图形的相似和位似练习题
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图形的位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题:(1)菱形都相似;(2)等腰直角三角形都相似;(3)正方形都相似;(4)矩形都相似;(5)正六边形都相似;其中正确的有( ).A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.下列说法错误的是( ).A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是( ) .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.(2015•营口)如图,△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形,已知点A(3,4),点C (2,2),点D(3,1),则点D的对应点B的坐标是( )A.(4,2)B.(4,1)C.(5,2)D.(5,1)5. 下列命题:①两个正方形是位似图形;②两个等边三角形是位似图形;③两个同心圆是位似图形;④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边,所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm,且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为__________.9.已知ABC,以点A为位似中心,作出ADE,使ADE是ABC放大2倍的图形,则这样的图形可以作出______个,它们之间的关系是__________.''''',已知OA=10cm,OA′10.如图,以点O为位似中心,将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________.=20cm,则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分,则AD:AB=________.12. 把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.(2015•钦州)如图,以O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变换,经第一次变化后得正方形OA1B1C1,其边长OA1缩小为OA的,经第二次变化后得正方形OA2B2C2,其边长OA2缩小为OA1的,经第,三次变化后得正方形OA3B3C3,其边长OA3缩小为OA2的,…,依次规律,经第n次变化后,所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数,则n= .14. 如图,△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=36°,∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点(AD>DC),则BC=______________.三.综合题15.如图,D、E分别AB、AC上的点. (1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC是位似图形吗?为什么? (2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?16.(2014秋•海陵区校级月考)如图,F在BD上,BC、AD相交于点E,且AB∥CD∥EF,(1)图中有哪几对位似三角形,选其中一对加以证明;(2)若AB=2,CD=3,求EF的长.17. 如图1,矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上,并且矩形ODEF∽矩形ABCO,其相似比为1:(1)求矩形ODEF的面积;(2)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周,连接EC、EA,△ACE的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】(1)菱形的角不一定对应相等,故错误;(2)(3)(5)符合相似的定义,故正确;(4)对应边的比不一定相等.故错误.故正确的是:(2)(3)(5).故选B.2.【答案】D.3.【答案】C.4.【答案】C.【解析】设点B 的坐标为(x ,y ),∵△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形,∴=,=,解得x=5,y=2,所以,点B 的坐标为(5,2).故选C .5.【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对,故选B.6.【答案】D.【解析】∵AC>BC ,∴AC 是较长的线段,AB AC AC≈0.618AB.故选D .7.【答案】B.二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个; 全等.10.【答案】1:2. 【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似,OA=10cm ,OA′=20cm, ∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,且相似比为:OA :OA′=10:20=1:2, ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为:OA :OA′=1:2. 故答案为:1:2.11.【答案】 .【解析】由BC∥DE 可得△ADE∽△ABC,所以,故.13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=,解得n=16.14. 【解析】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,又BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°,∴BC=BD=AD,∵D 点是AC 的黄金分割点,三.解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是: DE∥BC,所以∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC,所以. 又因为 点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点,点D 和点B 是对应点,点E 和点C是对应点,直线BD 与CE 交于点A ,所以△ADE 和 △ABC 是位似图形. (2)DE∥BC.理由是: 因为△ADE 和△ABC 是位似图形, 所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以DE∥BC.16.【答案与解析】解:(1)△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形,理由:∵AB∥CD∥EF,∴△DFE∽△DBA,△BFE∽△BDC,△AEB∽△DEC,且对应边都交于一点,∴△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形;(2)∵△BFE∽△BDC,△AEB∽△DEC,AB=2,CD=3,∴==,∴==,解得:EF=.。
专题27.3 位似(5个考点)【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1.已知:△ABC∽△A′B′C′,下列图形中,△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换,正确把握位似图形的定义是解题关键.根据位似图形的定义,如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,进而判断得出答案.【详解】解:A、△ABC与△A′B′C′是位似关系,故此选项不合题意;B、△ABC与△A′B′C′是位似关系,故此选项不合题意;C、△ABC与△A′B′C′是位似关系,故此选项不合题意;D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行,故不存在位似关系,故此选项符合题意;故选:D.2.如图,在正方形网格中,△ABC的位似图形可以是()A.△BDE B.△FDE C.△DGF D.△BGF3.如图,线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O,点E、F分别在线段OC、OD上,则图中与△AOB位似的三角形是().A.△AOB B.△COD C.△EOF D.△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,(对应边互相平行(或共线)),那么这样的两个图形叫做位似图形.根据位似图形的定义,判定即可.【详解】解:∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC,∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE,∵AD、BC相交于点O,点E、F分别在线段OC、OD上,∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE.故选:D.4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是边AB,AD的中点,连接OM,ON,MN,则下列叙述不正确的是()A.△AMO与△ABC位似B.△AMN与△BCO位似C.△ABO与△CDO位似D.△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形,菱形的性质,三角形中位线定理根据位似三角形的概念:如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点,那么这两个三角形叫做位似三角形,结合菱形的性质逐项判断即可.【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,∴点O是线段AC、BD的中点,AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴△ABO与△CDO位似,故C不符合题意;∵M是边AB的中点,∴OM是△ABC的中位线,∴OM∥BC,同理可得MN∥BD,ON∥AB,∴△AMO∽△ABC,△AMN∽△ABD,∴△AMO与△ABC位似,△AMN与△ABD位似,故A、D不符合题意;∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点,∴△AMN与△BCO不位似,故B符合题意.故选B.5.下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF,这两个三角形不是位似图形的是()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质,对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.性质:①两个图形必须是相似形;②对应点的连线都经过同一点;③对应边平行,对各选项逐一分析,即可得出答案.【详解】解:对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.根据位似图形的概念,A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形;B中的两个图形不符合位似图形的概念,对应边不平行,故不是位似图形.故选:B.【点睛】本题主要考查了位似变换,注意位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同;而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.6.如图是与△ABC位似的三角形的几种画法,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可.【详解】解:由位似图形的画法可得:4个图形都是△ABC的位似图形.故选:D.【点睛】本题主要考查了位似变换,正确把握位似图形的定义是解题关键.7.下列语句中,不正确的是()A.位似的图形都是相似的图形B.相似的图形都是位似的图形C.位似图形的位似比等于相似比D.位似中心可以在两个图形外部,也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可.【详解】A、位似的图形都是相似的图形,正确,不合题意;B、相似的图形不一定是位似的图形,错误,符合题意;C、位似图形的位似比等于相似比,正确,不合题意;D、位似中心可以在两个图形外部,也可以在两个图形内部,正确,不合题意.故选:B.【点睛】此题主要考查了位似图形的性质,正确掌握位似图形的相关性质是解题关键.8.下列每组的两个图形,是位似图形的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断,即可得出答案.【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形;而D.的对应顶点的连线能相交于一点,故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换,熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,若OA:OD=1:2,则△ABC与△DEF的面积比为()A.1:2B.1:4C.4:1D.2:1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比,根据相似三角形的性质计算即可.本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质,掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.【详解】解:∵△ABC 与△DEF 是位似图形,OA:OD =1:2,∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2,∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4,故选:B .10.如图,四边形ABCD 与四边形EFGH 位似,位似中心点是O ,OE EA =32,则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于( )A .94B .925C .32D .3511.如图,△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形,若△ABC与△DEF的面积比为4:9,则OA:OD 为()A.4:9B.2:3C.2:1D.3:112.如图,已知△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,若OD:OA=2:3,则△DEF与△ABC的周长之比为().A.2:3B.4:9C.9:4D.3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念,掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13.如图,△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若O B′:B′B=3:2,则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为( )A.3:5B.4:9C.4:25D.9:2514.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=AD,则△ABC与△DEF的面积比是A.1:1B.1:2C.1:4D.1:915.如图,△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:A A′=1:2,则△ABC与△A′B′C′的面积之比为()A.1:2B.1:4C.1:9D.4:9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质,得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键.根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′,相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方.【详解】解:∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形,OA:A A′=1:2,∴OA:O A′=1:3,∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9,故选:C.16.如图,点O为四边形ABCD内的一点,连结OA,OB,OC,OD,若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14,则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为()A.1:2B.1:4C.1:8D.1:1617.如图,△ABC和△DEF是位似图形,位似中心是O,若OA:OD=1:2,S△ABC =3,那么S△DEF=()A.6B.9C.12D.18【答案】C18.如图,△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形,AC:DF=2:3,若OC=8,则CF的长为()A.12B.8C.6D.419.如图,点O是两个位似图形的位似中心,若O A′=A′A,则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于.20.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,已知OA:AD=3:2,则△ABC与△DEF的面积比为.【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念,相似三角形的性质,难度较易,掌握相关知识是解题关键.先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比,再根据相似的性质,面积比等于相似比的平方解题即可.【详解】解:∵OA:AD=3:2,∴OA:OD=3:5,∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC与△DEF的位似比为3:5,∴△ABC与△DEF的相似比为3:5,∴△ABC与△DEF的面积比为9:25,故答案为:9:25.【考点3 位似图形的点坐标】21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,3),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′,则顶点C′的坐标是()A.(2,4)B.(6,8)C.(4,2)D.(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形,熟练掌握位似图形的性质是解题关键.直接根据位似图形的性质即可得.【详解】解:∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′,且C(3,3),∴C′(2×3,2×3),即C′(6,6),故选:D.22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形,点A在线段O A′上,A A′=2OA.若点B的坐标为(2,1),则点B′的坐标为()A.(4,2)B.(6,3)C.(8,4)D.(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换.根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′,且相似比为1:3,再根据位似变换的性质计算即可.【详解】解:∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形,A A′=2OA,∴△ABC∽△A′B′C′,且相似比为1:3,∵点B的坐标为(2,1),∴点B′的横坐标为2×3=6,点B′的纵坐标为1×3=3,∴点B′的坐标为(6,3),故选:B.23.如图,△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为12,若点B的坐标为(−1,3),则点B1的坐标为( )A.(2,−6)B.(1,−6)C.(−1,6)D.(−6,2)24.如图,△AOB与△CDB位似,点B为位似中心,△AOB与△CDB的周长之比为1:2,若点B坐标为(1,1),则点D的坐标是()A.(3,3)B.(4,4)C.(5,5)D.(6,6)25.如图,在直角坐标系中,先以原点为位似中心,将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1,再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°,得到的△A2B2C2,若点C、C1、C2是对应点,则C2的坐标是()1A .(−5,2)B .(−6,3)C .(6,−4)D .(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似,旋转变换等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,正确作出图形是解决问题的关键.