河北省遵化市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题+Word版含答案

理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用极坐标的表示方法，即可得出结果．详解：点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标的表示方法，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2. 给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．考点：综合法和分析法的特征.3. 设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以,的共轭复数为，故选D.4. 用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是（）A. 或B. 且C. 或D. 且【答案】A【解析】试题分析：反证法要假设所要证明的结论的反面成立，本题中要反设成立考点：反证法5. 方程（为参数）表示的曲线是（）A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支D. 圆【答案】B【解析】由题意得，方程，两式相减，可得，由，所以曲线的方程为，表示双曲线的上支，故选B.考点：曲线的参数方程.6. 若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．详解：由题意，可得，，，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7. 老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙个柱子，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选C.考点：归纳推理.8. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：利用从平面图形到空间图形的类比推理，即可得到结论．详解：建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B．点睛：本题主要考查了从平面图形到空间的类比推理，着重考查了学生的知识量和知识的迁移，类比的基本能力，解答的关键是掌握好类比推理的概念与应用．9. 设函数，则函数的所有极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数，∴，∵时，时，，∴时原函数递增，时，函数递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，∴函数的各极大值之和．故选D．10. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把曲线的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程为，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式，即可求得最大值．详解：由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式可得，当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力．11. 已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A. B. ， C. D. ，【答案】D【解析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：和时，，又由，则，令，解得，所以函数的递减区间为，故选D．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到或，画出函数的图象，结合图象即可求解． 详解：设，则，令，得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以当时，函数取得极大值也是函数的最大值， 由方程，可得或，画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得实数的取值范围是，故选C ．点睛：本题主要考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了利用导数求解函数的单调性与函数的最值，其中把根的存在性与根的个数问题转化为函数的图象的交点问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想的应用，试题属于中档试题．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 复数（为虚数单位）的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．详解：由题意，复数，所以复数的虚部为．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．【答案】【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，点的直角坐标为，由点到直线的距离公式，可得．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是__________．【答案】甲【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．考点：逻辑推理．16. 已知实数，满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．详解：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，因为，所以，令，解得，所以，所以曲线过点的切线方程为，即，所以直线与直线间的距离为，即最小值．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）根据题设条件得到复数对应点坐标，当复数位于虚轴上时，实部为零，虚部不为零，即可求解；（2）当复数位于一、三象限时，复数满足实部和虚部之积大于零，即可求解；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上时，满足，即可求解．详解：（1）复数对应的点位于虚轴上，则.∴时，复数对应的点位于虚轴上.（2）复数对应的点位于一、三象限，则或.∴当时，复数对应的点位于一、三象限.（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则或.∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.点睛：本题主要考查了复数表示，解答中根据题设条件求出复数对应点的坐标，结合点的位置列出不等式组或关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．18. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）写出，，，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.【答案】（1），，.（2）见解析【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可．详解：（1）将，，分别代入，可得，，.猜想.（2）①由（1），得时，命题成立；②假设时，命题成立，即，那么当时，，且，所以，所以，即当时，命题也成立.根据①②，得对一切，都成立.点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力．19. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于，两点，且，求实数的值.