图形的相似和位似练习题

图形的位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（ ）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（ ） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015•营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C （2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，OA′10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.（2015•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？　(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】设点B 的坐标为（x ，y ），∵△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，∴=，=，解得x=5，y=2，所以，点B 的坐标为（5，2）．故选C ．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC ，∴AC 是较长的线段，AB AC AC≈0.618AB．故选D ．7.【答案】B.二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个； 全等.10.【答案】1：2． 【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm ，OA′=20cm， ∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA ：OA′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2． 故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC∥DE 可得△ADE∽△ABC，所以，故.13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D 点是AC 的黄金分割点，三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是： DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以. 又因为 点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形. (2)DE∥BC.理由是： 因为△ADE 和△ABC 是位似图形， 所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．。

专题27.3 位似（5个考点）【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是（）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中与△AOB位似的三角形是（）．A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．【详解】解：∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC，∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE，∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（）A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；∵M是边AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥BC，同理可得MN∥BD，ON∥AB，∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．故选B．5．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．6．如图是与△ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可．【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．7．下列语句中，不正确的是（）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．8．下列每组的两个图形，是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA:OD =1:2，∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2．∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4，故选：B ．10．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE EA =32，则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于（ ）A ．94B ．925C ．32D ．3511．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4:9，则OA:OD 为（）A．4:9B．2:3C．2:1D．3:112．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（）．A．2:3B．4:9C．9:4D．3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若O B′:B′B=3:2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（ ）A．3:5B．4:9C．4:25D．9:2514．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是A．1:1B．1:2C．1:4D．1:915．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:A A′=1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：9D．4：9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键．根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA:A A′=1:2，∴OA:O A′=1:3，∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9，故选：C．16．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14，则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:1617．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA:OD=1:2，S△ABC =3，那么S△DEF=（）A．6B．9C．12D．18【答案】C18．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，AC:DF=2:3，若OC=8，则CF的长为（）A．12B．8C．6D．419．如图，点O是两个位似图形的位似中心，若O A′=A′A，则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=3:2，则△ABC与△DEF的面积比为．【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵OA:AD=3:2，∴OA:OD=3:5，∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的位似比为3:5，∴△ABC与△DEF的相似比为3:5，∴△ABC与△DEF的面积比为9:25，故答案为：9:25．【考点3 位似图形的点坐标】21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,3)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．(2,4)B．(6,8)C．(4,2)D．(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′，且C(3,3)，∴C′(2×3,2×3)，即C′(6,6)，故选：D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A′上，A A′=2OA．若点B的坐标为(2,1)，则点B′的坐标为（）A．(4,2)B．(6,3)C．(8,4)D．(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形，A A′=2OA，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，∵点B的坐标为(2,1)，∴点B′的横坐标为2×3=6，点B′的纵坐标为1×3=3，∴点B′的坐标为(6,3)，故选：B．23．如图，△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，若点B的坐标为(−1，3)，则点B1的坐标为（ ）A．(2，−6)B．(1，−6)C．(−1，6)D．(−6，2)24．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是（）A．(3,3)B．(4,4)C．(5,5)D．(6,6)25．如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1，再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°，得到的△A2B2C2，若点C、C1、C2是对应点，则C2的坐标是（）1A ．(−5,2)B ．(−6,3)C ．(6,−4)D ．(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A 2B 2C 2即为所求．观察图象可知：C 2(−6,4)故选D ．26．已知关于原点位似的两个图形中，一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x )，则x 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．12D ．−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．27．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1:3，则点D的坐标为（）A．(−1,−2)B．−2,−2C．(−2,−1)D．−2,−328．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(−3,−1)，(−1,−2)．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是(6,2)，则点B′的坐标是．【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为−2，根据位似图形的性质即29．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为．【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：由题意得：A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2))，∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2)，故答案为：(−2,2)或(2,−2)．30．如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(5,−2)，则点A的坐标为．【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．【详解】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′(5,−2)，且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2))，即点A的坐标是(−10,4)．故答案为：(−10,4)．31．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【答案】(2，1)【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．故答案为：(2，1)．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【考点4 判定位似中心】32．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是（）A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0,3)D．(0,4)∵∴GF//CD，CD=4，GF=∴∠PCD=∠PFG，∠DPC=∴△PFG∽△PCD，∴CD=PD，33．把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（）A．D点B．E点C．F点D．G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，故选：C34．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O，即可．【详解】解：如图，连接A A′,C C′交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．35．已知△ABC与△DEF是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形，∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是O1．故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．36．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．37．如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．(1)请在方格图中画出位似中心O；(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；（2）由（1）可知，OC:O C′=1:2，则连接OB并延长，使O B′=2OB，再连接A B′、B′C即可．【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；（2）解：补全△A′B′C′如图所示：38．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．(1)请在图中画出点O的位置；(2)若AB=2DE=36，BC=20，求EF的长．【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；（2）根据位似性质即可求得答案．【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．经过位似变换得到的，【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39．如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以A 为位似中心，在网格中画出△ADE ，使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；（2）以A 为位似中心，作出点A 、B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形．；（2）解：如图，△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形．140．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，；41．如图，△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1；(2)点A 1的坐标为______，点C 1的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)(3,0)，(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．（1）在网格中作出A 1、C 1，连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1；（2）根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可．【详解】（1）△A 1B 1C 1即为所作；（2）点A 1的坐标为(3,0)，点C 1的坐标为(−3,−3)，故答案为：(3,0)，(−3,−3)．42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求．B2C2即为所求．2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．。