根据位似,旋转变换的性质画出图象即可解决问题;【详解】解:如图,△A 2B 2C 2即为所求.观察图象可知:C 2(−6,4)故选D .26.已知关于原点位似的两个图形中,一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x ),则x 的值为( )A .-2B .2C .12D .−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k .27.如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点分别为O(0,0),A(3,0),B(6,2).以点O为位似中心,在第三象限内作位似图形△OCD,与△OAB的位似比为1:3,则点D的坐标为()A.(−1,−2)B.−2,−2C.(−2,−1)D.−2,−328.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为(−3,−1),(−1,−2).以原点O为位似中心,把线段AB放大,得到线段A′B′,点A的对应点A′的坐标是(6,2),则点B′的坐标是.【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质,由以原点O为位似中心,相似比为−2,根据位似图形的性质即29.如图,在平面直角坐标系内,某图象上的点A、B为整数点,以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍,则点A的坐标为.【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.根据位似变换的性质计算即可.【详解】解:由题意得:A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2)),∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2),故答案为:(−2,2)或(2,−2).30.如图,△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为2:1,点A′的坐标为(5,−2),则点A的坐标为.【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换:先确定点的坐标,及相似比,再分别把横纵坐标与相似比相乘即可.【详解】解:由题意得:△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为2:1,又∵A′(5,−2),且原图形与位似图形是异侧,∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2)),即点A的坐标是(−10,4).故答案为:(−10,4).31.如图,在平面直角坐标系中,阴影所示的两个正方形是位似图形,若位似中心在两个正方形之间,则位似中心的坐标为.【答案】(2,1)【分析】连接各组对应点,它们在两个正方形之间相交于点P,则P点为位似中心,然后写出P点坐标即可.【详解】解:如图,点P为位似中心,P(2,1).故答案为:(2,1).【点睛】本题考查位似变换:位似的两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行(或共线),掌握位似变换的性质是解题的关键.【考点4 判定位似中心】32.如图,在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形,对应点C和F的坐标分别为(−4,4),(2,1),则位似中心的坐标是()A.(0,2)B.(0,2.5)C.(0,3)D.(0,4)∵∴GF//CD,CD=4,GF=∴∠PCD=∠PFG,∠DPC=∴△PFG∽△PCD,∴CD=PD,33.把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′,则位似中心可以是()A.D点B.E点C.F点D.G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心,解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行,这个点叫做位似中心,据此解答即可.【详解】解:如图,连接A A′、BB′、CC′,交于点F,由位似中心的定义可知,此位似中心可以是点F,故选:C34.如图,正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图,则位似中心是()A.点O B.点P C.点Q D.点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O,即可.【详解】解:如图,连接A A′,C C′交于点O,∴位似中心是点O.故选:A.【点睛】本题主要考查了位似图形的性质,熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.35.已知△ABC与△DEF是一对位似三角形,则位似中心最有可能的是()A.O1B.O2C.O3D.O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可.【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形,∴对应顶点的连线相交于一点,如图,位似中心是O1.故选:A.【点睛】本题考查位似图形的概念,掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键.36.下列图形中位似中心在图形上的是( )A.B.C.D.【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可.【详解】A、,位似中点在图形内部,不合题意;B、,位似中点在图形上,符合题意;C、,位似中点在图形外部,不合题意;D、,位似中点在图形外部,不合题意;故选:B.【点睛】本题考查了位似变换,正确掌握位似图形的性质是解题关键.37.如图,在方格图中,△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上,且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形,点A,C的对应点分别为点A′,C′.按下列要求完成画图,并保留画图痕迹.(1)请在方格图中画出位似中心O;(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质,找位似中心.(1)连接对应点并延长,交点即为位似中心;(2)由(1)可知,OC:O C′=1:2,则连接OB并延长,使O B′=2OB,再连接A B′、B′C即可.【详解】(1)解:如图所示:点O即为位似中心;(2)解:补全△A′B′C′如图所示:38.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的(点A、B、C的对应点分别为点D、E、F),位似中心是点O.(1)请在图中画出点O的位置;(2)若AB=2DE=36,BC=20,求EF的长.【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换,熟知位似图形性质是解题的关键.(1)根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心,即可确定点O的位置;(2)根据位似性质即可求得答案.【详解】(1)解:根据点O的位置如图所示.经过位似变换得到的,【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39.如图,△ABC 在平面直角坐标系内,顶点坐标分别为A (−1,2),B (−3,3),C (−3,1).(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1;(2)以A 为位似中心,在网格中画出△ADE ,使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图,解题的关键是作出对应点.(1)根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1,然后顺次连接即可;(2)以A 为位似中心,作出点A 、B 、C 的位似点,然后顺次连接即可.【详解】(1)解:如图,△A 1B 1C 1即为所求作的三角形.;(2)解:如图,△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形.140.如图,在正方形网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为1:3.(2)证明△A′B′C′和△ABC相似.【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定,勾股定理等知识点,理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键.(1)根据△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为1:3作出图形即可;(2)利用相似三角形的判定定理证明即可.【详解】(1)解:如图所示:△A′B′C′即为所求,;41.如图,△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2),B (−3,3),C (−3,1).(1)以点B 为位似中心,在点B 的下方画出△A 1B 1C 1,使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1;(2)点A 1的坐标为______,点C 1的坐标为______.【答案】(1)见解析(2)(3,0),(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图,图形与坐标,掌握位似的性质是解题的关键.(1)在网格中作出A 1、C 1,连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1;(2)根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可.【详解】(1)△A 1B 1C 1即为所作;(2)点A 1的坐标为(3,0),点C 1的坐标为(−3,−3),故答案为:(3,0),(−3,−3).42.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,−4).(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1;(2)以点O 为位似中心,将△ABC 缩小为原来的12,得到△A 2B 2C 2,请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据平移的性质作图即可.(2)根据位似的性质作图即可.【详解】(1)解:如图,△A 1B 1C 1即为所求.B2C2即为所求.2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换,熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键.。
中考数学专题复习:相似多边形与图形位似一、相似多边形1.两个多边形相似的条件是 ( )A.对应角相等B.对应边成比例C.对应角相等或对应边成比例D.对应角相等且对应边成比例 2.下面图形是相似图形的为 ( )A.所有矩形B.所有正方形C.所有菱形D.所有平行四边形 3.只增加一个条件,使矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'相似,这个条件可以是________. 4.若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E',且AB=25cm ,A'B'=20cm ,则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为________. 5.如图1,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.(1)α=________;(2)边x ,y 的长度分别为________,________.图16.如图2,取一张长为a ,宽为b 的矩形纸片,将它对折两次后得到一张小矩形纸片,若要使小矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的边a ,b 应满足的条件是( )图2A.a=√2bB.a=2bC.a=2√2bD.a=4b 7.如图3,四边形ABCD∽四边形EFGH ,连接对角线AC ,EG 。
求证:AC EG=AD EH.图38.在AB=20m,AD=30m的矩形花坛四周修筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等,都是xm,如图4∽,那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由;(2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为xm,ym,如图∽,那么小路的宽x与y 的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD?图4二、位似图形1.下列各选项的两个图形中,不是位似图形的是( )图52.如图6,以点O为位似中心,把∽ABC放大为原图形的2倍得到∽A'B'C',以下说法中错误的是( )图6A.∽ABC∽∽A'B'C'B.点C,O,C'在同一直线上C.AO∽AA'=1∽2D.AB∽A'B'3.如图7,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,位似中心为点O,OC=6,CC'=4,AB=3,则A'B'=________.图74.如图8,∽ABC与∽DEF是位似图形,点B的坐标为(3,0),则其位似中心的坐标为________.图85.如图9,∽ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2).(1)请画出∽ABC关于y轴对称的∽A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,将∽A1B1C1放大为原来的2倍,得到∽A2B2C2,请在第三象限内画出∽A2B2C2,并求出S△A1B1C1:S△A2B2C2的值.图96.如图10,在5×6的方格中,每个小正方形的边长均为1,∽ABC的顶点均为格点,D为AB的中点,以点D为位似中心,位似比为2,将∽ABC放大,得到∽A'B'C',则BB'等于( )图10A.√52B.√5 C.3√52D.√52或3√527.在平面直角坐标系中,∽ABC和∽A1B1C1的相似比等于12,并且是关于原点O的位似图形,若点A的坐标为(2,4),则其对应点A1的坐标是________.8.如图11,∽ABC与∽A'B'C'是位似图形,点A,B,A',B',O共线,点O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的长.图119.如图12所示,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(-1,1),点C的坐标为(-4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是________.图12参考答案一、相似多边形 1.D2.B [解析] ∽相似多边形的对应边成比例,对应角相等,∽所有正方形都是相似多边形;∽菱形的对应角不一定相等,矩形的边不一定对应成比例,∽所有菱形、所有矩形都不一定是相似图形;∽平行四边形的对应角不一定相等,边不一定对应成比例,∽所有平行四边形不一定是相似图形.3.答案不唯一,如ABA'B' = BCB'C' [解析] ∽矩形的四个角都是直角,∽只要矩形的对应边成比例,则两个矩形相似,∽这个条件可以是ABA'B' = BCB'C'(答案不唯一).4.45 [解析] ∽A'B'AB = 2025 = 45,五边形A'B'C'D'E'∽五边形ABCDE ,∽五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为45. 5.(1)83° (2)12332[解析] (1)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',∽∽A'=∽A=62°,∽B'=∽B=75°,∽α=360°-62°-75°-140°=83°.故答案为83°.(2)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',∽x 8 = y 11 = 96,解得x=12,y=332.6.B [解析] 对折两次后的小矩形的长为b ,宽为14a.∽小矩形与原矩形相似,∽a b = b14a,∽a=2b.7.证明:∽四边形ABCD∽四边形EFGH ,∽AD EH = CD GH ,∽D=∽H ,∽∽ADC∽∽EHG ,∽ACEG =AD EH.8.解:(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.理由:∽四周的小路的宽均为x m ,∽A'D'AD=30+2x 30=15+x 15,A'B'AB=20+2x 20=10+x 10.∽x>0,∽15+x 15≠10+x 10,即A'D'AD ≠ A'B'AB,∽小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.(2)A'D'AD =30+2y 30=15+y 15,A'B'AB =20+2x 20=10+x 10.当15+y 15=10+x 10时,小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD ,解得x y =23,∽小路的宽x 与y 的比值为23时,能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD. 二、位似图形 1.C2.C [解析] ∽以点O 为位似中心,把∽ABC 放大为原图形的2倍得到∽A'B'C',∽∽ABC∽∽A'B'C',点C ,O ,C'在同一直线上,AB∽A'B',AO∽OA'=1∽2,故选项C 错误.故选C.3.5 [解析] ∽四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'位似,其位似中心为点O ,OC=6,CC'=4, ∽AB A'B'=OCOC'=610= 35.∽AB=3,∽A'B'=5.4.(1,0) [解析] 如图,连接各对应点A 与D ,C 与F ,直线AD ,CF 的交点Q 即为位似中心,∽位似中心的坐标为(1,0).5.解:(1)如图所示,∽A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示,∽A 2B 2C 2即为所求.∽将∽A 1B 1C 1放大为原来的2倍得到∽A 2B 2C 2,∽∽A 1B 1C 1∽∽A 2B 2C 2,且位似比为12,∽S △A 1B 1C 1∽S △A 2B 2C 2=14.6.D [解析] 如图.∽AC=1,BC=2,∽AB=√5.∽∽A'B'C'∽∽ABC ,位似比为2,∽ABA'B' = 12, ∽A'B'=2√5,∽BB' = 12(A'B'-AB) =√52.同理可得,BB″=A″B″-A″B=3√52.故选D.7.(4,8)或(-4,-8) [解析] ∽∽ABC 和∽A 1B 1C 1的相似比等于12,并且是关于原点O 的位似图形,而点A 的坐标为(2,4),∽点A 的对应点A 1的坐标为(2×2,2×4)或(-2×2,-2×4),即(4,8)或(-4,-8).8.解:(1)AC∽A'C'.理由如下:∽∽ABC 与∽A'B'C'是位似图形,∽∽ABC∽∽A'B'C',∽∽A=∽C'A'B',∽AC∽A'C'.(2)∽∽ABC∽∽A'B'C',∽ABA'B' = ACA'C'.∽AB=2A'B',∽ACA'C' =2.∽AC∽A'C',∽OCOC' = ACA'C' = 2. ∽OC'=5,∽OC=10,∽CC'=OC -OC'=10-5=5. 9.(2,0)或-43,23[解析] 本题分两种情况讨论:∽当两个位似图形在位似中心O'同旁时,位似中心就是直线CF 与x 轴的交点.设直线CF 的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将点C(-4,2),F(-1,1)的坐标代入,得,解得,∽y=-,,+23.令y=0,得x=2,∽点O'的坐标是(2,0).∽当位似中心O'在两个正方形之间时,可求直线OC 的函数表达式为y=-12x ,直线DE 的函数表达式为y=14x+1,由, 解得,即O'-,,23.故答案为(2,0)或-43,23.。