【答案】（1）,（2）或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过）：级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年某天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这三天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）110（2）见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）．（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，则：，．的分布列为（元）．21. 已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点，点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件，运用直线与椭圆的位置关系，通过研究坐标之间的关系进行分析探求：(1)由已知可得的焦点坐标为，设，则，解得，所以，由点在椭圆上，得，即，又，解得，所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为，由，得，则，，当时，直线的方程为，由，得.即，所以，所以，设，则，则，由于，在上为增函数，，则，当时，的中点为，则，，综上，，故的取值范围是.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高中数学的重要知识点与高考的必考考点。

2017-2018学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为03．（5分）假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（）A．C CB．C C+C CC．C﹣CD．C﹣C C4．（5分）设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．0B．﹣6C．﹣3D．﹣25．（5分）设随机变量X的分布列为，则P（X＜3）=（）A．B．C．D．6．（5分）某厂生产的零件外径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均不正常7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项8．（5分）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1D．9．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）11．（5分）某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有（）A．1320种B．2160种C．2400种D．4320种12．（5分）设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”．若给定函数，恒有f p（x）=f（x），则下列结论正确的是（）A．p的最大值为B．p的最小值为C．p的最大值为2D．p的最小值为2二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）的展开式中常数项为19，则实数a的值为．14．（5分）已知函数，则f（x）dx=．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．16．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为．①已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则p=；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ≤0）=﹣p；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当x=8时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）设整数p＞1，p∈N*，用数学归纳法证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（I）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；（Ⅱ）直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．19．（12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．20．（12分）已知二次函数f（x）=﹣x2+8x，直线l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l1：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l2，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求阴影面积S关于t的函数S（t）；（2）已知函数g（x）=S（x）+alnx在其定义域上单调递减，求a的范围．21．（12分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2时，证明：x1•x2＞e2．2017-2018学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为0【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．3．（5分）假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（）A．C CB．C C+C CC．C﹣CD．C﹣C C【解答】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选：B．4．（5分）设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．0B．﹣6C．﹣3D．﹣2【解答】解：根据题意，f（x）=x2+2xf'（1），则f′（x）=2x+2f'（1），令x=1可得：f′（1）=2+2f'（1），解可得f′（1）=﹣2；故选：D．5．（5分）设随机变量X的分布列为，则P（X＜3）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵设随机变量X的分布列为，∴=1，解得a=5，P（X＜3）=P（X=1）+P（X=2）==．故选：C．6．（5分）某厂生产的零件外径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均不正常【解答】解：∵零件外直径X～N（10，0.04），∴根据3σ原则，在10+3×0.2=10.6（cm）与10﹣3×0.2=9.4（cm）之外时为异常．∵上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.5cm和9.3cm，9.3＜9.4，∴下午生产的产品异常，故选：A．7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．8．（5分）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，当△x=0.25时，2+△x=2.25，故﹣2+△y==﹣，则△y=﹣﹣（﹣2）=，此时割线的斜率K==；故选：B．9．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选：D．10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选：D．