中考数学专题复习：相似多边形与图形位似一、相似多边形1.两个多边形相似的条件是 ( )A.对应角相等B.对应边成比例C.对应角相等或对应边成比例D.对应角相等且对应边成比例 2.下面图形是相似图形的为 ( )A.所有矩形B.所有正方形C.所有菱形D.所有平行四边形 3.只增加一个条件，使矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'相似，这个条件可以是________. 4.若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且AB=25cm ，A'B'=20cm ，则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为________. 5.如图1，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.(1)α=________；(2)边x ，y 的长度分别为________，________.图16.如图2，取一张长为a ，宽为b 的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a ，b 应满足的条件是( )图2A.a=√2bB.a=2bC.a=2√2bD.a=4b 7.如图3，四边形ABCD∽四边形EFGH ，连接对角线AC ，EG 。

求证：AC EG=AD EH.图38.在AB=20m，AD=30m的矩形花坛四周修筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等，都是xm，如图4∽，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由；(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为xm，ym，如图∽，那么小路的宽x与y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD?图4二、位似图形1.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是( )图52.如图6，以点O为位似中心，把∽ABC放大为原图形的2倍得到∽A'B'C'，以下说法中错误的是( )图6A.∽ABC∽∽A'B'C'B.点C，O，C'在同一直线上C.AO∽AA'=1∽2D.AB∽A'B'3.如图7，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，位似中心为点O，OC=6，CC'=4，AB=3，则A'B'=________.图74.如图8，∽ABC与∽DEF是位似图形，点B的坐标为(3，0)，则其位似中心的坐标为________.图85.如图9，∽ABC三个顶点的坐标分别为A(-1，3)，B(-1，1)，C(-3，2).(1)请画出∽ABC关于y轴对称的∽A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将∽A1B1C1放大为原来的2倍，得到∽A2B2C2，请在第三象限内画出∽A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值.图96.如图10，在5×6的方格中，每个小正方形的边长均为1，∽ABC的顶点均为格点，D为AB的中点，以点D为位似中心，位似比为2，将∽ABC放大，得到∽A'B'C'，则BB'等于( )图10A.√52B.√5 C.3√52D.√52或3√527.在平面直角坐标系中，∽ABC和∽A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是________.8.如图11，∽ABC与∽A'B'C'是位似图形，点A，B，A'，B'，O共线，点O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B'，OC'=5，求CC'的长.图119.如图12所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(-1，1)，点C的坐标为(-4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是________.图12参考答案一、相似多边形 1.D2.B [解析] ∽相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∽所有正方形都是相似多边形；∽菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∽所有菱形、所有矩形都不一定是相似图形；∽平行四边形的对应角不一定相等，边不一定对应成比例，∽所有平行四边形不一定是相似图形.3.答案不唯一，如ABA'B' = BCB'C' [解析] ∽矩形的四个角都是直角，∽只要矩形的对应边成比例，则两个矩形相似，∽这个条件可以是ABA'B' = BCB'C'(答案不唯一).4.45 [解析] ∽A'B'AB = 2025 = 45，五边形A'B'C'D'E'∽五边形ABCDE ，∽五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为45. 5.(1)83° (2)12332[解析] (1)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∽∽A'=∽A=62°，∽B'=∽B=75°，∽α=360°-62°-75°-140°=83°.故答案为83°.(2)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∽x 8 = y 11 = 96，解得x=12，y=332.6.B [解析] 对折两次后的小矩形的长为b ，宽为14a.∽小矩形与原矩形相似，∽a b = b14a，∽a=2b.7.证明：∽四边形ABCD∽四边形EFGH ，∽AD EH = CD GH ，∽D=∽H ，∽∽ADC∽∽EHG ，∽ACEG =AD EH.8.解：(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.理由：∽四周的小路的宽均为x m ，∽A'D'AD=30+2x 30=15+x 15，A'B'AB=20+2x 20=10+x 10.∽x>0，∽15+x 15≠10+x 10，即A'D'AD ≠ A'B'AB，∽小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.(2)A'D'AD =30+2y 30=15+y 15，A'B'AB =20+2x 20=10+x 10.当15+y 15=10+x 10时，小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD ，解得x y =23，∽小路的宽x 与y 的比值为23时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD. 二、位似图形 1.C2.C [解析] ∽以点O 为位似中心，把∽ABC 放大为原图形的2倍得到∽A'B'C'，∽∽ABC∽∽A'B'C'，点C ，O ，C'在同一直线上，AB∽A'B'，AO∽OA'=1∽2，故选项C 错误.故选C.3.5 [解析] ∽四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'位似，其位似中心为点O ，OC=6，CC'=4， ∽AB A'B'=OCOC'=610= 35.∽AB=3，∽A'B'=5.4.(1，0) [解析] 如图，连接各对应点A 与D ，C 与F ，直线AD ，CF 的交点Q 即为位似中心，∽位似中心的坐标为(1，0).5.解：(1)如图所示，∽A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示，∽A 2B 2C 2即为所求.∽将∽A 1B 1C 1放大为原来的2倍得到∽A 2B 2C 2，∽∽A 1B 1C 1∽∽A 2B 2C 2，且位似比为12，∽S △A 1B 1C 1∽S △A 2B 2C 2=14.6.D [解析] 如图.∽AC=1，BC=2，∽AB=√5.∽∽A'B'C'∽∽ABC ，位似比为2，∽ABA'B' = 12， ∽A'B'=2√5，∽BB' = 12(A'B'-AB) =√52.同理可得，BB″=A″B″-A″B=3√52.故选D.7.(4，8)或(-4，-8) [解析] ∽∽ABC 和∽A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为(2，4)，∽点A 的对应点A 1的坐标为(2×2，2×4)或(-2×2，-2×4)，即(4，8)或(-4，-8).8.解：(1)AC∽A'C'.理由如下：∽∽ABC 与∽A'B'C'是位似图形，∽∽ABC∽∽A'B'C'，∽∽A=∽C'A'B'，∽AC∽A'C'.(2)∽∽ABC∽∽A'B'C'，∽ABA'B' = ACA'C'.∽AB=2A'B'，∽ACA'C' =2.∽AC∽A'C'，∽OCOC' = ACA'C' = 2. ∽OC'=5，∽OC=10，∽CC'=OC -OC'=10-5=5. 9.(2，0)或-43，23[解析] 本题分两种情况讨论：∽当两个位似图形在位似中心O'同旁时，位似中心就是直线CF 与x 轴的交点.设直线CF 的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C(-4，2)，F(-1，1)的坐标代入，得，解得，∽y=-，，+23.令y=0，得x=2，∽点O'的坐标是(2，0).∽当位似中心O'在两个正方形之间时，可求直线OC 的函数表达式为y=-12x ，直线DE 的函数表达式为y=14x+1，由， 解得，即O'-，，23.故答案为(2，0)或-43，23.。