第3节 图形的相似及位似基础过关一、精心选一选 1.(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5,则它们的相似比为( D ) A .1∶25 B .1∶5 C .1∶2.5 D .1∶ 5 2.(2014·玉林)△ABC 与△A′B′C′是位似图形,且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2,已知△ABC 的面积是3,则△A′B′C′的面积是( D )A .3B .6C .9D .12 3.(2014·河北)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3,4,5的三角形按图①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是( A )A .两人都对B .两人都不对C .甲对,乙不对D .甲不对,乙对4.(2014·武汉)如图,线段AB 两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O 为位似中心,在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ,则端点C 的坐标为( A )A .(3,3)B .(4,3)C .(3,1)D .(4,1)5.(2014·宁波)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =∠ACD =90°,AB =2,DC =3,则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A .2∶3B .2∶5C .4∶9D .2∶ 36.(2013·上海)如图,在△ABC 中,点D ,E ,F 分别是AB ,AC ,BC 上的点,DE ∥BC ,EF ∥AB ,且AD ∶DB =3∶5,那么CF ∶CB 等于( A )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶57.(2014·南通)如图,△ABC 中,AB =AC =18,BC =12,正方形DEFG 的顶点E ,F 在△ABC 内,顶点D ,G 分别在AB ,AC 上,AD =AG ,DG =6,则点F 到BC 的距离为( D )A .1B .2C .122-6D .62-68.(2014·泸州)如图,在直角梯形ABCD 中,DC ∥AB ,∠DAB =90°,AC ⊥BC ,AC =BC ,∠ABC 的平分线分别交AD ,AC 于点E ,F ,则BFEF的值是( C )A .2-1B .2+ 2C .2+1D . 2 二、细心填一填 9.(2014·邵阳)如图,在▱ABCD 中,F 是BC 上的一点,直线DF 与AB 的延长线相交于点E ,BP ∥DF ,且与AD 相交于点P ,请从图中找出一组相似的三角形:__答案不唯一,如:△ABP ∽△AED__.,第9题图) ,第10题图)10.(2014·娄底)如图,小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具,测量学校旗杆AB 的高度,移动竹竿,使竹竿与旗杆的距离DB =12 m ,则旗杆AB 的高为__9__m .11.(2013·乌鲁木齐)如图,AB ∥GH ∥CD ,点H 在BC 上,AC 与BD 交于点G ,AB =2,CD =3,则GH 的长为__65__.,第11题图) ,第12题图)12.(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起,则BE EC 的值是3.13.如图,已知P 是线段AB 的黄金分割点,且PA >PB ,若S 1表示PA 为一边的正方形的面积,S 2表示长是AB ,宽为PB 的矩形的面积,则S 1__=__S 2.(填“>”“<”或“=”),第13题图) ,第14题图)14.(2013·泰州)如图,平面直角坐标系xOy 中,点A ,B 的坐标分别为(3,0),(2,-3),△A B′O′是△ABO 关于A 的位似图形,且O′的坐标为(-1,0),则点B′的坐标为__(53,-4)__.15.(2014·遵义)“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》,意思是说:如图,矩形城池ABCD ,东边城墙AB 长9里,南边城墙AD 长7里,东门点E ,南门点F 分别是AB ,AD 的中点,EG ⊥AB ,FH ⊥AD ,EG =15里,HG 经过A 点,则FH =__1.05__里.三、用心做一做 16.(2013·南宁)如图,△ABC 三个定点坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2). (1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1;(2)以原点O 为位似中心,将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍,得到△A 2B 2C 2,请在第三象限内画出△A 2B 2C 2,并求出S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2的值.解:(1)图略 (2)图略,S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2=1417.(2013·陕西)一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度.如图,当李明走到点A 处时,张龙测得李明直立时身高AM 与其影子长AE 正好相等;接着李明沿AC 方向继续向前走,走到点B 处时,李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ,并测得AB =1.25 m .已知李明直立时的身高为1.75 m ,求路灯的高度CD 的长.(精确到0.1 m )解:设CD 长为x m ,∵AM ⊥EC ,CD ⊥EC ,BN ⊥EC ,EA =MA ,∴MA ∥CD ,BN ∥CD ,∴EC =CD =x ,∴△ABN ∽△ACD ,∴BN CD =AB AC ,即1.75x = 1.25x -1.75,解得x =6.125≈6.1,∴路灯高CD 约为6.1 m18.(2013·广东)如图,矩形ABCD 中,以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ,使得另一边EF 过原矩形的顶点C. (1)设Rt △CBD 的面积为S 1,Rt △BFC 的面积为S 2,Rt △DCE 的面积为S 3, 则S 1__=__S 2+ S 3;(用“>”“<”或“=”填空)(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.解:(2)△BCF ∽△DBC ∽△CDE ;选△BCF ∽△CDE ,证明:在矩形ABCD 中,∠BCD=90°且点C 在边EF 上,∴∠BCF +∠DCE =90°,在矩形BDEF 中,∠F =∠E =90°,∴在Rt △BCF 中,∠CBF +∠BCF =90°,∴∠CBF =∠DCE ,∴△BCF ∽△CDE19.(2013·莆田)定义:如图①,点C 在线段AB 上,若满足AC 2=BC·AB ,则称点C 为线段AB 的黄金分割点.如图②,△ABC 中,AB =AC =1,∠A =36°,BD 平分∠ABC 交AC 于点D.(1)求证:点D 是线段AC 的黄金分割点; (2)求出线段AD 的长.解:(1)∵∠A =36°,AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB =72°,∵BD 平分∠ABC ,∴∠CBD =∠ABD =36°,∠BDC =72°,∴AD =BD ,BC =BD ,∴△ABC ∽△BDC ,∴BDAB =CD BC ,即AD AC =CDAD,∴AD 2=AC·CD ,∴点D 是线段AC 的黄金分割点 (2)∵点D 是线段AC 的黄金分割点,∴AD =5-12AC =5-1220.(2013·泰安)如图,四边形ABCD 中,AC 平分∠DAB ,∠ADC =∠ACB =90°,E 为AB 的中点.(1)求证:AC 2=AB·AD ; (2)求证:CE ∥AD ;(3)若AD =4,AB =6,求ACAF的值.解:(1)由△ABC ∽△ACD 得AC 2=AB·AD (2)∵E 点为Rt △ABC 斜边AB 的中点,∴EC =12AB =AE ,∴∠ECA =∠EAC ,可得∠DAC =∠ECA ,∴CE ∥AD (3)由CE ∥AD 得△ECF ∽△DAF ,∴EC AD =CF AF ,EC =12AB =3,∴CF AF =34,即AC -AF AF =34,∴AC AF =7421.(2014·自贡)阅读理解:如图①,在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E(点E 不与A ,B 重合),分别连接ED ,EC ,可以把四边形ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”.解决问题:(1)如图①,∠A =∠B =∠DEC =45°,试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点,并说明理由;(2)如图②,在矩形ABCD 中,A ,B ,C ,D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点;(3)如图③,将矩形ABCD 沿CM 折叠,使点D 落在AB 边上的点E 处,若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点,试探究AB 与BC 的数量关系.解:(1)∵∠A =∠B =∠DEC =45°,∴∠AED +∠ADE =135°,∠AED +∠CEB =135°,∴∠ADE =∠CEB ,∴△ADE ∽△BEC ,∴点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点 (2)如图,点E 是四边形ABCD 的边AB 上的强相似点(3)∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点,∴△AEM ∽△BCE ∽△ECM ,∴∠BCE =∠ECM =∠AEM.由折叠可知△ECM ≌△DCM ,∴∠ECM =∠DCM ,CE =CD ,∴∠BCE =13∠BCD =30°,BE =12CE =12AB.在Rt △BCE 中,tan ∠BCE =BE BC =tan 30°=33,∴AB BC =233挑战技能 22.(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x ,那么x 的值( B )A .只有1个B .可以有2个C .可以有3个D .有无数个23.(2014·泰州)如图,A ,B ,C ,D 依次为一条直线上4个点,BC =2,△BCE 为等边三角形,⊙O 过A ,D ,E 三点,且∠AOD =120°.设AB =x ,CD =y ,则y 与x 的函数关系式为__y =4x(x >0)__.24.(2014·咸宁)如图,在△ABC 中,AB =AC =10,点D 是边BC 上一动点(不与B ,C 重合),∠ADE =∠B =α,DE 交AC 于点E ,且cos α=45.下列结论:①△ADE ∽△ACD ;②当BD =6时,△ABD 与△DCE 全等;③△DCE 为直角三角形时,BD 为8或252;④0<CE ≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)25.(2014·玉林)如图,在正方形ABCD 中,点M 是BC 边上的任一点,连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ,在CD 边上取点P 使CP =BM ,连接NP ,BP.(1)求证:四边形BMNP 是平行四边形;(2)线段MN 与CD 交于点Q ,连接AQ ,若△MCQ ∽△AMQ ,则BM 与MC 存在怎样的数量关系?请说明理由.解:(1)在正方形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC =∠C ,由SAS 可证△ABM ≌△BCP ,∴AM =BP ,∠BAM =∠CBP ,∵∠BAM +∠AMB =90°,∴∠CBP +∠AMB =90°,∴AM ⊥BP ,∵将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ,∴AM ⊥MN ,且AM =MN ,∴MN ∥BP ,∴BP =MN ,∴四边形BMNP 是平行四边形 (2)BM =MC.理由如下:∵∠BAM +∠AMB =90°,∠AMB +∠CMQ =90°,∴∠BAM =∠CMQ ,又∵∠ABM =∠C =90°,∴△ABM ∽△MCQ ,∴AB MC =AM MQ ,∵△MCQ ∽△AMQ ,∴△AMQ ∽△ABM ,∴AB BM =AMMQ,∴AB MC =ABBM,∴BM =MC26.(2014·黄石)AD 是△ABC 的中线,将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角,交边AB 于点M ,交射线AC 于点N ,设AM =xAB ,AN =yAC(x ,y ≠0).(1)如图①,当△ABC 为等边三角形且α=30°时证明:△AMN ∽△DMA ;(2)如图②,证明:1x +1y=2.解:(1)在△AMD 中,∠MAD =30°,∠ADM =60°,∴∠AMD =90°,在△AMN 中,∠AMN =90°,∠MAN =60°,∴△AMN ∽△DMA(2)作CF ∥AB 交MN 于点F ,则△CFN ∽△AMN ,∴NC NA =CFAM ,又可证△CFD ≌△BMD ,∴BM =CF ,∴AN -AC AN =BM AM =AB -AM AM ,∴yAC -AC yAC =AB -xAB xAB ,∴x +y =2xy ,∴1x +1y=227.(2014·武汉)如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6 cm ,BC =8 cm ,动点P 从点B 出发,在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动,同时动点Q 从点C 出发,在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动,运动时间为t 秒(0<t <2),连接PQ.(1)若△BPQ 与△ABC 相似,求t 的值; (2)连接AQ ,CP ,若AQ ⊥CP ,求t 的值.解:(1)①当△BPQ ∽△BAC 时,∵BP BA =BQBC ,BP =5t ,QC =4t ,AB =10 cm ,BC =8 cm ,∴5t 10=8-4t 8,∴t =1;②当△BPQ ∽△BCA 时,∵BP BC =BQ BA ,∴5t 8=8-4t 10,∴t =3241,∴t =1或3241时,△BPQ 与△ABC 相似 (2)过P 作PM ⊥BC 于点M ,设AQ ,CP 交于点N ,则有PB =5t ,PM =3t ,MC =8-4t ,∵∠NAC +∠NCA =90°,∠PCM +∠NCA =90°,∴∠NAC =∠PCM 且∠ACQ =∠PMC =90°,∴△ACQ ∽△CMP ,∴AC CM =CQ MP ,∴68-4t =4t 3t,解得t =78。
浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)一、选择题1.如图.在直角坐标系中.△ABC的三个顶点分别为A(1.2) B(2.1) C(3.2).现以原点O为位似中心.在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′.则顶点C′的坐标是()A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)2.如图.点P是△ABC的重心.点D是边AC的中点.PE∥AC交BC于点E.DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6.则△ABC的面积为()A.12B.14C.18D.243.如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∥C=45°.以AB为腰作等腰直角三角形BAE.顶点E恰好落在CD边上.若AD=1.则CE的长是()A.√2B.√2C.2D.124.如图.在△ABC中.D是边BC上的点(不与点B.C重合).过点D作DE//AB交AC于点E;过点D作DF//AC交AB于点F.N是线段BF上的点.BN=2NF;M是线段DE上的点.DM=2ME.若已知△CMN的面积.则一定能求出()A.△AFE的面积B.△BDF的面积C.△BCN的面积D.△DCE的面积5.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽.图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF.使点D.E.F分别在边OC.OB.BC上.过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC,∠BOC= 30°,DE=2时.EH的长为()A.√3B.32C.√2D.43二、填空题6.小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后.发现学习内容是一个逐步特殊化的过程.请在横线上填写适当的数值+感受这种特殊化的学习过程.7.如图.在△ABC中.AB=AC ∠A<90°.点D.E.F分别在边AB.BC.CA上.连接DE.EF.FD.已知点B和点F关于直线DE对称.设BCAB=k .若AD=DF.则CFFA=(结果用含k的代数式表示).8.如图.在Rt△ABC中.∠C=90°,E为AB边上一点.以AE为直径的半圆O与BC相切于点D.连接AD.BE=3 BD=3√5.P是AB边上的动点.当△ADP为等腰三角形时.AP的长为.三、解答题9.如图.在⊙O中.直径AB垂直弦CD于点E.连接AC AD BC作CF⊥AD于点F.交线段OB于点G(不与点O.B重合).连接OF.(1)若BE=1.求GE的长.(2)求证:BC2=BG⋅BO(3)若FO=FG.猜想∠CAD的度数.并证明你的结论.10.在边长为1的正方形ABCD中.点E在边AD上(不与点A.D重合).射线BE与射线CD交于点F.(1)若ED=13.求DF的长.(2)求证:AE⋅CF=1.(3)以点B为圆心.BC长为半径画弧.交线段BE于点G.若EG=ED.求ED的长.11.如图.已知矩形ABCD.点E在CB延长线上.点F在BC延长线上.过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H.连结AF交EH于点G,GE=GH.(1)求证:BE=CF.(2)当ABFH=56,AD=4时.求EF的长.12.如图1.AB为半圆O的直径.C为BA延长线上一点.CD切半圆于点D,BE⊥CD.交CD延长线于点E.交半圆于点F.已知OA=32,AC=1.如图2.连结AF.P为线段AF上一点.过点P作BC的平行线分别交CE.BE于点M.N.过点P作PH⊥AB于点H.设PH=x,MN=y.(1)求CE的长和y关于x的函数表达式.(2)当PH<PN.且长度分别等于PH,PN.a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时.求a的值.(3)延长PN交半圆O于点Q.当NQ=154x−3时.求MN的长.13.在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)AB=12,AD=10.∥B为锐角.且sinB=45.(1)如图1.求AB边上的高CH的长.(2)P是边AB上的一动点.点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′,D′.①如图2.当点C′落在射线CA上时.求BP的长.②当ΔAC′D′当是直角三角形时.求BP的长.14.我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系.用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图.AB是⊙O的直径.直线l是⊙O的切线.B为切点.P.Q是圆上两点(不与点A重合.且在直径AB的同侧).分别作射线AP.AQ交直线l于点C.点D.(1)如图1.当AB =6.BP ⌢长为π时.求BC 的长.(2)如图2.当AQ AB =34.BP ⌢=PQ ⌢时.求BC CD的值. (3)如图3.当sin∠BAQ =√64.BC =CD 时.连接BP.PQ.直接写出PQ BP 的值. 15.如图1.锐角△ABC 内接于⊙O .D 为BC 的中点.连接AD 并延长交⊙O 于点E.连接BE ,CE .过C 作AC 的垂线交AE 于点F.点G 在AD 上.连接BG ,CG .若BC 平分∠EBG 且∠BCG =∠AFC .(1)求∠BGC 的度数.(2)①求证:AF =BC .②若AG =DF .求tan∠GBC 的值.(3)如图2.当点O 恰好在BG 上且OG =1时.求AC 的长.16.已知.AB 是半径为1的⊙O 的弦.⊙O 的另一条弦CD 满足CD =AB .且CD ⊥AB 于点H (其中点H 在圆内.且AH >BH ,CH >DH ).(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H (不写作法.保留作图痕迹).(2)连结AD.猜想.当弦AB 的长度发生变化时.线段AD 的长度是否变化?若发生变化.说明理由:若不变.求出AD 的长度.(3)如图2.延长AH 至点F.使得HF =AH .连结CF.∠HCF 的平分线CP 交AD 的延长线于点P.点M 为AP 的中点.连结HM.若PD =12AD .求证:MH ⊥CP . 17.如图.在∥O 中.AB 是一条不过圆心O 的弦.点C.D 是AB⌢的三等分点.直径CE 交AB 于点F.连结AD 交CF 于点G.连结AC.过点C 的切线交BA 的延长线于点H .(1)求证:AD∥HC ;(2)若OG GC=2.求tan∥FAG 的值; (3)连结BC 交AD 于点N .若∥O 的半径为5.下面三个问题.依次按照易、中、难排列.对应的分值为2分、3分、4分.请根据自己的认知水平.选择其中一道问题进行解答。
