要性和应用价值。同时，我们希望通过解析该模型的具体例子和讨论系统的鲁棒性和稳定性，能够帮助读者更好地理解并应用状态方程在实际问题中的作用。
以上是“1. 引言”部分的内容，介绍了文章的概述、结构和目的。接下来将会详细阐述“2. 单输入双输出系统的状态方程”的相关内容。
2. 单输入双输出系统的状态方程:
2.1 定义与背景:
单输入双输出系统是指一个系统具有一个输入信号，同时产生两个输出信号的动态系统。这种类型的系统广泛应用于各种工程领域，如控制系统、信号处理和通信系统等。通过建立数学模型来描述单输入双输出系统的行为是研究和设计这类系统的重要一步。
2.2 状态方程的形式与含义:
状态方程是用一组微分方程形式表示动态系统行为的数学表达式。对于单输入双输出系统而言，其状态方程可以表示为：
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y1(t) = C1x(t) + D11u(t)