B．位似图形都是相似图形，且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
4．【2020·重庆B卷】如图，△ABC与△DEF位似，点O 为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与 △DEF的面积比为( C ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
11．用位似作图的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅 读后解答相应问题． 画法：如图①，①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C 在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′， 过点E′作E′C′∥EC交OA于点C′，E′D′∥ED交OB于点D′； ③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
1．如图所示的图形中是位似图形的有( C ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
2．如图，已知BC∥DE，下列说法不正确的是( C ) A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．AE∶AD是位似比 D．点B与点E，点C与点D是对应点
3.
下列语句正确的是( B )
A．相似图形都是位似图形，位似图形都是相似图形
第3章 图形的相似
3.6 位 似 第1课时 位似图形的概念与位似作图
提示：点击 进入习题
新知笔记 1 >；<；常数k 2 相交于一点；平行 3 放大；缩小
1C 2C 3B 4C
5C
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6
2 5
7D
8 见习题
9 见习题
10 见习题
11 见习题
答案显示
1．一般地，取定一个点 O，如果一个图形 G 上每一个点 P 对应 于另一个图形 G′上的点 P′，且满足： ①直线 PP′经过点 O； ②OOPP′＝|k|，其中 k 为非零常数，当 k____>____0 时，点 P′在 射线 OP 上；当 k___<_____0 时，点 P′在射线 OP 的反向延长 线上．