第四章图形的相似8 图形的位似第1课时位似图形的概念及性质测试时间:25分钟一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等答案 D 位似是相似的特殊形式,位似图形的对应边平行(或在同一条直线上),但不一定相等,位似图形的位似中心只有一个.能通过平移而得到的图形是全等图形,且没有位似中心.位似中心到对应点的距离之比都相等,∴故选D.2.两个位似图形的位似中心是指( )A.对应边的延长线的交点B.两个图形顶点连线的交点C.对应角平分线的交点D.对应顶点连线的交点答案 D3.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确结论的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②③④答案 A 由位似图形的定义可知①④错误,②③正确,故选A.4.下列图形中,不是位似图形的是( )答案 B A、C、D符合位似图形的定义,B不符合位似图形的定义,故选B.5.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大后得到△DEF,已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9,则OC∶CF的值为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶8D.1∶9答案 A ∵△ABC与△DEF位似,∴△===,∴=,∴=,故选A.△6.如图,在平面直角坐标系中,与△ABC是位似图形的是( )A.①B.②C.③D.④答案 C 因为题图中③与△ABC不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,所以与△ABC是位似图形的是③.二、填空题7.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点A为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍后得△AB´C´,则∠B´等于.答案72°解析在△ABC中,因为∠A=36°,AB=AC,所以∠B=(180°-∠A)=72°.因为△ABC和△AB´C´是以点A为位似中心的位似图形,所以△ABC∽△AB´C´,所以∠B´=∠B=72°.三、解答题8.如图所示,在△ABC中,已知DE∥BC.(1)△ADE与△ABC相似吗?为什么?(2)它们是位似图形吗?如果是,请指出位似中心.解析(1)△ADE与△ABC相似.理由:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE.(2)是位似图形.由(1)知△ADE∽△ABC.∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD,CE相交于点A,∴△ADE和△ABC是位似图形,位似中心是点A.9.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O,请确定点O的位置,如果OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,求它们的相似比.解析连接AD,CF交于点O,则点O即为所求.∵OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,∴OC∶OF=3∶2,∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.10.如图,已知四边形ABCD,用尺规将它放大,使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.(画出一种即可)解析解法一:延长AD到点D1,使DD1=AD;连接AC并延长到点C1,使CC1=AC;延长AB到点B1,使BB1=AB.连接D1C1,C1B1,则四边形AB1C1D1即为所求(如图).解法二:延长DA到点D1,使AD1=2AD;连接CA并延长到点C1,使AC1=2AC;延长BA到点B1,使AB1=2AB.连接B1C1,C1D1,则四边形AB1C1D1即为所求(如图).解法三:任取一点O,连接OA并延长到点A1,使AA1=OA,连接OB并延长到点B1,使BB1=OB,连接OC并延长到点C1,使CC1=OC,连接OD并延长到点D1,使DD1=OD,顺次连接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,则四边形A1B1C1D1即为所求(如图).11.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的三倍,得到△A´B´C´,请画出△A´B´C´;(2)B´C´的长度为个单位长度,△A´B´C´的面积为个平方单位.解析(1)如图所示,△A´B´C´即为所求.(2)如图所示,B´C´的长度==3.∵A´C´=3,∴△A´B´C´的面积=×3×6=9,故答案为3;9.。
专题21 图形的相似与位似核心知识点精讲1.理解掌握比例线段的相关概念;2.理解掌握比例的性质、黄金分割点等定义; 3.理解掌握平行线分线段成比例定理; 4.理解掌握什么是相似多边形、位似图形。
考点1 比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段的比是,或写成a :b=m :n在两条线段的比a :b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段 若四条a ,b ,c ,d 满足或a :b=c :d ,那么a ,b ,c ,d 叫做组成比例的项,线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项,线段的d 叫做a ,b ,c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段,即cbb a =或a :b=b :c ,那么线段b 叫做线段a ,c 的比例中项。
2.比例的性质 (1)基本性质①a :b=c :d ⇔ad=bc ②a :b=b :c ac b =⇔2(2)更比性质(交换比例的内项或外项)dbc a =(交换内项) ⇒=d c b a acb d =(交换外项)abc d =(同时交换内项和外项) (3)反比性质(交换比的前项、后项): (4)合比性质: (5)等比性质: 3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分nmb a =dc b a =割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点2 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题(含答案)知识点总结1. 位似的概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。
2. 位似与平面直角坐标系:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 。
练习题1、(2022•百色)已知△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形,位似比是1:3,则△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是( )A .1:3B .1:6C .1:9D .3:1【分析】利用为位似的性质得到△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1:3,然后根据相似三角形的性质求解.【解答】解:∵△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形,位似比是1:3,∴△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1:3,∴△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是1:9.故选:C .2、(2022•梧州)如图,以点O 为位似中心,作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′,已知 OA OA =31,若四边形ABCD 的面积是2,则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是( )A .4B .6C .16D .18【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案.【解答】解:∵以点O 为位似中心,作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′,=,∴==, 则四边形A ′B ′C ′D ′面积为:18.故选:D .3、(2022•威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形,∠AOB =∠BOC =∠COD =…=∠LOM =30°.若S △AOB =1,则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A .(34)3B .(34)7C .(34)6D .(43)6 【分析】根据余弦的定义得到OB =OA ,进而得到OG =()6OA ,根据位似图形的概念得到△GOH 与△AOB 位似,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:在Rt △AOB 中,∠AOB =30°,∵cos∠AOB=,∴OB=OA,同理,OC=OB,∴OC=()2OA,……OG=()6OA,由位似图形的概念可知,△GOH与△AOB位似,且位似比为()6,∵S△AOB=1,∴S△GOH=[()6]2=()6,故选:C.4、(2022•重庆)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的周长之比是()A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9【分析】根据两三角形位似,周长比等于相似比即可求解.【解答】解:∵△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1:2,∴△ABC与△DEF的周长之比是1:2,故选:A.5、(2022•重庆)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2:3.若△ABC 的周长为4,则△DEF的周长是()A.4 B.6 C.9 D.16【分析】根据位似图形是相似图形,相似三角形的周长比等于相似比,可以求得△DEF 的周长.【解答】解:∵△ABC与△DEF位似,相似比为2:3.∴C△ABC:C△DEF=2:3,∵△ABC的周长为4,∴△DEF的周长是6,故选:B.6、(2022•黔西南州)如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是.【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2:1,然后根据相似三角形的性质解决问题.【解答】解:∵△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O,而点A(4,0),点C(2,0),∴相似比为4:2=2:1,∴△OAB与△OCD周长的比值为2.故答案为:2.7、(2022•潍坊)《墨子•天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D',若A'B':AB=2:1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为.【分析】如图,连接B′D′.利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积,求出边长,再求出B′D′可得结论.【解答】解:如图,连接B′D′.设B′D′的中点为O.∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′,相似比为1:2,又∵正方形ABCD的面积为4,∴正方形A′B′C′D′的面积为16,∴A′B′=A′D′=4,∵∠B′A′D′=90°,∴B′D′=A′B′=4,∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长=4π,故答案为:4π.8、(2022•成都)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA:AD=2:3,则△ABC与△DEF的周长比是.【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA:OD,再利用比例性质得到OA:OD=2:5,然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解.【解答】解:∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.∴△ABC和△DEF的位似比为OA:OD,∵OA:AD=2:3,∴OA:OD=2:5,∴△ABC与△DEF的周长比是2:5.故答案为:2:5.。
6.6-6.7图形的位似与用相似三角形解决问题【推本溯源】1.如图,光源把一幅画投影到了墙面上,你发现了什么?2.如图,连接OA 、OB 、OC ,分别在线段OA 、OB 、OC的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′,使得,画出▲A ′B ′C ′。
3.结合生活与实践发现,两个多边形的顶点A 与A ′,B 与B ′,C 与C ′,所在的直线都经过同一点O ,并且OCOC OB OB OA OA '''===,像这样的两个多边形叫做位似多边形,点O 为位似中心。
小试牛刀:如图,在平面直角坐标系中,给出了格点△ABC (顶点均在正方形网格的格点上),已知点A 的坐标为(﹣4,3).(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1.(2)以点O 为位似中心,在给定的网格中画△A 2B 2C 2,使△ABC 与△A 2B 2C 2位似,且点A 2的坐标为(8,﹣6).(3)△ABC 与△A 2B 2C 2的位似比是1:2.解:(1)如图所示:△A 1B 1C 1,即为所求;(2)如图所示:△A 2B 2C 2,即为所求;(3)△ABC 与△A 2B 2C 2的位似比是:1:2.2'''===OC OC OB OB OA OA想一想:△ABC与△A2B2C2相似吗?用三边成比例可证。
因此,两个位似多边形一定相似,并且它们的对应边互相平行(或者在同一条直线上);利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小。
总结:位似多边形的性质:(1)位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;(2)位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上;(3)位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上;(4)位似多边形是特殊的相似图形,因此位似图形具有相似图形的一切性质。
4.认识投影①平行投影:一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子,叫做物体的投影.只要有光线,有被光线照到的物体,就存在影子.太阳光线可看做平行的,象这样在平行光的照射下,物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论:(1)等高的物体垂直地面放置时,如图1所示,在太阳光下,它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时,如图2所示,它们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本身的长度.在同一时刻,不同物体的物高与影长成正比例②中心投影:若一束光线是从一点发出的,在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心,相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地,我们会得到两个结论:(1)等高的物体垂直地面放置时,如图1所示,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时,如图2所示.一般情况下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短.一般地,在点光源的照射下,同一物体在不同的位置,它的物高与影长不成比例。
相似三角形的应用与位似综合练习一、选择题1.下列四图中的两个三角形是位似三角形的是()图①图②图③图④A.图③、图④B.图②、图③、图④C.图②、图③D.图①、图②2、如图1中的两个四边形是位似图形,它们的位似中心是()A.点M B.点N C.点O D.点P3、(2017•成都)如图2,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.2:34、(2017绥化)如图3,△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4:9,则OB′:OB为()A.2:3 B.3:2 C.4:5 D.4:95、(2015·武汉市)如图4,在直角坐标系中,有两点A(6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为13,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)6、(2016东营)如图5,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6),B(﹣9,﹣3),以原点O为位似中心,相似比为13,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是()A.(﹣1,2)B.(﹣9,18)C.(﹣9,18)或(9,﹣18)D.(﹣1,2)或(1,﹣2)7、(2018潍坊)在平面直角坐标系中,点(,)P m n是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB∆放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为( )A.(2,2)m n B.(2,2)m n或(2,2)m n--图1图3图2图4图5C.11 (,) 22m nD.11(,)22m n或11(,)22m n--8、(2018•绍兴)学校门口的栏杆如图6所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m9、(2017绵阳)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4m,如7所示.已知小丽图象的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4cm,则旗杆的高度等于()A.10m B.12m C. 12.4m D.12.32m10、如图8,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是( )A. 3.25mB. 4.25mC. 4.45mD. 4.75m11、(2018临沂)如图9.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是()A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m12、(2018长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺二、填空题13、(2013·济宁)如图11,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为cm.14、(2014•牡丹江,)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如12所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,则木竿PQ的长度为m.15、(2018•泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”图6图8图7 图9图11图10 图12用今天的话说,大意是:如图13,DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H 位于GD 的中点,南门K 位于ED 的中点,出东门15步的A 处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点D 在直线AC 上)?请你计算KC的长为 步.16、(2014遵义)今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》,意思是说:如图14,矩形城池ABCD ,东边城墙AB 长9里,南边城墙AD 长7里,东门点E. 南门点F 分别是AB ,AD 的中点,EG ⊥AB ,FH ⊥AD ,EG=15里,HG 经过A 点,则FH= 里。
