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系统的状态变量分析

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信号与系统 系统的状态变量分析

信号与系统 系统的状态变量分析

vC t C i t C R1
iL t
L
R2

v t

信号与系统
则得
1 1 1 t 2 t x t C C 2 t 1 t R1 R 2 t R1 x t 1 2 L L L
若令
1 t vC t , 2 t iL t , 1 t

d dt
vC t ,
2 t

d dt
iL t
is t
系统激励 系统输出
x t i S t
y1 t v t , y 2 t iC t
1 1 t C t R R2 2 1 L 1 C x t R1 L
0 t 1 1 2 t L
是一阶微分方程组，它描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和 激励的关系，称为状态方程；
iL t
1 L
vC t
R1 R2 L
iL t
R1
iS t
v t vC t R1iC t vC t R1iL t R1iS t iC t iL t iS t
y1 (t ) 1 y t y 2 (t ) 0
R1 1 t R1 x t 1 2 t 1
信号与系统
变量代表了 v C
t , i L t 电路的状态，称为状态变量
信号与系统
§ 7.1 系统的状态变量分析
信号与系统

第6章系统的状态变量分析法

第6章系统的状态变量分析法
• 其中x(0_)为初始条件的列矩阵，式(6. 3.10)即为方程(6. 3. 8}的一般 解。将此结果代入输出方程有:
• 将时域求解结果式(6. 3. 10)和式(6. 3. 11)与变换域求解结果式(6. 3. 4) 相比较，不难发现(SI -A)-1就是eAt的拉普拉斯变换，也即:
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•及 •或 • 将上面两式联立可以写成:
• 在状态变量法中，也可将状态方程用矢量和矩阵的形式表示，式((6. 1. 4)改写为:
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6. 1状态变量与状态方程
• 对于图6.1.1电路，若指定电容电压为输出信号，用y(t)表示，则输出 方程的矩阵形式为:
• 结合上面的例子，下面给出系统状态变量分析法中相关的几个名词的 定义。
• 定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x‘(t)分别为:
•
代表矩阵的转置，再定义输入矢量e(t)为:
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6. 2连续时间系统状态方程的建立
• 另外，把由系数aσ组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bσ组成的n 行m列的矩阵记为B，则:
• 把式(6.2.5)、式(6.2.6)和式(6.2.7)代人式(6.2.3)中，可将状态方程简 写为:
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6. 4离散时间系统状态方程的建立
• 式中x(k)为状态矢量，e(k)为输入矢量，Y(k)为输出矢量，A, B, C, D 为相应的系数矩阵:
上一页 返回
6. 5离散时间系统状态方程的求解
• 6. 5. 1离散时间系统状态方程的时域求解
• 一般离散时间系统的状态方程表示为: • 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 • 设给定系统的初始条件为x(0)，将k等于0，1, 2等依次代人式(6.5.1)

第七章 系统的状态变量分析法

第七章 系统的状态变量分析法

1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
1
f
2
(t)ຫໍສະໝຸດ Y CX DF输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u

系统的状态变量分析法

系统的状态变量分析法

出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状

第八章 系统的状态变量分析法

第八章 系统的状态变量分析法

x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1

xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2

x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0

x2

0
.. ...... e(t)
1

xn1
b1

第十二章系统的状态变量分析

第十二章系统的状态变量分析

1 + b0i z −1 H i (z ) = 1 + a0i z −1
1 + b1i z −1 + b0i z − 2 H i (z ) = 1 + a1i z −1 + a0i z − 2
一阶节为
x1 = x − a0i z −1 x1 x = x1 (1 + a0i z −1 )
x2 = x1 + b0i z −1 x1 = x1 (1 + b0i z −1 ) x2 1 + b0i z −1 Hi ( z ) = = x 1 + a0i z −1
b1i H i (z ) = 1 + a0i z −1
b2i + b1i z −1 H i (z ) = 1 + a1i z −1 + a0i z − 2
例：某连续系统的转移函数为
2s + 4 H (s ) = 3 s + 3s 2 + 5s + 3
试用几种形式模拟此系统。 解：1）直接形式
H (s ) =
三、信号流图的性质 1、信号只能沿箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路 增益的乘积。 2、结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到 所有输出支路。 3、具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传 输的支路，可以把它变成输出结点来处理。
4、给定系统，信号流图形式不是唯一的。 5、流图转置后，其转移函数保持不变。 *转置：把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入、输 出结点对换。
与书p290页式11－73一致 四、信号流图得化简（代数运算） 1、只有一个输入支路得结点值等于输入信号乘以支路增益。
2、串联支路：