第3节 图形的相似及位似基础过关一、精心选一选 1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D ) A ．1∶25 B ．1∶5 C ．1∶2.5 D ．1∶ 5 2．(2014·玉林)△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )A ．3B ．6C ．9D ．12 3．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对4．(2014·武汉)如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( A )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D .2∶ 36．(2013·上海)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶57．(2014·南通)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( D )A ．1B ．2C ．122－6D ．62－68．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB ＝90°，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∠ABC 的平分线分别交AD ，AC 于点E ，F ，则BFEF的值是( C )A .2－1B ．2＋ 2C .2＋1D . 2 二、细心填一填 9．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP ∽△AED__．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为__9__m .11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__65__．,第11题图) ,第12题图)12．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是3．13．如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽为PB 的矩形的面积，则S 1__＝__S 2.(填“＞”“＜”或“＝”),第13题图) ,第14题图)14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△A B′O′是△ABO 关于A 的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__(53，－4)__．15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝__1.05__里．三、用心做一做 16．(2013·南宁)如图，△ABC 三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)． (1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2的值．解：(1)图略 (2)图略，S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1417．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与其影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ．已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高度CD 的长．(精确到0.1 m )解：设CD 长为x m ，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ，BN ∥CD ，∴EC ＝CD ＝x ，∴△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，∴路灯高CD 约为6.1 m18．(2013·广东)如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C. (1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3, 则S 1__＝__S 2＋ S 3；(用“>”“<”或“＝”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：(2)△BCF ∽△DBC ∽△CDE ；选△BCF ∽△CDE ，证明：在矩形ABCD 中，∠BCD＝90°且点C 在边EF 上，∴∠BCF ＋∠DCE ＝90°，在矩形BDEF 中，∠F ＝∠E ＝90°，∴在Rt △BCF 中，∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠CBF ＝∠DCE ，∴△BCF ∽△CDE19．(2013·莆田)定义：如图①，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝BC·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图②，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点； (2)求出线段AD 的长．解：(1)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝36°，∠BDC ＝72°，∴AD ＝BD ，BC ＝BD ，∴△ABC ∽△BDC ，∴BDAB ＝CD BC ，即AD AC ＝CDAD，∴AD 2＝AC·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点 (2)∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD ＝5－12AC ＝5－1220．(2013·泰安)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．解：(1)由△ABC ∽△ACD 得AC 2＝AB·AD (2)∵E 点为Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴EC ＝12AB ＝AE ，∴∠ECA ＝∠EAC ，可得∠DAC ＝∠ECA ，∴CE ∥AD (3)由CE ∥AD 得△ECF ∽△DAF ，∴EC AD ＝CF AF ，EC ＝12AB ＝3，∴CF AF ＝34，即AC －AF AF ＝34，∴AC AF ＝7421．(2014·自贡)阅读理解：如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E(点E 不与A ，B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 与BC 的数量关系．解：(1)∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，∴∠AED ＋∠ADE ＝135°，∠AED ＋∠CEB ＝135°，∴∠ADE ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC ，∴点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点 (2)如图，点E 是四边形ABCD 的边AB 上的强相似点(3)∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，∴△AEM ∽△BCE ∽△ECM ，∴∠BCE ＝∠ECM ＝∠AEM.由折叠可知△ECM ≌△DCM ，∴∠ECM ＝∠DCM ，CE ＝CD ，∴∠BCE ＝13∠BCD ＝30°，BE ＝12CE ＝12AB.在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE BC ＝tan 30°＝33，∴AB BC ＝233挑战技能 22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x ，那么x 的值( B )A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个23．(2014·泰州)如图，A ，B ，C ，D 依次为一条直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A ，D ，E 三点，且∠AOD ＝120°.设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为__y ＝4x(x ＞0)__．24．(2014·咸宁)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252；④0＜CE ≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP ，BP.(1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，由SAS 可证△ABM ≌△BCP ，∴AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP ，∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠CBP ＋∠AMB ＝90°，∴AM ⊥BP ，∵将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴AM ⊥MN ，且AM ＝MN ，∴MN ∥BP ，∴BP ＝MN ，∴四边形BMNP 是平行四边形 (2)BM ＝MC.理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＋∠CMQ ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMQ ，又∵∠ABM ＝∠C ＝90°，∴△ABM ∽△MCQ ，∴AB MC ＝AM MQ ，∵△MCQ ∽△AMQ ，∴△AMQ ∽△ABM ，∴AB BM ＝AMMQ，∴AB MC ＝ABBM，∴BM ＝MC26．(2014·黄石)AD 是△ABC 的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM ＝xAB ，AN ＝yAC(x ，y ≠0)．(1)如图①，当△ABC 为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN ∽△DMA ；(2)如图②，证明：1x ＋1y＝2.解：(1)在△AMD 中，∠MAD ＝30°，∠ADM ＝60°，∴∠AMD ＝90°，在△AMN 中，∠AMN ＝90°，∠MAN ＝60°，∴△AMN ∽△DMA(2)作CF ∥AB 交MN 于点F ，则△CFN ∽△AMN ，∴NC NA ＝CFAM ，又可证△CFD ≌△BMD ，∴BM ＝CF ，∴AN －AC AN ＝BM AM ＝AB －AM AM ，∴yAC －AC yAC ＝AB －xAB xAB ，∴x ＋y ＝2xy ，∴1x ＋1y＝227．(2014·武汉)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； (2)连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值．解：(1)①当△BPQ ∽△BAC 时，∵BP BA ＝BQBC ，BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴5t 10＝8－4t 8，∴t ＝1；②当△BPQ ∽△BCA 时，∵BP BC ＝BQ BA ，∴5t 8＝8－4t 10，∴t ＝3241，∴t ＝1或3241时，△BPQ 与△ABC 相似 (2)过P 作PM ⊥BC 于点M ，设AQ ，CP 交于点N ，则有PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA ＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM 且∠ACQ ＝∠PMC ＝90°，∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP ，∴68－4t ＝4t 3t，解得t ＝78。

浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)一、选择题1．如图.在直角坐标系中.△ABC的三个顶点分别为A(1.2) B(2.1) C(3.2).现以原点O为位似中心.在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′.则顶点C′的坐标是（）A．(2，4)B．(4，2)C．(6，4)D．(5，4)2．如图.点P是△ABC的重心.点D是边AC的中点.PE∥AC交BC于点E.DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6.则△ABC的面积为（）A．12B．14C．18D．243．如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∥C=45°.以AB为腰作等腰直角三角形BAE.顶点E恰好落在CD边上.若AD=1．则CE的长是（）A．√2B．√2C．2D．124．如图.在△ABC中.D是边BC上的点（不与点B.C重合）.过点D作DE//AB交AC于点E；过点D作DF//AC交AB于点F.N是线段BF上的点.BN=2NF；M是线段DE上的点.DM=2ME.若已知△CMN的面积.则一定能求出（）A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽.图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF.使点D.E.F分别在边OC.OB.BC上.过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC= 30°，DE=2时.EH的长为（）A．√3B．32C．√2D．43二、填空题6．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后.发现学习内容是一个逐步特殊化的过程.请在横线上填写适当的数值+感受这种特殊化的学习过程．7．如图.在△ABC中.AB=AC ∠A<90°.点D.E.F分别在边AB.BC.CA上.连接DE.EF.FD.已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k .若AD=DF.则CFFA=（结果用含k的代数式表示）．8．如图.在Rt△ABC中.∠C=90°,E为AB边上一点.以AE为直径的半圆O与BC相切于点D.连接AD.BE=3 BD=3√5．P是AB边上的动点.当△ADP为等腰三角形时.AP的长为．三、解答题9．如图.在⊙O中.直径AB垂直弦CD于点E.连接AC AD BC作CF⊥AD于点F.交线段OB于点G（不与点O.B重合）.连接OF．（1）若BE=1.求GE的长．（2）求证：BC2=BG⋅BO（3）若FO=FG.猜想∠CAD的度数.并证明你的结论．10．在边长为1的正方形ABCD中.点E在边AD上（不与点A.D重合）.射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED=13.求DF的长．（2）求证：AE⋅CF=1．（3）以点B为圆心.BC长为半径画弧.交线段BE于点G．若EG=ED.求ED的长．11．如图.已知矩形ABCD.点E在CB延长线上.点F在BC延长线上.过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H.连结AF交EH于点G，GE=GH.（1）求证：BE=CF.（2）当ABFH=56，AD=4时.求EF的长.12．如图1.AB为半圆O的直径.C为BA延长线上一点.CD切半圆于点D，BE⊥CD.交CD延长线于点E.交半圆于点F.已知OA=32，AC=1.如图2.连结AF.P为线段AF上一点.过点P作BC的平行线分别交CE.BE于点M.N.过点P作PH⊥AB于点H.设PH=x，MN=y.（1）求CE的长和y关于x的函数表达式.（2）当PH<PN.且长度分别等于PH，PN.a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时.求a的值.（3）延长PN交半圆O于点Q.当NQ=154x−3时.求MN的长.13．在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列）AB=12，AD=10.∥B为锐角.且sinB=45.（1）如图1.求AB边上的高CH的长.（2）P是边AB上的一动点.点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′.①如图2.当点C′落在射线CA上时.求BP的长.②当ΔAC′D′当是直角三角形时.求BP的长.14．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系.用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图.AB是⊙O的直径.直线l是⊙O的切线.B为切点．P.Q是圆上两点（不与点A重合.且在直径AB的同侧）.分别作射线AP.AQ交直线l于点C.点D．（1）如图1.当AB =6.BP ⌢长为π时.求BC 的长．（2）如图2.当AQ AB =34.BP ⌢=PQ ⌢时.求BC CD的值． （3）如图3.当sin∠BAQ =√64.BC =CD 时.连接BP.PQ.直接写出PQ BP 的值． 15．如图1.锐角△ABC 内接于⊙O .D 为BC 的中点.连接AD 并延长交⊙O 于点E.连接BE ，CE .过C 作AC 的垂线交AE 于点F.点G 在AD 上.连接BG ，CG .若BC 平分∠EBG 且∠BCG =∠AFC ．（1）求∠BGC 的度数．（2）①求证：AF =BC ．②若AG =DF .求tan∠GBC 的值.（3）如图2.当点O 恰好在BG 上且OG =1时.求AC 的长．16．已知.AB 是半径为1的⊙O 的弦.⊙O 的另一条弦CD 满足CD =AB .且CD ⊥AB 于点H （其中点H 在圆内.且AH >BH ，CH >DH ）．（1）在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法.保留作图痕迹）．（2）连结AD.猜想.当弦AB 的长度发生变化时.线段AD 的长度是否变化？若发生变化.说明理由：若不变.求出AD 的长度.（3）如图2.延长AH 至点F.使得HF =AH .连结CF.∠HCF 的平分线CP 交AD 的延长线于点P.点M 为AP 的中点.连结HM.若PD =12AD ．求证：MH ⊥CP ． 17．如图.在∥O 中.AB 是一条不过圆心O 的弦.点C.D 是AB⌢的三等分点.直径CE 交AB 于点F.连结AD 交CF 于点G.连结AC.过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：AD∥HC ；（2）若OG GC=2.求tan∥FAG 的值； （3）连结BC 交AD 于点N ．若∥O 的半径为5．下面三个问题.依次按照易、中、难排列.对应的分值为2分、3分、4分.请根据自己的认知水平.选择其中一道问题进行解答。