图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图,已知△ABC ∽△EDC ,AC :EC =2:3,若AB 的长度为6,则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出.【详解】解:∵△ABC ∽△EDC ,∴AC :EC =AB :DE ,∵AC :EC =2:3,AB =6,∴2:3=6:DE ,∴DE =9,故选:B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中,格点△ABC 、△DEF 成位似关系,则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为:y =x +1,由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心,即可求解.【详解】解:由图得:A 1,2 ,D 3,4 ,设直线AD 的解析式为:y =kx +b ,将点代入得:2=k +b 4=3k +b ,解得:k =1b =1 ,∴直线AD 的解析式为:y =x +1,AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心,∴当y =0时,x =-1,∴位似中心的坐标为-1,0 ,故选:A .【点睛】题目主要考查位似图形的性质,求一次函数的解析式,理解题意,掌握位似图形的特点是解题关键.3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图,在直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ,现以原点O 为位似中心,在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ,则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得.【详解】解:∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ,且C 3,2 ,∴C 2×3,2×2 ,即C 6,4 ,故选:C .【点睛】本题考查了坐标与位似图形,熟练掌握位似图形的性质是解题关键.4(2023·四川南充·统考中考真题)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ,镜子与旗杆的水平距离为10m ,则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质,可求出∠ACB =∠ECD ,再利用垂直求△ABC ∽△EDC ,最后根据三角形相似的性质,即可求出答案.【详解】解:如图所示,由图可知,AB ⊥BD ,CD ⊥DE ,CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质,∴∠ACF =∠ECF ,∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ,∴∠ACB =∠ECD ,∴△ABC ∽△EDC ,∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ,镜子与旗杆的水平距离为10m ,∴AB =1.6m ,BC =2m ,CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用,解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图,点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,EF ⊥AB 于点F ,连接DE 并延长,交边BC 于点M ,交边AB 的延长线于点G .若AF =2,FB =1,则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2,根据△ADE ∽△CME ,得出AD CM =DE EM =2,则CM =12AD =32,进而可得MB =32,根据BC ∥AD ,得出△GMB ∽△GDA ,根据相似三角形的性质得出BG =3,进而在Rt △BGM 中,勾股定理即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,AF =2,FB =1,∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3,AD ∥CB ,AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,∵EF ⊥AB ,∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2,△ADE∽△CME,∴AD CM =DEEM=2,则CM=12AD=32,∴MB=3-CM=32,∵BC∥AD,∴△GMB∽△GDA,∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3,在Rt△BGM中,MG=MB2+BG2=322+32=352,故选:B.【点睛】本题考查了正方形的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BC,BD于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于12EF长为半径画弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M,N,则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD,设BP与CN交于点O,与CD交于点R,作RQ⊥BD于点Q,根据角平分线的性质可知RQ=RC,进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR,推出BC=BQ=4,设RQ=RC=x,则DR=CD-CR=3-x,解Rt△DQR求出QR=CR=43.利用三角形面积法求出OC,再证△OCR∽△DCN,根据相似三角形对应边成比例即可求出CN.【详解】解:如图,设BP与CN交于点O,与CD交于点R,作RQ⊥BD于点Q,∵矩形ABCD中,AB=3,BC=4,∴CD =AB =3,∴BD =BC 2+CD 2=5.由作图过程可知,BP 平分∠CBD ,∵四边形ABCD 是矩形,∴CD ⊥BC ,又∵RQ ⊥BD ,∴RQ =RC ,在Rt △BCR 和Rt △BQR 中,RQ =RC BR =BR ,∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ,∴BC =BQ =4,∴QD =BD -BQ =5-4=1,设RQ =RC =x ,则DR =CD -CR =3-x ,在Rt △DQR 中,由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2,即3-x 2=12+x 2,解得x =43,∴CR =43.∴BR =BC 2+CR 2=4310.∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ,∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510.∵∠COR =∠CDN =90°,∠OCR =∠DCN ,∴△OCR ∽△DCN ,∴OC DC =CR CN ,即25103=43CN,解得CN =10.故选:A .【点睛】本题考查角平分线的作图方法,矩形的性质,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质等,涉及知识点较多,有一定难度,解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ,通过勾股定理解直角三角形求出CR .7(2023·四川内江·统考中考真题)如图,在△ABC 中,点D 、E 为边AB 的三等分点,点F 、G 在边BC 上,AC ∥DG ∥EF ,点H 为AF 与DG 的交点.若AC =12,则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ,BF =GF =CG ,AH =HF ,DH 是△AEF 的中位线,易证△BEF ∽△BAC ,得EF AC =BE AB,解得EF =4,则DH =12EF =2.【详解】解:∵D 、E 为边AB 的三等分点,EF ∥DG ∥AC ,∴BE =DE =AD ,BF =GF =CG ,AH =HF ,∴AB =3BE ,DH 是△AEF 的中位线,∴DH =12EF ,∵EF ∥AC ,∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ,∴EF AC =BE AB,即EF 12=BE 3BE ,解得:EF =4,∴DH =12EF =12×4=2,故选:C .【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,OA =OB =35,点C 为平面内一动点,BC =32,连接AC ,点M 是线段AC 上的一点,且满足CM :MA =1:2.当线段OM 取最大值时,点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心,32为半径的OB 上,在x 轴的负半轴上取点D -352,0 ,连接BD ,分别过C 、M 作CF ⊥OA ,ME ⊥OA ,垂足为F 、E ,先证△OAM ∽△DAC ,得OM CD =OA AD =23,从而当CD 取得最大值时,OM 取得最大值,结合图形可知当D ,B ,C 三点共线,且点B 在线段DC 上时,CD 取得最大值,然后分别证△BDO ∽△CDF ,△AEM ∽△AFC ,利用相似三角形的性质即可求解.【详解】解:∵点C 为平面内一动点,BC =32,∴点C 在以点B 为圆心,32为半径的OB 上,在x 轴的负半轴上取点D -352,0 ,连接BD ,分别过C 、M 作CF ⊥OA ,ME ⊥OA ,垂足为F 、E ,∵OA =OB =35,∴AD =OD +OA =952,∴OA AD=23,∵CM :MA =1:2,∴OA AD =23=CM AC,∵∠OAM =∠DAC ,∴△OAM ∽△DAC ,∴OM CD =OA AD=23,∴当CD 取得最大值时,OM 取得最大值,结合图形可知当D ,B ,C 三点共线,且点B 在线段DC 上时,CD 取得最大值,∵OA =OB =35,OD =352,∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152,∴CD =BC +BD =9,∵OM CD=23,∴OM =6,∵y 轴⊥x 轴,CF ⊥OA ,∴∠DOB =∠DFC =90°,∵∠BDO =∠CDF ,∴△BDO ∽△CDF ,∴OB CF =BD CD 即35CF=1529,解得CF =1855,同理可得,△AEM ∽△AFC ,∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23,解得ME =1255,∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655,∴当线段OM 取最大值时,点M 的坐标是655,1255,故选:D .【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形,熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.9(2023·山东东营·统考中考真题)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,且BF =CE ,AE 平分∠CAD ,连接DF ,分别交AE ,AC 于点G ,M ,P 是线段AG 上的一个动点,过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ,连接PM ,有下列四个结论:①AE 垂直平分DM ;②PM +PN 的最小值为32;③CF 2=GE ⋅AE ;④S ΔADM =62.其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ,通过等量转化即可求证AG ⊥DM ,利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ,从而推出①的结论;利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ,通过等量代换可推出③的结论;利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度,最后通过面积法即可求证④的结论不对;结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值,从而证明②不对.【详解】解:∵ABCD 为正方形,∴BC =CD =AD ,∠ADE =∠DCF =90°,∵BF =CE ,∴DE =FC ,∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°,∴∠ADG +∠DAE =90°,∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ,∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ,∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ,∵∠AGD =∠AGM =90°,∴AE 垂直平分DM ,故①正确.由①可知,∠ADE =∠DGE =90°,∠DAE =∠GDE ,∴△ADE ∽△DGE ,∴DE GE=AE DE ,∴DE 2=GE ⋅AE ,由①可知DE =CF ,∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形,且边长为4,∴AB =BC =AD =4,∴在Rt △ABC 中,AC =2AB =4 2.由①可知,△ADG ≌△AMG ASA ,∴AM =AD =4,∴CM =AC -AM =42-4.由图可知,△DMC 和△ADM 等高,设高为h ,∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ,∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2,∴h =22,∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知,△ADG ≌△AMG ASA ,∴DG =GM ,∴M 关于线段AG 的对称点为D ,过点D 作DN ⊥AC ,交AC 于N ,交AE 于P ,∴PM +PN 最小即为DN ,如图所示,由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ,∴DN =2 2.故②不正确.综上所述,正确的是①③.故选:D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题,涉及到三角形相似,最短路径,三角形全等,三角形面积法,解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图,把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠,使点C 与AB 延长线上的点Q 重合.DE 交BC 于点F ,交AB 延长线于点E .DQ 交BC 于点P ,DM ⊥AB于点M ,AM =4,则下列结论,①DQ =EQ ,②BQ =3,③BP =158,④BD ∥FQ .正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ,根据等角对等边即可判断①正确;根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4,再求出BQ 即可判断②正确;由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53,求出BP 即可判断③正确;根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误.【详解】由折叠性质可知:∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5,∵CD ∥AB ,∴∠CDF =∠QEF .∴∠QDF =∠QEF .∴DQ =EQ =5.故①正确;∵DQ =CD =AD =5,DM ⊥AB ,∴MQ =AM =4.∵MB =AB -AM =5-4=1,∴BQ =MQ -MB =4-1=3.故②正确;∵CD ∥AB ,∴△CDP ∽△BQP .∴CP BP =CD BQ=53.∵CP +BP =BC =5,∴BP =38BC =158.故③正确;∵CD ∥AB ,∴△CDF ∽△BEF .∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58.∴EF DE =813.∵QE BE =58,∴EF DE ≠QE BE.∴△EFQ 与△EDB 不相似.∴∠EQF ≠∠EBD .∴BD 与FQ 不平行.故④错误;故选:A .【点睛】本题主要考查了折叠的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,菱形的性质等知识,属于选择压轴题,有一定难度,熟练掌握相关性质是解题的关键.11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的动点,且AF ⊥DE,垂足为G,将△ABF沿AF翻折,得到△AMF,AM交DE于点P,对角线BD交AF于点H,连接HM,CM,DM,BM,下列结论正确的是:①AF=DE;②BM∥DE;③若CM⊥FM,则四边形BHMF是菱形;④当点E运动到AB的中点,tan∠BHF=22;⑤EP⋅DH=2AG⋅BH.()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质,逐一判断,即可解答.【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAE=∠ABF=90°,DA=AB,∵AF⊥DE,∴∠BAF+∠AED=90°,∵∠BAF+∠AFB=90°,∴∠AED=∠BFA,∴△ABF≌△AED AAS,∴AF=DE,故①正确,∵将△ABF沿AF翻折,得到△AMF,∴BM⊥AF,∵AF⊥DE,∴BM∥DE,故②正确,当CM⊥FM时,∠CMF=90°,∵∠AMF=∠ABF=90°,∴∠AMF+∠CMF=180°,即A,M,C在同一直线上,∴∠MCF=45°,∴∠MFC=90°-∠MCF=45°,通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°,BF=MF,∴∠HMF=∠MFC,∠HBC=∠MFC,∴BC∥MH,HB∥MF,∴四边形BHMF是平行四边形,∵BF=MF,∴平行四边形BHMF是菱形,故③正确,当点E运动到AB的中点,如图,设正方形ABCD的边长为2a,则AE=BF=a,在Rt △AED 中,DE =AD 2+AE 2=5a =AF ,∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°,∴△AHD ∽△FHB ,∴FH AH =BF AD=a 2a =12,∴AH =23AF =253a ,∵∠AGE =∠ABF =90°,∴△AGF ∽△ABF ,∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55,∴EG =55BF =55a ,AG =55AB =255a ,∴DG =ED -EG =455a ,GH =AH -AG =4515a ,∵∠BHF =∠DHA ,在Rt △DGH 中,tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3,故④错误,∵△AHD ∽△FHB ,∴BH DH=12,∴BH =13BD =13×22a =223a ,DH =23BD =23×22a =423a ,∵AF ⊥EP ,根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ,∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2,2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2,∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2,故⑤正确;综上分析可知,正确的是①②③⑤.故选:B .【点睛】本题考查了正方形的性质,翻折的性质,相似三角形的判定和性质,正切的概念,熟练按照要求做出图形,利用寻找相似三角形是解题的关键.二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与△A 1B 1C 1位似,原点O 是位似中心,且AB A 1B 1=3.若A 9,3 ,则A 1点的坐标是.【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似,原点O是位似中心,且ABA1B1=3.若A9,3,∴位似比为31,∴9 m =31,3n=31,解得m=3,n=1,∴A13,1故答案为:3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换,正确得出相似比是解题关键.13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图,△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形,点A 在线段OA 上.若OA:AA =1:2,则△ABC和△A B C 的周长之比为.【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.【详解】解:∵OA:AA =1:2,∴OA:OA =1:3,设△ABC周长为l1,设△A B C 周长为l2,∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形,∴l1l2=OAOA=13.∴l1:l2=1:3.∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3.