小学+初中+高中
小学+初中+高中 §4 逻辑联结词“且”“或”“非”
4．1 逻辑联结词“且”
4．2 逻辑联结词“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．
知识点一 “且”
思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．
(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．
将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．
知识点二 “或”
思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．
(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题小学+初中+高中
小学+初中+高中 时，p或q是假命题．
将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)
2．“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件．(×)
3．当p，q都为假命题时，p且q才为假命题．(×)
4．若p：sinx≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题．(×)
逆否命题
原命题为：若a，则b。逆否命题为：若非b，则非a
如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。命题的否定只否结论。一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．
名称定义
命题：可以判断真假的语句叫做命题。
原命题为：若a，则b
逆命题为：若b，则a
否命题为：若非a，则非b
逆否命题为：若非b，则非a
互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。命题的否定只否结论。
性质
一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．
逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真。命题同它的逆否命题等价是作为公理存在的，你既不能证明它正确也不能证明它错误。其实这个东西可以认为是公理。它和公理“排中律”是等价的。 我们数学的体系就是建立在这些公理之上。
2逆否命题的滥用
现实生活中存在许多对逆否逻辑的滥用，使用时须注意以下几点： 1、逆否命题、逆命题、否命题概念适用的前提是原命题为复合命题，而非简单命题。复合命题是由简单命题通过逻辑连接词互相连接而组成的。简单命题难以区分前提和结论，其真假只能通过生活经验和客观事实加以判断。例如：
“我爱你”。这个句子不能算作命题。因为是否“爱”的真假没有一个明确的判断标准。
如果“我爱你”是命题，那么它是一个简单命题。我们可以把它等价转换为“若p，则q”的形式。再谈论其逆否命题。（”我爱你“不具有排他性）等价转换为：
若我存在，则至少存在一个爱你的人（或”若我存在，则存在我爱你“）。逆否命题为：
第一章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(湖南湘潭市2018－2019学年高二期末)“x>2”是“x>1”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 结合题意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保证x>2，故为充分不必要条件，故选A．
2．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
[解析] 异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故选B．
3．(2019·北京文，6)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵ f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，
∴ 对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，
∴ 2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．
∴ “b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．
故选C．
4．设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( A )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] M＝{x|－1
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m⊂α，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，∵m⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．故选B．
第2讲 常用逻辑用语
模块1 必要条件与充分条件
一、知识梳理
1.命题
可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题，如p,q,r,···
一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫做作假命题．
2.充分条件与必要条件
一般地，当命题“若 p，则 q”是真命题时，我们就说由 p 可以推出 q，记作 p ⇒ q，读作“p 推出 q”．此时称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
3.充要条件
当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 p ⇔ q．
p 是 q 的充要条件，又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价．
p 是 q 的充要条件时，q也是p的充要条件.
4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p
p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p
二、精讲讲练
考点 1：充分性与必要性的判断
例 1★★★
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空．
① 在同一平面内，同位角相等是两直线平行的 条件．
② 设 a∈R，则 a > 1 是 a2> 1的 条件．
③ 设 a，b ∈ R，则 a+b > 4 是 a > 2 且 b > 2 的 条件． ④ x > 1是 1x < 1 的 条件．
⑤ 若 A，B 是两个集合，则 A∩B ≠ ∅ 是 A ⊆ B 的 条件．
⑥ 已知 x，y∈R，则（x−1）2 +（y−2）2= 0是 (x−1) (y−2) = 0 的 条件．
例 2 ★★★