第四章图形的相似8 图形的位似第1课时位似图形的概念及性质测试时间:25分钟一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等答案 D 位似是相似的特殊形式,位似图形的对应边平行(或在同一条直线上),但不一定相等,位似图形的位似中心只有一个.能通过平移而得到的图形是全等图形,且没有位似中心.位似中心到对应点的距离之比都相等,∴故选D.2.两个位似图形的位似中心是指( )A.对应边的延长线的交点B.两个图形顶点连线的交点C.对应角平分线的交点D.对应顶点连线的交点答案 D3.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确结论的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②③④答案 A 由位似图形的定义可知①④错误,②③正确,故选A.4.下列图形中,不是位似图形的是( )答案 B A、C、D符合位似图形的定义,B不符合位似图形的定义,故选B.5.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大后得到△DEF,已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9,则OC∶CF的值为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶8D.1∶9答案 A ∵△ABC与△DEF位似,∴△===,∴=,∴=,故选A.△6.如图,在平面直角坐标系中,与△ABC是位似图形的是( )A.①B.②C.③D.④答案 C 因为题图中③与△ABC不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,所以与△ABC是位似图形的是③.二、填空题7.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点A为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍后得△AB´C´,则∠B´等于.答案72°解析在△ABC中,因为∠A=36°,AB=AC,所以∠B=(180°-∠A)=72°.因为△ABC和△AB´C´是以点A为位似中心的位似图形,所以△ABC∽△AB´C´,所以∠B´=∠B=72°.三、解答题8.如图所示,在△ABC中,已知DE∥BC.(1)△ADE与△ABC相似吗?为什么?(2)它们是位似图形吗?如果是,请指出位似中心.解析(1)△ADE与△ABC相似.理由:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE.(2)是位似图形.由(1)知△ADE∽△ABC.∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD,CE相交于点A,∴△ADE和△ABC是位似图形,位似中心是点A.9.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O,请确定点O的位置,如果OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,求它们的相似比.解析连接AD,CF交于点O,则点O即为所求.∵OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,∴OC∶OF=3∶2,∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.10.如图,已知四边形ABCD,用尺规将它放大,使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.(画出一种即可)解析解法一:延长AD到点D1,使DD1=AD;连接AC并延长到点C1,使CC1=AC;延长AB到点B1,使BB1=AB.连接D1C1,C1B1,则四边形AB1C1D1即为所求(如图).解法二:延长DA到点D1,使AD1=2AD;连接CA并延长到点C1,使AC1=2AC;延长BA到点B1,使AB1=2AB.连接B1C1,C1D1,则四边形AB1C1D1即为所求(如图).解法三:任取一点O,连接OA并延长到点A1,使AA1=OA,连接OB并延长到点B1,使BB1=OB,连接OC并延长到点C1,使CC1=OC,连接OD并延长到点D1,使DD1=OD,顺次连接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,则四边形A1B1C1D1即为所求(如图).11.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的三倍,得到△A´B´C´,请画出△A´B´C´;(2)B´C´的长度为个单位长度,△A´B´C´的面积为个平方单位.解析(1)如图所示,△A´B´C´即为所求.(2)如图所示,B´C´的长度==3.∵A´C´=3,∴△A´B´C´的面积=×3×6=9,故答案为3;9.。

专题21 图形的相似与位似核心知识点精讲1．理解掌握比例线段的相关概念；2．理解掌握比例的性质、黄金分割点等定义； 3．理解掌握平行线分线段成比例定理； 4．理解掌握什么是相似多边形、位似图形。

考点1 比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2.比例的性质 （1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=d c b a acb d =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： 3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分nmb a =dc b a =割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点2 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
2
3
4
C.(5,6)
5
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8
9
D.(6,5)
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挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
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挑战高分
中考创新练

∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.




∴ = = .∴ = .∴ = ;



[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.

∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.

(2)求 的值.

1
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6
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(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,

中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1. 位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

2. 位似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 。

练习题1、（2022•百色）已知△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是（ ）A ．1：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【分析】利用为位似的性质得到△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是1：9．故选：C ．2、（2022•梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知 OA OA ＝31，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，＝，∴＝＝， 则四边形A ′B ′C ′D ′面积为：18．故选：D ．3、（2022•威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）A ．（34）3B ．（34）7C ．（34）6D ．（43）6 【分析】根据余弦的定义得到OB ＝OA ，进而得到OG ＝（）6OA ，根据位似图形的概念得到△GOH 与△AOB 位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos∠AOB＝，∴OB＝OA，同理，OC＝OB，∴OC＝（）2OA，……OG＝（）6OA，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，故选：C．4、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．5、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC 的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF 的周长．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．6、（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，而点A（4，0），点C（2，0），∴相似比为4：2＝2：1，∴△OAB与△OCD周长的比值为2．故答案为：2．7、（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．8、（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．。

6.6-6.7图形的位似与用相似三角形解决问题【推本溯源】1.如图，光源把一幅画投影到了墙面上，你发现了什么？2.如图，连接OA 、OB 、OC ，分别在线段OA 、OB 、OC的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′，使得，画出▲A ′B ′C ′。

3.结合生活与实践发现，两个多边形的顶点A 与A ′，B 与B ′，C 与C ′，所在的直线都经过同一点O ，并且OCOC OB OB OA OA '''===，像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 为位似中心。

小试牛刀：如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC （顶点均在正方形网格的格点上），已知点A 的坐标为（﹣4，3）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1．（2）以点O 为位似中心，在给定的网格中画△A 2B 2C 2，使△ABC 与△A 2B 2C 2位似，且点A 2的坐标为（8，﹣6）．（3）△ABC 与△A 2B 2C 2的位似比是1：2．解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求；（3）△ABC 与△A 2B 2C 2的位似比是：1：2．2'''===OC OC OB OB OA OA想一想：△ABC与△A2B2C2相似吗？用三边成比例可证。

因此，两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边互相平行（或者在同一条直线上）；利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小。

总结：位似多边形的性质：（1）位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；（2）位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上；（3）位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上；（4）位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。

4.认识投影①平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例②中心投影：若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例。

相似三角形的应用与位似综合练习一、选择题1．下列四图中的两个三角形是位似三角形的是（）图①图②图③图④A．图③、图④B．图②、图③、图④C．图②、图③D．图①、图②2、如图1中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是()A．点M B．点N C．点O D．点P3、（2017•成都）如图2，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2:34、（2017绥化）如图3，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：95、（2015·武汉市）如图4，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)6、（2016东营）如图5，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）7、（2018潍坊）在平面直角坐标系中,点(,)P m n是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB∆放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为( )A．(2,2)m n B．(2,2)m n或(2,2)m n--图1图3图2图4图5C．11 (,) 22m nD．11(,)22m n或11(,)22m n--8、（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图6所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m9、(2017绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距旗杆底部D的距离为4m，如7所示.已知小丽图象的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4cm，则旗杆的高度等于（）A．10m B．12m C. 12.4m D．12.32m10、如图8,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是( )A. 3.25mB. 4.25mC. 4.45mD. 4.75m11、（2018临沂）如图9．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m12、（2018长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺二、填空题13、（2013·济宁）如图11，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．14、(2014•牡丹江,)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如12所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为m．15、（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”图6图8图7 图9图11图10 图12用今天的话说，大意是：如图13，DEFG 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点D 在直线AC 上）？请你计算KC的长为 步．16、（2014遵义）今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图14，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E. 南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG=15里，HG 经过A 点，则FH= 里。