故答案为:1:3.【点睛】本题考查了位似图形的性质,解题的关键在于熟练掌握位似图形性质.14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连结AC、DE 交于点F .若AE EB =23,则S △ADF S △AEF =.【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形,则AB =CD ,AB ∥CD ,可证明△EAF ∽△DCF ,得到DF EF =CD AE =AB AE,由AE EB =23进一步即可得到答案.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,AB ∥CD ,∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ,∴△EAF ∽△DCF ,∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23,∴AB AE =52,∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52.故答案为:52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键.15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC ).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度如图,点A ,B ,Q 在同一水平线上,∠ABC 和∠AQP 均为直角,AP 与BC 相交于点D .测得AB =40cm ,BD =20cm ,AQ =12m ,则树高PQ =m .【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ,然后相似三角形的性质,即可求解.【详解】解:∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ,∴△ABD ∽△AQP ,∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ,BD =20cm ,AQ =12m ,∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为:6.【点睛】本题考查了相似三角形的应用,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.16(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在△ABC 中,D 是边AB 上一点,按以下步骤作图:①以点A 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB ,AC 于点M ,N ;②以点D 为圆心,以AM 长为半径作弧,交DB 于点M ;③以点M 为圆心,以MN 长为半径作弧,在∠BAC 内部交前面的弧于点N :④过点N 作射线DN 交BC 于点E .若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21,则BE CE的值为.【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ,然后得出DE ∥AC ,可证明△BDE ∽△BAC ,进而根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解:根据作图可得∠BDE =∠A ,∴DE ∥AC ,∴△BDE ∽△BAC ,∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21,∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23,故答案为:23.【点睛】本题考查了作一个角等于已知角,相似三角形的性质与判定,熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键.17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =1,将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°,得到△AB C .连接BB ,交AC 于点D ,则AD DC的值为.【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ,利用勾股定理求得AB =10,根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形,可得DF =BF ,再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ,得AD =10DF ,证明△AFD ∼△ACB ,可得DF BC =AF AC ,即AF =3DF ,再由AF =10-DF ,求得DF =104,从而求得AD =52,CD =12,即可求解.【详解】解:过点D 作DF ⊥AB 于点F ,∵∠ACB =90°,AC =3,BC =1,∴AB =32+12=10,∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ,∴AB =AB =10,∠BAB =90°,∴△ABB 是等腰直角三角形,∴∠ABB =45°,又∵DF ⊥AB ,∴∠FDB =45°,∴△DFB 是等腰直角三角形,∴DF =BF ,∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ,即AD =10DF ,∵∠C =∠AFD =90°,∠CAB =∠FAD ,∴△AFD ∼△ACB ,∴DF BC =AF AC,即AF =3DF ,又∵AF =10-DF ,∴DF =104,∴AD =10×104=52,CD =3-52=12,∴AD CD =5212=5,故答案为:5.【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积,熟练掌握相关知识是解题的关键.18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中,M 为对角线BD 的中点,点N 在边AD 上,且AN =AB =1.当以点D ,M ,N 为顶点的三角形是直角三角形时,AD 的长为.【答案】2或2+1【分析】分两种情况:当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时,分别进行讨论求解即可.【详解】解:当∠MND =90°时,∵四边形ABCD 矩形,∴∠A =90°,则MN ∥AB ,由平行线分线段成比例可得:AN ND =BM MD,又∵M 为对角线BD 的中点,∴BM =MD ,∴AN ND =BM MD=1,即:ND =AN =1,∴AD =AN +ND =2,当∠NMD =90°时,∵M 为对角线BD 的中点,∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线,∴BN =ND ,∵四边形ABCD 矩形,AN =AB =1∴∠A =90°,则BN =AB 2+AN 2=2,∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1,综上,AD 的长为2或2+1,故答案为:2或2+1.【点睛】本题考查矩形的性质,平行线分线段成比例,垂直平分线的判定及性质等,画出草图进行分类讨论是解决问题的关键.19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图,在正方形ABCD 中,AB =3,延长BC 至E ,使CE =2,连接AE ,CF 平分∠DCE 交AE 于F ,连接DF ,则DF 的长为.【答案】3104【分析】如图,过F 作FM ⊥BE 于M ,FN ⊥CD 于N ,由CF 平分∠DCE ,可知∠FCM =∠FCN =45°,可得四边形CMFN 是正方形,FM ∥AB ,设FM =CM =NF =CN =a ,则ME =2-a ,证明△EFM ∽△EAB ,则FM AB=ME BE ,即a 3=2-a 3+2,解得a =34,DN =CD -CN =94,由勾股定理得DF =DN 2+NF 2,计算求解即可.【详解】解:如图,过F 作FM ⊥BE 于M ,FN ⊥CD 于N ,则四边形CMFN 是矩形,FM ∥AB ,∵CF 平分∠DCE ,∴∠FCM =∠FCN =45°,∴CM =FM ,∴四边形CMFN 是正方形,设FM =CM =NF =CN =a ,则ME =2-a ,∵FM ∥AB ,∴△EFM ∽△EAB ,∴FM AB =ME BE ,即a 3=2-a 3+2,解得a =34,∴DN =CD -CN =94,由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104,故答案为:3104.【点睛】本题考查了正方形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为.【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.【详解】解:如图,由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°,GH =4,∴CH =10=AD ,∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ,∴△ADJ ≌△HCJ AAS ,∴CJ =DJ =5,∴EJ =1,∵GI ∥CJ ,∴△HGI ∽△HCJ ,∴GI CJ =GH CH=25,∴GI =2,∴FI =4,∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15;故答案为:15.【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.21(2023·天津·统考中考真题)如图,在边长为3的正方形ABCD 的外侧,作等腰三角形ADE ,EA =ED =52.(1)△ADE 的面积为;(2)若F 为BE 的中点,连接AF 并延长,与CD 相交于点G ,则AG 的长为.【答案】3;13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ,根据正方形和等腰三角形的性质,得到AH 的长,再利用勾股定理,求出EH 的长,即可得到△ADE 的面积;(2)延长EH 交AG 于点K ,利用正方形和平行线的性质,证明△ABF ≌△KEF ASA ,得到EK 的长,进而得到KH 的长,再证明△AHK ∽△ADG ,得到KH GD =AH AD ,进而求出GD 的长,最后利用勾股定理,即可求出AG的长.【详解】解:(1)过点E作EH⊥AD,∵正方形ABCD的边长为3,∴AD=3,∵△ADE是等腰三角形,EA=ED=52,EH⊥AD,∴AH=DH=12AD=32,在Rt△AHE中,EH=AE2-AH2=522-32 2=2,∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为:3;(2)延长EH交AG于点K,∵正方形ABCD的边长为3,∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=3,∴AB⊥AD,CD⊥AD,∵EK⊥AD,∴AB∥EK∥CD,∴∠ABF=∠KEF,∵F为BE的中点,∴BF=EF,在△ABF和△KEF中,∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE,∴△ABF≌△KEF ASA,∴EK=AB=3,由(1)可知,AH=12AD,EH=2,∴KH=1,∵KH∥CD,∴△AHK∽△ADG,∴KH GD =AH AD,∴GD=2,在Rt△ADG中,AG=AD2+GD2=32+22=13,故答案为:13.【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键.22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,APPC的值是.【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ,连接EF 交AC 于点P ,此时PE +PF 取得最小值,过点F 作AD 的垂线段,交AC 于点K ,根据题意可知点F 落在AD 上,设正方形的边长为a ,求得AK 的边长,证明△AEP ∽△KF P ,可得KP AP=2,即可解答.【详解】解:作点F 关于AC 的对称点F ,连接EF 交AC 于点P ,过点F 作AD 的垂线段,交AC 于点K ,由题意得:此时F 落在AD 上,且根据对称的性质,当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值,设正方形ABCD 的边长为a ,则AF =AF =23a ,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠F AK =45°,∠P AE =45°,AC =2a∵F K ⊥AF ,∴∠F AK =∠F KA =45°,∴AK =223a ,∵∠F P K =∠EP A ,∴△E KP ∽△EAP ,∴F K AE =KP AP=2,∴AP =13AK =292a ,∴CP =AC -AP =792a , ∴AP CP=27,∴当PE +PF 取得最小值时,AP PC 的值是为27,故答案为:27.【点睛】本题考查了四边形的最值问题,轴对称的性质,相似三角形的证明与性质,正方形的性质,正确画出辅助线是解题的关键.23(2023·山西·统考中考真题)如图,在四边形ABCD 中,∠BCD =90°,对角线AC ,BD 相交于点O .若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ,则AD 的长为.【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ,延长AD ,BC 交于点E ,根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3,根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4,证明∠CBD =∠CED ,得出DB =DE ,根据等腰三角形性质得出CE =BC =6,证明CD ∥AH ,得出CD AH=CE HE ,求出CD =83,根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973,根据CD ∥AH ,得出DE AD =CE CH ,即2973AD=63,求出结果即可.【详解】解:过点A 作AH ⊥BC 于点H ,延长AD ,BC 交于点E ,如图所示:则∠AHC =∠AHB =90°,∵AB =AC =5,BC =6,∴BH =HC =12BC =3,∴AH =AC 2-CH 2=4,∵∠ADB =∠CBD +∠CED ,∠ADB =2∠CBD ,∴∠CBD =∠CED ,∴DB =DE ,∵∠BCD =90°,∴DC ⊥BE ,∴CE =BC =6,∴EH =CE +CH =9,∵DC ⊥BE ,AH ⊥BC ,∴CD ∥AH ,∴△ECD ~△EHA ,∴CD AH =CE HE ,即CD 4=69,解得:CD =83,∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973,∵CD ∥AH ,∴DE AD=CE CH ,即2973AD =63,解得:AD =973.故答案为:973.【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,平行线的判定,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质.三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高.(1)证明:△ABD ∽△CBA ;(2)若AB =6,BC =10,求BD 的长.【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°,根据等角的余角相等,得出∠BAD =∠C ,结合公共角∠B =∠B ,即可得证;(2)根据(1)的结论,利用相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高.∴∠ADB =90°,∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°,∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ,(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB,又AB =6,BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.25(2023·湖南·统考中考真题)如图,CA ⊥AD ,ED ⊥AD ,点B 是线段AD 上的一点,且CB ⊥BE .已知AB =8,AC =6,DE =4.(1)证明:△ABC∽△DEB.(2)求线段BD的长.【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°,∠ABC+∠EBD=90°,则∠C=∠EBD,即可得证;(2)根据(1)的结论,利用相似三角形的性质列出比例式,代入数据即可求解.【详解】(1)证明:∵AC⊥AD,ED⊥AD,∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°,∵CE⊥BE,∴∠ABC+∠EBD=90°,∴∠C=∠EBD,∴△ABC∽△DEB;(2)∵△ABC∽△DEB,∴AB DE =AC BD,∵AB=8,AC=6,DE=4,∴8 4=6 BD,解得:BD=3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图,▱ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.(1)求证:AF=AB;(2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=2,FG=6,求GH的长.【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD,AB=CD,证明△AEF≅△DEC ASA,推出AF= CD,即可解答;(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6,再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8,最后证明△AGH∽△DCH,利用对应线段比相等,列方程即可解答.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠EAF=∠D,∵E是AD的中点,∴AE=DE,∵∠AEF =∠CED ,∴△AEF ≅△DEC ASA ,∴AF =CD ,∴AF =AB ;(2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC =AB =AF =FG +GA =8,DC ∥FA ,∴∠DCF =∠F ,∠DCG =∠CGB ,∵∠FCG =∠FCD ,∴∠F =∠FCG ,∴GC =GF =6,∵∠DHC =∠AHG ,∴△AGH ∽△DCH ,∴GH CH =AG DC,设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ,可得方程x 6-x =28,解得x =65,即GH 的长为65.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键.27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,∠CAB =∠ACB ,过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E .(1)求证:AC ⊥BD ;(2)若AB =10,AC =16,求OE 的长.【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ,从而可证四边形ABCD 是菱形,即可得证;(2)可求OB =6,再证△EBO ∽△BAO ,可得EO BO =BO AO,即可求解.【详解】(1)证明:∵∠CAB =∠ACB ,∴AB =CB ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD .(2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =12AC =8,∵AC ⊥BD ,BE ⊥AB ,∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°,∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6,∵∠EBO +∠BEO =90°,∠ABO +∠EBO =90°,∴∠BEO =∠ABO ,∴△EBO ∽△BAO ,∴EO BO =BO AO ,∴EO 6=68解得:OE =92.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定及性质,勾股定理,三角形相似的判定及性质,掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图,点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点,连接AF 、CE 相交于点M ,连接AG 、CH 相交于点N .