第9章系统的状态变量分析

第9章系统的状态变量分析
状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系 统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即： （1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关 系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统） 和一阶差分方程组（离散系统）； （2）输出方程，它描述了系统的响应与状态变量和激励的关 系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输 出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时 变系统和非线性系统。
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性

第11章 线性系统的状态变量分析法

第11章 线性系统的状态变量分析法

duC 1 dt RC di 1 L dt L
1 uC 0 C i 1 uS ( t ) 0 L L
若uL,ic,uR,iR作为输出
uL iC u R iR 1 1/ R 1 1/ R 0 1 1 uC 0 0 i L 0 uS ( t ) 0 0
L + uS(t) + uL iL + uC iC iL R C R 2 + uR
选uC , iL 为状态变量
列微分方程
duC uC iC C iL dt R
di L uL L uS ( t ) uC dt
duC 1 dt RC di 1 L dt L
输出方程
x1 x 2 y b0 ,b1 ,...., bm ,0,..., 0 x 3 ... xn
bm s m bm 1s m 1 b1s b0 x(t ) A x(t ) B e(t ) H (s) n n 1 s an 1s a1s a0
输出方程：
x1 y 10 4 0 x 2 x3
r(t)=10x1+4x2
y(t ) C x(t ) D e(t )
状态方程： x(t ) A x(t ) B e(t ) 输出方程：
y(t ) C x(t ) D e(t )
取相变量为状态变量
状态方程
1 0 x1 ' 0 x ' 0 1 2 0 x 3 ' 0 0 0 .. ... .. x n a 0 a1 a 2 0

8.系统分析的状态变量法_信号与系统

8.系统分析的状态变量法_信号与系统

8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。

信号与系统第五章

信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t

信号与线性系统分析系统的状态变量分析(精)

信号与线性系统分析系统的状态变量分析(精)
1

1
t
t0
u L d
1 t0 其中：iL t0 u L d L

1 iC d C1
t

0
1 iC d C1
t0
1
i
t0
t
C1
d
1 t 1 t0 uC t 0 iC d 其中： uC1 t0 iC1 d C1 t C1 1 t 1 t 1 t uC t iC d iC d iC d C2 C2 C2 t
上一页
2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
4
本章讨论一种系统的近代分析法：状态变量分
析法或状态空间分析法。这种分析方法的特点是：
①在多输入、多输出系统分析中显示出其优越性；
②它既可以描述系统的外部特性，也可以描述系统
的内部特性；③而且还可以推广到时变系统和非线 性系统中；④它与数字计算机的应用紧密地结合起 来——数值计算。由此可知状态变量分析法已为系 统理论开拓出新的研究领域。
dt
dt

i2
u1

u1

1H


iL
u2
3
uL

f1 t

1
1F 2
iC



uC
u2 i2

uC

f 2 t
iL
iC
f1 t

f 2 t
上一页
2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
19
u L t 1 iL t uC t f1 t 1 uC t f 2 t i t i t C L 3

信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析

信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析

设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方 法时取全部独立的电感电流和独立的电 容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1

第8章 系统的状态变量分析

第8章 系统的状态变量分析
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程

系统的状态变量分析

系统的状态变量分析

形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）

第7章系统的状态变量分析ppt课件

第7章系统的状态变量分析ppt课件
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是： （1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量； （2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程， 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程；
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量，则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程，将非状态变量消去；
（4）将列出的状态方程整理成式（7―3）的矩阵 标准形式。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程，若以电流 iC和电压u为输出，列出输出方程。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
1 a111 a122 a1nn b11 f1 b12 f2 b1m fm 2 a211 a222 a2nn b21 f1 b22 f2 b2m fm n an11 an22 annn bn1 f1 bn2 f2 bnm fm
a2
－ － － a1
a0
图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
解 选择各积分器的输出为状态变量，从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)，如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系，可写出状态方程 为
1(t) 2 (t) 2 (t) 3(t) 3(t) a01(t) a12 (t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12 (t) b23(t)