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

专题04 图形的位似（五大类型）【题型1位似图形性质】【题型2 位似图形的点坐标】【题型3 判定位似中心】【题型4 位似图形-作图】【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】【题型1位似图形性质】1．（2023春•乳山市期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，则＝（）A．B．C．D．2．（2023•开州区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，且OD＝2AD，则S△ABC ：S△DEF＝（）A．3：2B．9：4C．9：1D．4：1 3．（2023•衡南县三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（）A．B．C．D．4．（2023•宿豫区三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（）A．12B．16C．21D．49 5．（2023•大理州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（）A．6B．9C．12D．16 6．（2023春•石景山区期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的面积是100，则四边形EFGH 的面积是（）A．4B．16C．36D．7．（2023•汇川区模拟）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，且AC＝9，DF＝3，OA＝6，则OD＝（）A．2B．4C．6D．8 8．（2023春•太仓市期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD 的面积比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9 9．（2023•岳麓区校级模拟）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（）A．10B．15C．25D．125【题型2 位似图形的点坐标】9．（2022秋•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B'的坐标为（）A．（2，4）B．（4，2）C．（2，1）D．（1，2）10．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）11．（2023•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（2，0），已知△OA'B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（）A．B．或C．D．或12．（2023春•岱岳区期末）如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣4，2），△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）13．（2023春•肥城市期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P 是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．D．14．（2023春•长寿区校级期中）如图，线段AB两个端点坐标分别为A（6，9），B（9，3），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣1 ）D．（﹣2，﹣1）15．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC 位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（）A．（2，2）B．（4，2）C．（6，2）D．（8，2）【题型3 判定位似中心】16．（2022秋•泉州期末）如图，在8×8网格中，△ABC和△A'B'C'位似，则位似中心为（）A．点O B．点P C．点Q D．点R 17．（2023•长安区模拟）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 18．（2022秋•青县期末）如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为（3，2），则它们位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，﹣1）D．（2，3 ）19．（2023春•烟台期末）如图，点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求出△ABC的面积；（2）请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积为18．20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．【题型4 位似图形-作图】21．（2023春•福山区期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为．【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】22．（2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1（点A、B的对应点分别为A1，B1）使△OA1B1与△OAB的相似比为2：1；（2）在（1）的条件下，计算△OA1B1的面积为．23．（2023•南山区校级一模）在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．24．（2023春•荣成市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1，0）．（1）将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2；（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是．25．（2023•碑林区校级模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．（3）①点B1的坐标为；②求△A2B2C2的面积．26．（2022秋•青羊区期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；（3）求出△OA2B2的面积．。

初三数学图形的位似试题1.如图，点是四边形与的位似中心，则________＝________＝________；________， ________．【答案】，，；，【解析】位似图形的性质：位似图形的对应边成比例，对应角相等.∵点是四边形与的位似中心∴＝＝；，．【考点】位似图形的性质点评：本题是位似图形的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.2.如图，，则与的位似比是________．【答案】【解析】先根据可得∽，再根据位似图形的相似比也叫做位似比即可得到结果.∵∴∽∴与的位似比是．【考点】位似图形的判定和性质点评：相似三角形全等的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．【答案】【解析】相似图形的性质：相似图形的对应边的比等于相似比.由题意得原图与新图的相似比为．【考点】相似图形的性质点评：本题是相似图形的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.4.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．【答案】相交于一点【解析】直接根据位似图形的定义填空即可.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．【考点】位似图形的定义点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较单一，因而在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.位似图形的相似比也叫做________．【答案】位似比【解析】直接根据位似比的定义填空即可.位似图形的相似比也叫做位似比.【考点】位似比的定义点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较单一，因而在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.6.位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比．【答案】位似中心【解析】直接根据位似图形的性质填空即可.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．【考点】位似图形的性质点评：本题是位似图形的判定方法与性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度不大.7.画出下列图形的位似中心．【答案】如图所示：【解析】连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心．点O就是所求的位似中心．【考点】位似中心的画法点评：作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.8.将四边形放大2倍．要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部．（2）对称中心在两个图形的同侧．（3）对称中心在两个图形的内部．【答案】（1）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形；（2）四边形A′BC′D′就是所求的四边形；（3）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形．【解析】画任意一个四边形ABCD，设对称中心为O．（1）对称中心在四边形外，连接对称中心和顶点A，并延长到A′，使A′到对称中心的距离等于A到对称中心的距离，同法得到其余点的对应点，顺次连接各对应点即为所求的图形；（2）对称中心在四边形的顶点，依照（1）的方法做；（3）对称中心在四边形的内部，依照（1）的方法做．（1）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形；（2）四边形A′BC′D′就是所求的四边形；（3）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形．【考点】画位似图形点评：作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.9.如图，四边形和四边形′位似，位似比，四边形和四边形位似，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？位似比是多少？【答案】是位似图形，【解析】因为四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线已经相交于一点了，所以我们只要证明四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD即可；相似具有传递性，所以可证得四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD；又因为位似比等于相似比，所以可求得四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比．∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″．∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD．∵对应顶点的连线过同一点，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形．∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k=2，1=1，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为.【考点】位似图形的判定方法与性质点评：本题是位似图形的判定方法与性质的基础应用题，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大.10.请把如图所示的图形放大2倍．【答案】如图所示：【解析】可选择原图形的一个顶点作为位似中心，分别连接原图形中的关键点及位似中心并延长到放大后的新顶点，使新顶点到位似中心的距离等于2倍的原顶点到位似中心的距离，按原图形中的关键点的顺序连接新图形中的对应点即可．【考点】画位似图形点评：作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.。

