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姓名：__________ 班级：__________第20课 图形的相似一、中考要求：1．了解比例的基本性质，了解比、成比例线段、图形的位似；2．理解相似图形的概念和性质，知道相似多边形的对应角相等，多应边成比例。
3．理解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的判定。
能够利用相似解决实际问题。
4．掌握相似三角形的性质(特征)，并灵活应用相似的性质进行计算 5. 掌握射影定理、平行线分线段成比例定理。
二、知识要点：1．我们把具有 的图形称为相似图形。
2．在4条线段中，如果其中2条线段的长度的比与另2条段的长度的比相等，那么称3．若4条线段a.b.c.d 有d cb a =，则线段d 是 。
4．若三条线段a.b.c 有cbb a =(或c b b a ::=)。
则称线段b 是线段a .c 的 。
5．相似多边形的特征：对应边 对应角6．如果两个多边形的对应边 且对应角 ，那么这两个多边形相似。
7．一条线段上有一点将这条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原线段的比例中项，那么这一点将这条线段 ，这一点叫做这条线段的 ，一条线段有 个黄金分割点。
8．位似形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，象这样的两个图形叫做位似形9． 的三角形叫做相似三角形。
10．三角形相似的识别方法(1)定义法 。
(2)两角 。
(3)两边 且 。
(4)三边 。
11．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形的对应线段(对应边上的高，中线，对应角的角平分线)的比都等于 。
(3)相似三角形的周长的比等于 。
(4)相似三角形的面积的比等于 三、典型例题：例1．① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。
② 若b a =32 则 b b a +=________③ 若 b a b a -+22=59 则 a ：b=______ ④ 已知: 2a =3b =5c且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____例2．要做甲.乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm.60cm.80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种例3．在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在何处？ 。
“相似形”和“位似形”几何学是研究几何图形性质的一门科学．初等几何所研究的几何性质，则是以图形的形状、位置和大小为对象的．在工农业生产和日常生活中，经常遇到许多形状相同而大小不等的图形．例如，同一张底片用不同尺寸洗出来的两张照片，用不同的比例尺绘制的同一地图，同一机械零件的图样等等．像这样形状相同的图形叫做相似形．相似形的形状相同，大小并不一定相等． 如果两个图形不仅形状相同，而且大小又相等，这两个图形就是全等形． 所以，全等形一定是相似形，它是相似形的特例；相似形就不一定是全等形．两个边数相同的多边形，要是对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如图1，多边形ABCDE 和多边形A′B′C′D′E′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，且AE EA E D DE D C CD C B BC B A AB ''=''=''=''=''， 则多边形ABCDE ∽多边形A′B′C′D′E′．上面讲到了，两图形相似，只要形状相同就可以了，至于它们的大小和位置怎样，则是无关紧要的．但是，两个相似形有时具有某种特殊的位置关系．例如，电影胶片的图形与放到银幕上的形象，不仅是相似形，而且对应点的连线交于一点(光源)．其他如用放缩尺绘制图形以及用平板仪测量，也常见到类似的情况．像这样对应顶点的连线交于一点的相似形叫位似形．所以，成位似形的图形必定相似，但相似的图形则不一定位似．相似形对位似形而言，是较一般的概念；位似形对相似形而言，则是较特殊的概念．两个图形相似，不论它们的位置如何，都不失其相似性．两个图形位似，则其位置受“对应顶点的连线交于一点”条件的限制，这一点就叫做相似中心．相似中心的位置有多种情况，它可以在两图形对应顶点的连线上(图2)；也可以在对应顶点连线的延长线上(图3)；特别地，还可在某一图形的一边之上(图4)，或者有一个公共的顶点．。
位似和相似的关系知识要点两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部、内部、多边形的边或顶点上．考题赏析如图8，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O ；（2）求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；（3）以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1∶1.5． 分析：（1）要画出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似中心O ，只要连接其对应点找到其交点即为所求；（2）由13AB =，52A B ''=得，AB ∶A ′B ′＝1∶2；（3）要以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1∶1.5，就是说OA 1∶OA ＝OB 1∶OB ＝OC 1∶OC ＝1∶1.5，从而分别确定了A 1、B 1、C 1，顺次连接A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1即得．解：（1）分别连接A ′A 、B ′B 、C ′C ，并分别延长交于点O ，点O 即为所求，如图8；（2）因为小方格都是边长为1的正方形，所以由勾股定理，得13AB =，52A B ''=，所以AB ∶A ′B ′＝1∶2，即位似比为1∶2；（3）分别在OA 、OB 、OC 上取A 1、B 1、C 1，使OA 1∶OA ＝OB 1∶OB ＝OC 1∶OC ＝1∶1.5，再顺次连接A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1，则△A 1B 1C 1即为所求的三角形，如图8．说明：位似图形也是图形之间的一种变换，它的性质在我们的日常生活中有着广泛的应用．专题训练（三）1．如图9，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O 为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）．2．如图10，用画位似图形的方法，画已知三角形的相似三角形，使相似比为2∶3，并且（1）以点O1为位似中心；（2）以点O2为位似中心；（3）以点O3为位似中心；（4）以点B为位似中心．。
相似多边形及位似知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=∵ ∴ ∴∴(舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形ABAP AP PB =x -1ABAP AP PB =11x x x =-x x -=12618.0215≈-=x1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.，而，∴∴矩形ABCD与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2：1B. ：1C. 3：D. 3：2542016221616EFAB==++=652420222020EHAD==++=6554≠EHADEFAB≠AB CDEF GH【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF ，∴AF=AB=a ，∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B ．2.如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x ，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm 2）故答案为：8．故选C ．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似22223. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′. 这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 A B C DE4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=OA ，OB ″=OB ，O C ″=OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.41212121【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE，GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形．证明：在正方形ABCD 中，取，∵ N 为BC 的中点，∴ ． 在中，． 又∵ ，∴ ．122AB a =12NC BC a ==Rt DNC△ND ===NE ND=1)CE NE NC a =-=B C A BC D EFM N∴ ． 故矩形DCEF 为黄金矩形． 【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，∴此女士下半身长是165×0.60=99cm ，设需要穿的高跟鞋是xcm ，根据黄金分割的定义得：0.618， 解得：x ≈8．故选D ．CE CD ==99+=165+x x。