11．（5分）某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有（）A．1320种B．2160种C．2400种D．4320种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先将6个小组分成4个大组，若分成1、1、1、3的4个大组，有C63=20种情况，其中1组和2组在同一大组的情况有C43=4种，则此时有20﹣4=16种分组的方法；若分成1、1、2、2的4个大组，有=45种情况，其中1组和2组在同一大组的情况6种，则此时有45﹣6=39种分组的方法；则一共有16+39=55种分组方法；②，将分好的4个大组全排列，对应4个地区，有A44=24种情况，则若1组和2组不去同一地区的不同方案有55×24=1320种；故选：A．12．（5分）设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”．若给定函数，恒有f p（x）=f（x），则下列结论正确的是（）A．p的最大值为B．p的最小值为C．p的最大值为2D．p的最小值为2【解答】解：由题意可得出p≥f（x），最大值由于函数的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，解出x=1，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=1时，f（x）取到最大值f（1）=．故当p≥时，恒有f p（x）=f（x）．因此p的最小值是．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）的展开式中常数项为19，则实数a的值为±1．【解答】解：的表示4个因式（x2++a）的乘积，故4个因式都取a，可得常数项；或者其中有2个因式取x2，另外的2个因式取，可以得到常数项；或者有2个因式取a，剩下的2个因式一个取x2，另一个取，可以得到常数项，故展开式中常数项为a4+•+••a2=19，∴a4+12a2﹣13=0，即（a2+13）•（a2﹣1）=0，∴a=±1，故答案为：±1．14．（5分）已知函数，则f（x）dx=．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故dx=×π×12=，﹣e x dx=﹣e x|=﹣e2+e，∴f（x）dx=﹣e2+e，故答案为：﹣e2+e．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．【解答】解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：16．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为②③④．①已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则p=；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ≤0）=﹣p；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当x=8时概率最大．【解答】解：①，随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，np（1﹣p）=20，则，p=，故错，②，据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，一般地，E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a，b为常数），故正确．③，随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，若P（ξ＞1）=p，则P（0＜ξ＜1）=﹣p，即P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故正确．④，∵在10次射击中，击中目标的次数为X满足，X～B（10，0.8），∴对应的概率P（x=k）=×0.8k×0.210﹣k，当k≥1时，k∈N*时，==，由=≥1得44﹣4k≥k，即1≤k≤，∵k∈N*时，∴1≤k≤8且k∈N*，即k=8时，概率P（x=8）最大，故④正确，故答案为：②③④．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）设整数p＞1，p∈N*，用数学归纳法证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．【解答】证明：①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立；②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k＞1+kx成立；当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，所以p=k+1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x＞﹣1且x≠0时，对一切整数p＞1，不等式（1+x）p＞1+px均成立．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（I）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；（Ⅱ）直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【解答】解：（I）函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，可得曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程为y﹣（﹣6）=13（x﹣2），即为13x﹣y﹣32=0；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=3x2+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2+1，即有3m2+1==，即为2m3+16=0，解得m=﹣2，n=﹣8﹣2﹣16=﹣26，可得直线L的方程为y=13x及切点坐标为（﹣2，﹣26）．19．（12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．【解答】解：（1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为，则=∴该学生进入省队的概率P（A）=1﹣P（）=．……………………（4分）（2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………（6分），，，．……………………………………………………（10分）故ξ的分布列为：E（ξ）==．……………………………………………………………………（12分）20．（12分）已知二次函数f（x）=﹣x2+8x，直线l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l1：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l2，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求阴影面积S关于t的函数S（t）；（2）已知函数g（x）=S（x）+alnx在其定义域上单调递减，求a的范围．