信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析

信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析

其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得

C1 C2 1 2C1 3C2
0


C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0

第8章 系统状态变量分析

第8章 系统状态变量分析
第8-6页
■
© 通信与电子工程学院
信号与系统 电子教案 写成矩阵形式： 状态方程
8.1
状态变量与状态方程
2018/10/10
(t ) Ax(t ) Bf (t ) x 输出方程 y(t ) Cx(t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似
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信号与系统 电子教案
8.2
连续系统状态方程的建立
2018/10/10
二、由输入-输出方程建立状态方程
这里需要解决的问题是：
已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输 出方程。
具体方法：
（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(积分器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程。
R1 1 (t ) L x 1 x 2 (t ) C
■
1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C
0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 u (t ) R2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程
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则状态方程和输出方程分别为：
12((tt))
a111(t) a211(t)
a1nn (t) b11x1(t) b1m xm (t) a2nn (t) b21x1(t) b2m xm (t)
n (t) an11(t) annn (t) bn1x1(t) bnm xm (t)
X (s)
Y (s)
H(s)
X (s) H(s) Y (s)
Y(s) H(s)X (s)
例：将下图所示系统的方框图转化成信号流图。
X (s)
解：
s1 • s1 • s1
b1
b2
•
Y (s)
a1 a2 a3
由两个及两个以上的 箭头指向的节点可兼 做加法器。
b1
X (s)
1
s 1
a1
s 1
2 1 La 1 G2H 2
a
1 (G1H1 G2H 2G3H3 G1G2G3H4 ) G1G3H1H3
G1 H1H2H3H5, 1 1
G2 H4H5, 2 1 La 1 G2 H 2
a
H
1
K
GK K
1
(G11
G22 )
H1H2 H3H5 H4 H5 (1 G2 H2 )
上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式：
状态方程： 输出方程：
[n
1] k 1
[ A]kk
[n]k1
[B]km
x[n] m1
y[n] r1 [C]rk
[n] k1 [D]rm
x[n] m1
其中：
1[n 1]
[n
1]
2 [n
L
1]
k
[n
1]
1[n]
[n]
2 [n]
L
c11 c12 L c1k
[C] c21
c22 L
c2k
L
cr1 cr 2 L crk
d11 d12 d1m
[D] d21
d22
d
2
m
dr1 dr 2 drm
12.2 连续系统状态方程的建立
一、 由电路图直接建立状态方程
对于给定电路，通常选电容两端电压和流经电感的电流作 为状态变量。
s 1
输入节点（源点）： a2 a3
只有输出支路的节点。
b2
1
Y (s)
输出节点（阱点）： 只有输入支路的节点。
（2） 信号流图的性质
1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与 支路增益的乘积。
X (s)
如：
H(s)
Y (s)
Y(s) H(s)X (s)
2.当节点有几个输入时，节点将所有输入支路的信号相加，并 将其和传送给与该节点相连的输出节点。
列写回路方程和节点方程
回路1： 回路2：
21(t)
d dt
1(t)
3
(t)
x1(t)
2
(t
)
1 3
d dt
2
(t
)
3
(t
)
x2
(t
)
节点1：
1 2
d dt
3
(t)
1(t)
2
(t)
整理得：