(1)求证:四边形AMCN 是平行四边形;(2)若▱AMCN 的面积为4,求▱ABCD 的面积.【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质,线段的中点平分线段,推出四边形AECG ,四边形AFCH 均为平行四边形,进而得到:AM ∥CN ,AN ∥CM ,即可得证;(2)连接HG ,AC ,EF ,推出S △ANH S △ANC =HN CN=12,S △FMC S △AMC =12,进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2,求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6,再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ,即可得解.【详解】(1)证明:∵▱ABCD ,∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ,∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点,∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ,∴四边形AECG 为平行四边形,同理可得:四边形AFCH 为平行四边形,∴AM ∥CN ,AN ∥CM ,∴四边形AMCN 是平行四边形;(2)解:连接HG ,AC ,EF ,∵H ,G 为AD ,CD 的中点,∴HG ∥AC ,HG =12AC ,∴△HNG ∽△CNA ,∴HN CN =HG AC =12,∴S △ANH S △ANC =HN CN=12,同理可得:S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2,∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6,∵AH =12AD ,∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质,三角形的中位线定理,相似三角形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的性质,以及三角形的中位线定理,证明三角形相似,是解题的关键.29(2023·上海·统考中考真题)如图,在梯形ABCD 中AD ∥BC ,点F ,E 分别在线段BC ,AC 上,且∠FAC =∠ADE ,AC =AD(1)求证:DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ,求证:AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ,再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ,然后根据全等的三角形的性质即可得证;(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ,从而可得∠AFB =∠CED ,再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ,然后根据相似三角形的性质即可得证.【详解】(1)证明:∵AD ∥BC ,∴∠DAE =∠ACF ,在△DAE和△ACF中,∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF,∴△DAE≅△ACF ASA,∴DE=AF.(2)证明:∵△DAE≅△ACF,∴∠AFC=∠DEA,∴180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB=∠CED,在△ABF和△CDE中,∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE,∴△ABF∼△CDE,∴AF CE =BF DE,由(1)已证:DE=AF,∴AF CE =BF AF,∴AF2=BF⋅CE.【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.。
专题04 图形的位似(五大类型)【题型1位似图形性质】【题型2 位似图形的点坐标】【题型3 判定位似中心】【题型4 位似图形-作图】【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】【题型1位似图形性质】1.(2023春•乳山市期末)如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=3,AC=5,则=()A.B.C.D.2.(2023•开州区校级模拟)如图,△ABC与△DEF位似,点O是位似中心,且OD=2AD,则S△ABC :S△DEF=()A.3:2B.9:4C.9:1D.4:1 3.(2023•衡南县三模)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,其位似中心为点O,且,则()A.B.C.D.4.(2023•宿豫区三模)如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似中心为O,OA:AD=3:4,S△ABC=9,则△DEF的面积为()A.12B.16C.21D.49 5.(2023•大理州模拟)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,位似比为2:3,若△ABC的面积为4,则△DEF的面积是()A.6B.9C.12D.16 6.(2023春•石景山区期中)如图,四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形,点O是位似中心.若,四边形ABCD的面积是100,则四边形EFGH 的面积是()A.4B.16C.36D.7.(2023•汇川区模拟)如图,△ABC和△DEF是位似三角形,点O是位似中心,且AC=9,DF=3,OA=6,则OD=()A.2B.4C.6D.8 8.(2023春•太仓市期末)如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若A(1,0),C(3,0),则△OAB与△OCD 的面积比是()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9 9.(2023•岳麓区校级模拟)如图所示,△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心.若AD=3OA,△ABC的周长为5,则△DEF的周长为()A.10B.15C.25D.125【题型2 位似图形的点坐标】9.(2022秋•江北区校级期末)如图,在平面直角坐标系中△ABC与△A'B'C'位似,且原点O为位似中心,其位似比1:2,若点B(﹣2,﹣1),则其对应点B'的坐标为()A.(2,4)B.(4,2)C.(2,1)D.(1,2)10.(2023•舟山三模)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,2),B(﹣6,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是()A.(﹣2,1)B.(2,﹣1)C.(﹣8,4)或(8,﹣4)D.(﹣2,1)或(2,﹣1)11.(2023•市南区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的顶点O(0,0),B(2,0),已知△OA'B′与△OAB位似,位似中心是原点O,且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍,则点A对应点A′的坐标为()A.B.或C.D.或12.(2023春•岱岳区期末)如图,△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形,已知A(﹣4,2),△OAB与△OCD的相似比为2:1,则点C的坐标为()A.(2,﹣1)B.(﹣2,1)C.(1,﹣2)D.(﹣1,2)13.(2023春•肥城市期末)如图,矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,点P 是位似中心.若点B的坐标为(2,3),点E的横坐标为﹣1,则点P的坐标为()A.(﹣2,0)B.(0,﹣2)C.D.14.(2023春•长寿区校级期中)如图,线段AB两个端点坐标分别为A(6,9),B(9,3),以原点O为位似中心,在第三象限内将线段AB缩小为原来的后,得到线段CD,则点C的坐标为()A.(﹣2,﹣3)B.(﹣3,﹣2)C.(﹣3,﹣1 )D.(﹣2,﹣1)15.(2023•杜集区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,△A'B'C'与△ABC 位似,位似中心为原点O,已知点A(﹣1,﹣1),C(﹣4,﹣1),A'C'=6,则点C'的坐标为()A.(2,2)B.(4,2)C.(6,2)D.(8,2)【题型3 判定位似中心】16.(2022秋•泉州期末)如图,在8×8网格中,△ABC和△A'B'C'位似,则位似中心为()A.点O B.点P C.点Q D.点R 17.(2023•长安区模拟)图中的两个三角板是位似图形,则位似中心可能是()A.点A B.点B C.点C D.点D 18.(2022秋•青县期末)如图中的两个三角形是位似图形,点M的坐标为(3,2),则它们位似中心的坐标是()A.(0,2)B.(0,3)C.(2,﹣1)D.(2,3 )19.(2023春•烟台期末)如图,点A的坐标为(﹣3,1),点B的坐标为(﹣1,1),点C的坐标为(0,﹣1).(1)求出△ABC的面积;(2)请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1,使得△A1B1C1的面积为18.20.(2022秋•未央区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的顶点都在正方形网格顶点上.以原点O为位似中心,相似比为1:2,在y轴的右侧,画出将△ABO放大后得到的△A1B1O.【题型4 位似图形-作图】21.(2023春•福山区期末)已知,△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(4,﹣1),(3,2).△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形.(1)请画出点P的位置,并写出点P的坐标;(2)以点O为位似中心,在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使相似比为1:1,若点M(a,b)为△ABC内一点,则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为.【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】22.(2023•碑林区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点均在网格格点上,且点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,﹣1).(1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1(点A、B的对应点分别为A1,B1)使△OA1B1与△OAB的相似比为2:1;(2)在(1)的条件下,计算△OA1B1的面积为.23.(2023•南山区校级一模)在平面直角坐标系内,△ABC的位置如图所示.(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1,作出△A1B1C1.(2)以原点O为位似中心,在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2:1.24.(2023春•荣成市期末)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的顶点在格点(网格线的交点)上,以点O为原点建立平面直角坐标系,点B的坐标为(1,0).(1)将△ABC向左平移5个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△A1B1C1放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),得到△A2B2C2,在所给的方格纸中画出△A2B2C2;(3)若点M是AB的中点,经过(1)、(2)两次变换,M的对应点M2的坐标是.25.(2023•碑林区校级模拟)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,﹣2),B(﹣5,﹣4),C(﹣1,﹣5).(1)请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2.(3)①点B1的坐标为;②求△A2B2C2的面积.26.(2022秋•青羊区期中)已知O是坐标原点,A、B的坐标分别为(3,1)、(2,﹣1).(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1;(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2,使新图与原图相似比为2:1;(3)求出△OA2B2的面积.。
初三数学图形的位似试题1.如图,点是四边形与的位似中心,则________=________=________;________, ________.【答案】,,;,【解析】位似图形的性质:位似图形的对应边成比例,对应角相等.∵点是四边形与的位似中心∴==;,.【考点】位似图形的性质点评:本题是位似图形的性质的基础应用题,在中考中比较常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度一般.2.如图,,则与的位似比是________.【答案】【解析】先根据可得∽,再根据位似图形的相似比也叫做位似比即可得到结果.∵∴∽∴与的位似比是.【考点】位似图形的判定和性质点评:相似三角形全等的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识,与各个知识点联系极为容易,因而是中考的热点,在各种题型中均有出现,一般难度不大,需特别注意.3.把一个正多边形放大到原来的2.5倍,则原图与新图的相似比为________.【答案】【解析】相似图形的性质:相似图形的对应边的比等于相似比.由题意得原图与新图的相似比为.【考点】相似图形的性质点评:本题是相似图形的性质的基础应用题,在中考中比较常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度一般.4.两个相似多边形,如果它们对应顶点所在的直线________,那么这样的两个图形叫做位似图形.【答案】相交于一点【解析】直接根据位似图形的定义填空即可.两个相似多边形,如果它们对应顶点所在的直线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.【考点】位似图形的定义点评:概念问题是数学学习的基础,很重要,但此类问题往往知识点比较单一,因而在中考中不太常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度一般.5.位似图形的相似比也叫做________.【答案】位似比【解析】直接根据位似比的定义填空即可.位似图形的相似比也叫做位似比.【考点】位似比的定义点评:概念问题是数学学习的基础,很重要,但此类问题往往知识点比较单一,因而在中考中不太常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度一般.6.位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比.【答案】位似中心【解析】直接根据位似图形的性质填空即可.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.【考点】位似图形的性质点评:本题是位似图形的判定方法与性质的基础应用题,在中考中比较常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度不大.7.画出下列图形的位似中心.【答案】如图所示:【解析】连接两个位似图形两对对应点,对应点连线的交点就是位似中心.点O就是所求的位似中心.【考点】位似中心的画法点评:作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力,是中考的热点,一般以作图题形式出现,难度不大,需特别注意.8.将四边形放大2倍.要求:(1)对称中心在两个图形的中间,但不在图形的内部.(2)对称中心在两个图形的同侧.(3)对称中心在两个图形的内部.【答案】(1)四边形A′B′C′D′就是所求的四边形;(2)四边形A′BC′D′就是所求的四边形;(3)四边形A′B′C′D′就是所求的四边形.【解析】画任意一个四边形ABCD,设对称中心为O.(1)对称中心在四边形外,连接对称中心和顶点A,并延长到A′,使A′到对称中心的距离等于A到对称中心的距离,同法得到其余点的对应点,顺次连接各对应点即为所求的图形;(2)对称中心在四边形的顶点,依照(1)的方法做;(3)对称中心在四边形的内部,依照(1)的方法做.(1)四边形A′B′C′D′就是所求的四边形;(2)四边形A′BC′D′就是所求的四边形;(3)四边形A′B′C′D′就是所求的四边形.【考点】画位似图形点评:作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力,是中考的热点,一般以作图题形式出现,难度不大,需特别注意.9.如图,四边形和四边形′位似,位似比,四边形和四边形位似,位似比.四边形和四边形是位似图形吗?位似比是多少?【答案】是位似图形,【解析】因为四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线已经相交于一点了,所以我们只要证明四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD即可;相似具有传递性,所以可证得四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD;又因为位似比等于相似比,所以可求得四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比.∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似,∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似,∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″.∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD.∵对应顶点的连线过同一点,∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形.∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似,位似比k=2,1=1,四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似,位似比k2∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为.【考点】位似图形的判定方法与性质点评:本题是位似图形的判定方法与性质的基础应用题,在中考中比较常见,在各种题型中均有出现,一般难度不大.10.请把如图所示的图形放大2倍.【答案】如图所示:【解析】可选择原图形的一个顶点作为位似中心,分别连接原图形中的关键点及位似中心并延长到放大后的新顶点,使新顶点到位似中心的距离等于2倍的原顶点到位似中心的距离,按原图形中的关键点的顺序连接新图形中的对应点即可.【考点】画位似图形点评:作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力,是中考的热点,一般以作图题形式出现,难度不大,需特别注意.。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_图形的相似_位似变换-填空题专训及答案位似变换填空题专训1、(2018锦州.中考真卷) 如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.已知△AOB与△A1OB1位似中心为原点O,且相似比为3:2,点A,B都在格点上,则点B1的坐标为________.2、(2015沈阳.中考真卷) 如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC 的面积等于△DEF面积的,则AB:DE= ________.3、(2013泰州.中考真卷) 如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,﹣3),△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且O′的坐标为(﹣1,0),则点B′的坐标为________4、(2017西固.中考模拟) 如图,正方形ABCD与正方形EFGH是位似形,已知A(0,5),D(0,3),E(0,1),H(0,4),则位似中心的坐标是________.5、(2017大连.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(2,﹣1)、(3,0),以原点O为位似中心,把线段AB放大,点B的对应点B′的坐标为(6,0),则点A的对应点A′的坐标为________.6、(2019二道.