【解答】解：（1）由得x2﹣8x﹣（t2﹣8t）=0，即有x1=t，x2=8﹣t，∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，8t﹣t2），由定积分的几何意义知：S（t）=[（8t﹣t2）﹣（8x﹣x2）]dx+[（8x﹣x2）﹣（8t﹣t2）]dx=[（﹣t2+8t）x﹣（4x2﹣x3）]|+[﹣（﹣t2+8t）x+（4x2﹣x3）]|=﹣t3+10t2﹣16t+；（2）g（x）=S（x）+alnx=﹣x3+10x2﹣16x++alnx，定义域为[0，2]，g′（x）=﹣4x2+20x﹣16+=，因为y=g（x）单调递减，则﹣4x3+20x2﹣16x+a≤0恒成立，即a≤4x3﹣20x2+16x的最小值，设h（x）=4x3﹣20x2+16x，h′（x）=12x2﹣40x+16，由h′（x）=0，解得x=（舍去），y=h（x）在（0，）是增函数，在（，2]是减函数，可得h（x）的最小值为h（2）=﹣16，所以a≤﹣16．21．（12分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因=证法二：因=而故只需对和进行比较．令g（x）=x﹣lnx（x≥1），有由，得x=1因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1故当x＞1时，g（x）＞g（1）=1，从而有x﹣lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx故有恒成立．所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．（Ⅲ）对m∈N，且m＞1有==＜=＜3；又因＞0（k=2，3，…，m），故∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2时，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax，x＞0，∴f′（x）=﹣a=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f′（x）＞0，解得0＜x＜，f′（x）＜0，解得x＞，故f（x）在（0，+∞）单调递减，在（0，）单调递增；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个零点x1、x2，不妨设x1＞x2＞0∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），∴a=，欲证明x1•x2＞e2，即证lnx1+lnx2＞2，lnx1+lnx2=a（x1+x2）=（x1+x2）＞2只需证lnx1﹣lnx2＞，只需证ln＞，设=t，则t＞1，只需证lnt﹣＞0，设g（t）=lnt﹣，则g′（t）=＞0，∴∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，又∵g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，所以原命题成立．。

万全中学2017-2018学年第二次月考数学试卷（理科）满分150分一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. i是虚数单位，若z=（i+1）i，则|z|等于（）A. 2B.C. 1D.2. 某数学家观察到：+1=5；+1=17；+1=257；+1=65537于是该数学家猜想：任何形如+1（n∈N *）都是质数，请判断该数学家的推理方式并对该结论给出正误判断（）A. 类比推理推理结果正确B. 类比推理推理结果错误C. 归纳推理推理结果正确D. 归纳推理推理结果错误3. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A. B. C.D.4. 已知随机变量X～N（0，σ 2），且P（-2≤X≤0）=0.3，则P（X＞2）=（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.45. 给四面体ABCD的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有（）A. 96B. 144C. 240D. 3606. 由曲线y=x 2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A. （x 2-1）dxB. |（x 2-1）|dx C. |（x 2-1）dx| D. （x 2-1）dx+ （x 2-1）dx7. 北京某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A. A 62×A 54种B. A 62×5 4种C. C 62×A 54种D. C 62×5 48. 已知函数f（x）= x 2+lnx，∃x 0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m，则实数m的取值范围（）A. m≥1+B. mC. m≥1D. m≥1+e9. 在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A. 24B. 36C. 48D. 6010. 函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A. （-1，+∞）B. （-∞，-1）C. （2，+∞）D. （-∞，-2）11. 若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A，则称（A 1，A 2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a 1，a 2}的不同分拆种数是（）A. 8B. 9C. 16D. 1812. 若函数f（x）=2x 2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A. [1，+∞）B. [1，） C. [1，2）D. [ ，2）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 已知（1+i）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b= ______ ．14. 已知点A（x 1，a x1），B（x 2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x 1，sinx 1），B（x 2，sinx 2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有______ 成立．15. 曲线y=e -3x+1在点（0，2）处的切线方程为______ ．16. 从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数“，则P（B|A）= ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.投稿兼职请联系：2355394692 （本小题满分10分）已知a、b、c∈R ＋，求证：18. 已知n∈N *，在（x+2）n的展开式中，第二项系数是第三项系数的．（本小题满分12分）（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）若（x+2）n=a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+…+a n（x+1）n，求a 0+a 1+…+a n的值．19. 已知函数f（x）=（x 2+ax+b）•e x，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在和处取得极值．（本小题满分12分）（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．20. 盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．（本小题满分12分）(I)若某人摸一次球，求他获奖励的概率；(II)若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获奖励的人数，(i)求P(ξ＞1)(ii)求这10人所得钱数的期望．(结果用分数表示，参考数据：( ) 10≈ )21.