12((tt))
21(t) 3(t) 32 (t) 33(t)
x1(t) 3x2
(t
)
3(t) 21(t) 22 (t)
这是以iL(t)、vC(t) 作为变量的一阶联立微分方程
组，这种描述系统的方法称为系统的状态变量或状态空
间分析法。其中iL(t)、vC(t) 称为状态变量。
n 阶系统有n个状态变量，状态方程是n 个一阶微分方程组。
用状态变量法分析系统的优点：
1）便于研究系统内部物理量的变化
2）适合于多输入多输出系统
GK -------- 由源点到阱点之间的第K条前向通路的增益；
K -------- 第K条前向通路特征行列式的余因子，表示除去与第
K条前向通路接触的环路外余下的特征行列式。
例：求下图所示流图的系统函数。
H4
X
x1
H1 x2 H2 x3 H3
x4 H5
Y
G1 G2 G3
解： 求 La
a
x1 x2 x1 环路：L1 G1H1
1[n 1] a111[n] L a1k k [n] b11x1[n] L b1m xm[n]
2 [n
1] L
a211[n]
L
a2k k [n] b21x1[n] L
b2m xm[n]
k [n 1] ak11[n] L akk k [n] bk1x1[n] L bkm xm[n]
x3''
4.给定系统，信号流图并不惟一。
dy(t) dt
a0
y(t)
b1
dx(t) dt
b0
x(t)
b1
b1
x(t) 1
s 1
b0
1 y(t) x(t) 1
b0
s 1
a0
a0
5.流图转置以后，其转移函数保持不变。
1 y(t)
（3） 信号流图的梅森公式
梅森公式：
H 1
K
GK K
1 La LbLc Ld LeLf
独立的
例12-1：给定下图所示电路，列写状态方程。
1H
1/3H
2
+ x1(t)
-
1(t)
1/2F
i1(t)
iC 2 (t) +- 3(t)
i2(t)
1
+ x2(t) -
2
+ x1(t)
-
1H 1 1/3H
1(t)
1/2F
i1(t)
iC 2 (t) +- 3(t)
i2(t)
1
+ x2(t) -
解：选电感中电流和电容两端电压作为状态变量
求 LbLc
b,c
只有一对两两互不接触的环路：x1 x2 x1 与 x3 x4 x3
L1L3 G1G3H1H3, 即
LbLc G1G3H1H3
b,c
没有三个及三个以上都不接触的 环路，所以，
1 La LbLc
a
b,c
1 (G1H1 G2H 2G3H3 G1G2G3H4 ) G1G3H1H3
r 个输出信号： y1[n], y2[n], L , yr[n]
则状态方程和输出方程分别为：
1[n 1] a111[n] L a1k k [n] b11x1[n] L b1m xm[n]
2 [n
1] L
a211[n]
L
a2k k [n] b21x1[n] L
b2m xm[n]
k [n 1] ak11[n] L akk k [n] bk1x1[n] L bkm xm[n]
表示成矩阵形式为：
k
[n]
x1[n]
x[n]
x2
[n]
L
xm[n]
y1[n]
y[n]
y2
[
n]
L
yr [n]
a11 [ A] a21
L ak1
a12 L a1k
a22 L
a2k
ak 2 L akk
b11 b12 L b1m
[B] b21
b22 L
b2m
L
bk1 bk 2 L bkm
不关心系统内部变量的变化情况，只对输出变量y(t)感 兴趣，这种方法称为端口方法或输入输出分析法。
x(t)
RiL
(t)
L
d dt
iL
(t)
vC
(t)
C
d dt
vC
(t)
iL
(t)
x(t )
d dt
iL (t)
R L
iL (t)
1 L
vC
(t )
1 L
x(t )
d
dt
vC
(t )
1 C
iL (t)
n (t)
x1(t)
[ x(t )]
x2
(t )
xm (t)
y1(t)
[
y (t ) ]
y2
(t )
yr
(t
)
a11 a12 a1n
[ A] a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
c11 c12 c1n
[C] c21
c22
c2n
cr1 cr 2 crn
12.1 引言
系统函数
1、经典的线性系统理论 系统外部特性
单输入单输出系统
状态变量 2、状态变量分析 系统内部特性
多输入多输出系统
x(t)
d2 dt 2
vC
(t)
2
d dt
vC
(t)
2 0
vC
(t)
2 0
x(t
)
R 2L
,0
1 LC
x(t) (x[n])
微分方程 （或差分方程）
y(t) (y[n] )
系统的状态变量分析
补充：11.6 信号流图
• 系统的框图
三种基本单元的方框图及运算功能
x1 (t )
X1(s)
y(t) x1(t) x2 (t) Y(s) X1(s) X2(s)
x2 (t) X 2 (s)
x(t) X (s)
x(t)
a
y(t) ax(t)
Y (s) aX (s)
或
a
y(t) ax(t)