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_图形的相似_位似变换-填空题专训及答案位似变换填空题专训1、(2018锦州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.已知△AOB与△A1OB1位似中心为原点O，且相似比为3:2，点A,B都在格点上，则点B1的坐标为________.2、(2015沈阳.中考真卷) 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC 的面积等于△DEF面积的，则AB：DE= ________．3、(2013泰州.中考真卷) 如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为________4、(2017西固.中考模拟) 如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是________．5、(2017大连.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为________．6、(2019二道.中考模拟) 如图，△ABC与△D EF位似，点O为位似中心，若AC＝3DF，则OE：EB＝________.7、(2016滨湖.中考模拟) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC 的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为________．(2018菏泽.中考真卷) 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C 的坐标是________．9、(2017滨州.中考真卷) 在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为________．10、(2017河南.中考模拟) △ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C （6，6），在此直角坐标系中作△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且以原点O为位似中心，位似比为1：2，则△DEF的面积为________．11、(2017长沙.中考真卷) 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是________．12、(2016深圳.中考模拟) 如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为________ ．(2017桂林.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA=1，OC= ，在第二象限内，以原点O 为位似中心将矩形AOCB 放大为原来的 倍，得到矩形A 1OC 1B 1 ， 再以原点O 为位似中心将矩形A 1OC 1B 1放大为原来的 倍，得到矩形A 2OC 2B 2…，以此类推，得到的矩形A 100OC 100B 100的对角线交点的纵坐标为________．14、(2011百色.中考真卷) 如图，以O 为位似中心，把五边形ABCDE 的面积扩大为原来的4倍，得五边形A 1B 1C 1D 1E 1 ， 则OD ：OD 1=________．15、(2020百色.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，＝，若AB ＝1.5，则DE ＝________.16、(2020莆田.中考模拟) (2019八下·长春期末) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，位似比 ，若AB ＝1.5，则DE ＝________．17、(2020桐乡.中考模拟) 如图，已知ABCD，以B为位似中心，作ABCD的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结AG，DG。

专题04 图形的位似（五大类型）【题型1位似图形性质】【题型2 位似图形的点坐标】【题型3 判定位似中心】【题型4 位似图形作图】【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】【题型1位似图形性质】1．（2023春•乳山市期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，则＝（）A．B．C．D．2．（2023•开州区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，且OD＝2AD，则S△ABC ：S△DEF＝（）A．3：2B．9：4C．9：1D．4：1 3．（2023•衡南县三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（）A．B．C．D．4．（2023•宿豫区三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（）A．12B．16C．21D．49 5．（2023•大理州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（）A．6B．9C．12D．16 6．（2023春•石景山区期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的面积是100，则四边形EFGH 的面积是（）A．4B．16C．36D．7．（2023•汇川区模拟）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，且AC＝9，DF＝3，OA＝6，则OD＝（）A．2B．4C．6D．8 8．（2023春•太仓市期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD 的面积比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9 9．（2023•岳麓区校级模拟）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（）A．10B．15C．25D．125【题型2 位似图形的点坐标】9．（2022秋•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B'的坐标为（）A．（2，4）B．（4，2）C．（2，1）D．（1，2）10．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）11．（2023•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（2，0），已知△OA'B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（）A．B．或C．D．或12．（2023春•岱岳区期末）如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣4，2），△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）13．（2023春•肥城市期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P 是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．D．14．（2023春•长寿区校级期中）如图，线段AB两个端点坐标分别为A（6，9），B（9，3），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣1 ）D．（﹣2，﹣1）15．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC 位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（）A．（2，2）B．（4，2）C．（6，2）D．（8，2）【题型3 判定位似中心】16．（2022秋•泉州期末）如图，在8×8网格中，△ABC和△A'B'C'位似，则位似中心为（）A．点O B．点P C．点Q D．点R 17．（2023•长安区模拟）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 18．（2022秋•青县期末）如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为（3，2），则它们位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，﹣1）D．（2，3 ）19．（2023春•烟台期末）如图，点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求出△ABC的面积；（2）请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积为18．20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．【题型4 位似图形作图】21．（2023春•福山区期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为．【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】22．（2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1（点A、B的对应点分别为A1，B1）使△OA1B1与△OAB的相似比为2：1；（2）在（1）的条件下，计算△OA1B1的面积为．23．（2023•南山区校级一模）在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．24．（2023春•荣成市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1，0）．（1）将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2；（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是．25．（2023•碑林区校级模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．（3）①点B1的坐标为；②求△A2B2C2的面积．26．（2022秋•青羊区期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；（3）求出△OA2B2的面积．。