已知罗坊会议纪念馆对每日参观人数量拥挤等级规定如表：（本小题满分12分）参观人数0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300量拥挤等级优良轻度拥挤中度拥挤重度拥挤严重拥挤该纪念馆对3月份的参观人数量作出如图的统计数据：（1）某人3月份连续2天到该纪念馆参观，求这2天他遇到的拥挤等级均为良的概率；（2）从该纪念馆3月份参观人数低于100人的天数中随机选取3天，记这3天拥挤等级为优的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．22. （本小题满分12分）已知函数f（x）= e 2x-ax（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，函数g（x）=（x-m）f（x）- e 2x+x 2+x在区间（0，+∞）上为增函数，求整数m的最大值．投稿兼职请联系：2355394692 万全中学第二次月考数学试卷【答案】1. B2. D3. C4. B5. A6. B7. D8. B9. D10. A11. B 12. B13. 214.15. 3x+y-2=016.17.而这显然是成立的.所以成立.18. 解：（1）由题得，（2分）解得n=6．（4分）（2）由（1）知，二项式系数最大的值为，为第四项，（6分）．（8分）（3），（10分）令x=0，（11分）得．（12分）19. 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x 2+ax+b）•e x，∴f'（x）=（2x+a）e x+（x 2+ax+b）e x=[x 2+（2+a）x+（a+b）]e x，∵f（x）在和处取得极值，∴ ，∴a=-3，b= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在[-1，- ]、[ ，2]上单调递增，[- ，]上单调递减，∵f（-1）=（1+3+ ）•e -1= ，f（- ）=4 ，f（）=0，f（2）= ，∴函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值为，最小值为0．20. 解：(I)由题意利用古典概型的随机事件的概率公式可得：；(II)(i)由题意ξ服从，有二项分布及对立事件，则(ii)设η为在一局中的输赢，则，∴ ．21. 解：（1）记“这2天他遇到的拥挤等级均为良”为事件A，此人3月份连续2天到该纪念馆参观的所有结果共有30种，其中这2天他遇到的拥挤等级均为良的结果有4种：∴P（A）= = ．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，从该纪念馆3月份参观人数低于100人的天数为16，其中拥挤等级均为优的天为5，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ．∴ξ的分布列为：投稿兼职请联系：2355394692 ξ 0 1 2 3PE （ξ）= +1× +2× +3× = ．22. 解：（Ⅰ）定义域为（-∞，+∞），f′（x ）=e 2x-a ，当a≤0时，f′（x ）＞0，所以f （x ）在（-∞，+∞）上为增函数；…（2分）当a ＞0时，由f′（x ）=0得 ，且当时，f′（x ）＜0，当时f′（x ）＞0，所以f （x ）在为减函数，在为增函数．…（4分）（Ⅱ）当a=1时， ， 若g （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，则g′（x ）=（x-m ）（e 2x-1）+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，即在（0，+∞）恒成立，令 ，x∈（0，+∞）；…（6分），x∈（0，+∞）；令L （x ）=e 2x-2x-3，可知 ，L （1）=e 2-5＞0，又当x∈（0，+∞）时L′（x ）=2e 2x-2＞0，所以函数L （x ）=e 2x-2x-3在x∈（0，+∞）只有一个零点，…（8分）设为a ，即e 2a=2a+3，且 ；由上可知当x∈（0，a ）时L （x ）＜0，即h′（x ）＜0；当x∈（a ，+∞）时L （x ）＞0，即h′（x ）＞0，所以 ，x∈（0，+∞），有最小值 ，…（10分）将e 2a=2a+3代入上式可得h （a ）= ，又因为a ，所以h （a ），由于m≤h（x ）恒成立，所以m≤h（a ），又因为m 为整数，所以m≤1，所以整数m 的最大值为1．…（12分）。

1 C2 D 3D 4A 5B 6A 7A 8C 9C 10A 11D 12 C13 . 10 14 50915 2cos ρθ= 16 －2 17 【答案】（1）；（2）6月 18【答案】（1）4sin p θ=（2）9【解析】试题分析：（1）消参得到圆的直角坐标方程，利用极坐标方程和普通方程的互化公式进行求解；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到关于t 的一元二次方程，利用参数的几何意义进行求解.试题解析：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=，由极坐标与直角坐标互化公式得()()22cos sin 24ρθρθ+--化简得4sin ρθ=.（2）直线l 的参数方程345{445x tcos y tsin =+=+（t 为参数），即3{4x y ==+（t为参数）代入圆方程，得290t ++-， 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-， 129t t =， 于是12129MA MB t t t t ⋅=⋅=⋅=.19【答案】（1）能（2）21. 【解析】试题解析：（1）根据性别与读营养说明列联表，计算随机变量2K 的观测值得： 635.667.620201624)481216(402>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ， 因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2.2011)0(216212===C C P ξ，52)1(21614112=⨯==C C C P ξ，201)2(21624===C C P ξ. ξ的分布列为ξ的均值为21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE20 【答案】(1) 曲线C 表示的是焦点为()1,0，准线为1x =-的抛物线;(2)8.【解析】试题分析：（1）将曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线l 经过点()1,0，可得tan α的值，再将直线l 的参数方程代入曲线C 的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线l 被曲线C 截得的线段C 的长.试题解析：（1）由24cos sin θρθ=可得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =， ∴ 曲线C 表示的是焦点为()1,0，准线为1x =-的抛物线.（2）将()1,0代入{ 1x tcos y tsin αα==+，得1{ 01tcos tsin αα==+，∴ tan 1α=-， ∵0απ≤<，∴ 34πα=，∴直线l的参数方程为{ 1x y == (t 为参数). 将直线l 的参数方程代入24y x =得220t ++=，由直线参数方程的几何意义可知，128AB t t =-===.21【答案】（1）19,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）12m -<< 【解析】试题分析：（1）根据绝对值号内式子的正负，将不等式()5f x ≤转化为1{2445x x <-≤或13{2225x ≤≤或3{2445x x >-≤，解不等式组可求解；（2）若不等式()2m m f x -<， R x ∀∈都成立，则()2min m m f x -< ，求()f x 的最小值。