中考模拟) 如图,△ABC与△D EF位似,点O为位似中心,若AC=3DF,则OE:EB=________.7、(2016滨湖.中考模拟) 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的一半,则线段AC 的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为________.(2018菏泽.中考真卷) 如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3:4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C 的坐标是________.9、(2017滨州.中考真卷) 在平面直角坐标系中,点C、D的坐标分别为C(2,3)、D(1,0),现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为________.10、(2017河南.中考模拟) △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C (6,6),在此直角坐标系中作△DEF,使得△DEF与△ABC位似,且以原点O为位似中心,位似比为1:2,则△DEF的面积为________.11、(2017长沙.中考真卷) 如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到△A′B′O,已知点B′的坐标是(3,0),则点A′的坐标是________.12、(2016深圳.中考模拟) 如图,已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,P是位似中心,若点B的坐标为(2,4),点E的坐标为(﹣1,2),则点P的坐标为________ .(2017桂林.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上,且OA=1,OC= ,在第二象限内,以原点O 为位似中心将矩形AOCB 放大为原来的 倍,得到矩形A 1OC 1B 1 , 再以原点O 为位似中心将矩形A 1OC 1B 1放大为原来的 倍,得到矩形A 2OC 2B 2…,以此类推,得到的矩形A 100OC 100B 100的对角线交点的纵坐标为________.14、(2011百色.中考真卷) 如图,以O 为位似中心,把五边形ABCDE 的面积扩大为原来的4倍,得五边形A 1B 1C 1D 1E 1 , 则OD :OD 1=________.15、(2020百色.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 与△DEF 位似,原点O 是位似中心,=,若AB =1.5,则DE =________.16、(2020莆田.中考模拟) (2019八下·长春期末) 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 与△DEF 位似,原点O 是位似中心,位似比 ,若AB =1.5,则DE =________.17、(2020桐乡.中考模拟) 如图,已知ABCD,以B为位似中心,作ABCD的位似图形EBFG,位似图形与原图形的位似比为,连结AG,DG。
专题04 图形的位似(五大类型)【题型1位似图形性质】【题型2 位似图形的点坐标】【题型3 判定位似中心】【题型4 位似图形作图】【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】【题型1位似图形性质】1.(2023春•乳山市期末)如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=3,AC=5,则=()A.B.C.D.2.(2023•开州区校级模拟)如图,△ABC与△DEF位似,点O是位似中心,且OD=2AD,则S△ABC :S△DEF=()A.3:2B.9:4C.9:1D.4:1 3.(2023•衡南县三模)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,其位似中心为点O,且,则()A.B.C.D.4.(2023•宿豫区三模)如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似中心为O,OA:AD=3:4,S△ABC=9,则△DEF的面积为()A.12B.16C.21D.49 5.(2023•大理州模拟)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,位似比为2:3,若△ABC的面积为4,则△DEF的面积是()A.6B.9C.12D.16 6.(2023春•石景山区期中)如图,四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形,点O是位似中心.若,四边形ABCD的面积是100,则四边形EFGH 的面积是()A.4B.16C.36D.7.(2023•汇川区模拟)如图,△ABC和△DEF是位似三角形,点O是位似中心,且AC=9,DF=3,OA=6,则OD=()A.2B.4C.6D.8 8.(2023春•太仓市期末)如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若A(1,0),C(3,0),则△OAB与△OCD 的面积比是()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9 9.(2023•岳麓区校级模拟)如图所示,△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心.若AD=3OA,△ABC的周长为5,则△DEF的周长为()A.10B.15C.25D.125【题型2 位似图形的点坐标】9.(2022秋•江北区校级期末)如图,在平面直角坐标系中△ABC与△A'B'C'位似,且原点O为位似中心,其位似比1:2,若点B(﹣2,﹣1),则其对应点B'的坐标为()A.(2,4)B.(4,2)C.(2,1)D.(1,2)10.(2023•舟山三模)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,2),B(﹣6,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是()A.(﹣2,1)B.(2,﹣1)C.(﹣8,4)或(8,﹣4)D.(﹣2,1)或(2,﹣1)11.(2023•市南区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的顶点O(0,0),B(2,0),已知△OA'B′与△OAB位似,位似中心是原点O,且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍,则点A对应点A′的坐标为()A.B.或C.D.或12.(2023春•岱岳区期末)如图,△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形,已知A(﹣4,2),△OAB与△OCD的相似比为2:1,则点C的坐标为()A.(2,﹣1)B.(﹣2,1)C.(1,﹣2)D.(﹣1,2)13.(2023春•肥城市期末)如图,矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,点P 是位似中心.若点B的坐标为(2,3),点E的横坐标为﹣1,则点P的坐标为()A.(﹣2,0)B.(0,﹣2)C.D.14.(2023春•长寿区校级期中)如图,线段AB两个端点坐标分别为A(6,9),B(9,3),以原点O为位似中心,在第三象限内将线段AB缩小为原来的后,得到线段CD,则点C的坐标为()A.(﹣2,﹣3)B.(﹣3,﹣2)C.(﹣3,﹣1 )D.(﹣2,﹣1)15.(2023•杜集区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,△A'B'C'与△ABC 位似,位似中心为原点O,已知点A(﹣1,﹣1),C(﹣4,﹣1),A'C'=6,则点C'的坐标为()A.(2,2)B.(4,2)C.(6,2)D.(8,2)【题型3 判定位似中心】16.(2022秋•泉州期末)如图,在8×8网格中,△ABC和△A'B'C'位似,则位似中心为()A.点O B.点P C.点Q D.点R 17.(2023•长安区模拟)图中的两个三角板是位似图形,则位似中心可能是()A.点A B.点B C.点C D.点D 18.(2022秋•青县期末)如图中的两个三角形是位似图形,点M的坐标为(3,2),则它们位似中心的坐标是()A.(0,2)B.(0,3)C.(2,﹣1)D.(2,3 )19.(2023春•烟台期末)如图,点A的坐标为(﹣3,1),点B的坐标为(﹣1,1),点C的坐标为(0,﹣1).(1)求出△ABC的面积;(2)请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1,使得△A1B1C1的面积为18.20.(2022秋•未央区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的顶点都在正方形网格顶点上.以原点O为位似中心,相似比为1:2,在y轴的右侧,画出将△ABO放大后得到的△A1B1O.【题型4 位似图形作图】21.(2023春•福山区期末)已知,△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(4,﹣1),(3,2).△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形.(1)请画出点P的位置,并写出点P的坐标;(2)以点O为位似中心,在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使相似比为1:1,若点M(a,b)为△ABC内一点,则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为.【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】22.(2023•碑林区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点均在网格格点上,且点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,﹣1).(1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1(点A、B的对应点分别为A1,B1)使△OA1B1与△OAB的相似比为2:1;(2)在(1)的条件下,计算△OA1B1的面积为.23.(2023•南山区校级一模)在平面直角坐标系内,△ABC的位置如图所示.(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1,作出△A1B1C1.(2)以原点O为位似中心,在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2:1.24.(2023春•荣成市期末)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的顶点在格点(网格线的交点)上,以点O为原点建立平面直角坐标系,点B的坐标为(1,0).(1)将△ABC向左平移5个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△A1B1C1放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),得到△A2B2C2,在所给的方格纸中画出△A2B2C2;(3)若点M是AB的中点,经过(1)、(2)两次变换,M的对应点M2的坐标是.25.(2023•碑林区校级模拟)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,﹣2),B(﹣5,﹣4),C(﹣1,﹣5).(1)请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2.(3)①点B1的坐标为;②求△A2B2C2的面积.26.(2022秋•青羊区期中)已知O是坐标原点,A、B的坐标分别为(3,1)、(2,﹣1).(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1;(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2,使新图与原图相似比为2:1;(3)求出△OA2B2的面积.。
静中学中考数学试题分类汇编 图形的相似与位似
1. (省德化县)如图,小“鱼”与大“鱼”是位似图形,如果小“鱼” 上一个“顶点”的坐标为()ab,,那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 ( ) A、(2)ab, B、(2)ab, C、(22)ab, D、(22)ba, 【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系(若相似比为k, 则坐标之比同侧为k异侧为-k) 【答案】C 2.(2010,)一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( ) A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B 【关键词】相似三角形的判定
3.(市)如图,在□ABCD中,AE=EB,AF=2,则FC等于_____. 【答案4】 1.(省)图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置,其中DG与EF 交于H点。若ABC=EFC=70,ACB=60,DGB=40,则下列哪 一组三角形相似? (A) △BDG,△CEF (B) △ABC,△CEF (C) △ABC,△BDG (D) △FGH,△ABC 。 【关键词】相似 【答案】B
3.(2010市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16,则这两个三角形的相似比是( ) A.9:16 B. 3:4 C.9:4 D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B
4. (市) 如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1米.甲身高1.8米,乙身高1.5米,则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似 【答案】6
A B C D E
F G H
图(一) 5.(2010省市)如图,ABC△与ABC△是位似图形,且位似比 是1:2,若AB=2cm,则AB cm, 并在图中画出位似中心O. 【关键词】位似 【答案】.4(填空2分,画图1分)
6.(省市)如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则AB与CD间的距离是__________m.
【关键词】投影 相似三角形 【答案】8.1 7.(2010市)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3,则△ABC与△DEF的周长比为_____________. 解析:由相似三角形的对应线段比等于相似比知,△ABC与△DEF的周长比为2:3 答案:2:3. 8.(2010)如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相
垂直,则树的高度为_____m.
【关键词】三角形相似 【答案】4
9.(2010潼南县)12. △ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的周长比为 . 答案:3:4
第14题图
A时 B时
′ ABC
AB
C ′
′
第11题图 ′ A
BC
AB
C ′
′ O
第11题图 10. (2010市潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的周长比为 . 答案:3:4. 11.(省). 如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点,
以O为圆心,以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点,连 结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O 的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G. 若3BMBG,则BK﹦ . 【关键词】正方形、相似、切线定理 【答案】31或 35 12.一天,小青在校园发现:旁边一颗树在下的影子和她本人的影子在同一直线上,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点,同时还发现她站立于树影的中点(如图所示).如果小青的峰高为1.65米,由此可推断出树高是_______米. 3.3
13.. (2010) 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上. (1) 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由; (2) P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由).
解:(1) △ABC和△DEF相似. ……2分 根据勾股定理,得 25AB,5AC,BC=5 ; 42DE,22DF,210EF.
∵ 522ABACBCDEDFEF, ……3分 ∴ △ABC∽△DEF. ……1分
A C
B F E
D P1
P2
P3
P4
P5
A O D
B F K E (第16题G M
C (2) 答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可. ……4分 △P2P5D,△P4P5F,△P2P4D, △P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
14.(2010)图1所示的遮阳伞,伞炳垂直于水平地面,起示意图如图2.当伞收紧时,点P与点A重合;当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞得最开。已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN=CM=CN=6.0分米,CE=CF=18.0分米.BC=2.0分米。设AP=x分米.
(1)求x的取值围; (2)若∠CPN=60度,求x的值; (3)设直射下伞的阴影(假定为圆面)面积为y,求y与x的关系式(结构保留)
【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等 【答案】23.解(1)因为BC=2,AC=CN+PN=12,所以AB=12-2=10 所以x的取值围是010x (2) 因为CN=PN,∠CPN=60°,所以三角形PCN是等边三角形.所以CP=6 所以AP=AC-PC=12-6=6 即当∠CPN=60°时,x=6分米 (3) 连接MN、EF,分别交AC与0、H, 因为PM=PN=CM=CN,所以四边形PNCM是菱形。 所以MN与PC互相垂直平分,AC是∠ECF的平分线 1260.522PCxPOx
在RtMOP中,PM=6, 222226(60.5)60.25MOPMxxx
又因为CE=CF,AC是∠ECF的平分线,所以EH=HF,EF垂直AC。 因为∠ECH=∠MCO,∠EHC=∠MOC=90°, 所以COMCEH,所以MO/EH=CM/CE
A C
B F E
D P1
P2
P3
P4
(第22题)
P5 所以226()()18MOEM 所以22299(60.25)EHMOxx 所以229(60.25)yEHxx
15.(2010)19.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1) 求证:△ADF∽△DEC
(2) 若AB=4,AD=33,AE=3,求AF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中,DE=63)33(2222AEAD ∵△ADF∽△DEC ∴ CDAFDEAD ∴4633AF AF=32 16.(滨州)本题满分8分)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线); (2)请分别说明两对三角形相似的理由. 解:(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE (2)①证△ABC∽△ADE. ∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE, ∴△ABC∽△ADE. ②证△ABD∽△ACE. ∵△ABC∽△ADE,
∴AEACADAB 又∵∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE
(滨州)15.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC,在AC上取点M,使AM=3MC,作MN
∥AB交BC于N,量得MN=38cm,则AB的长为 【答案】152
17.(2010日照市) 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证: (1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC; (3)BC2=2AB·CE.