2017-2018学年山西省临汾一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年山西省临汾一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为＝10.5x+a，则a的值等于（）A．1B．1.5C．2D．2.54．（5分）若，则tan2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．若“p∨q”为真命题则“p∧q”为真命题B．.已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题．C．.l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α．D．.命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”6．（5分）已知，则sin2x的值为（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y为正实数，且满足，下列说法正确的是（）A．x+y的最大值为B．xy的最小值为2C．x+y的最小值为4D．xy的最大值为8．（5分）如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都低于40万的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行下面的程序框图，若输出的S值为﹣2，则①中应填（）A．n＜98？B．n＜99？C．n＜100？D．n＜101？10．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个是偶数”的正确假设为（）A．自然数a，b，c中至少有一个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数11．（5分）已知函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向右平移φ单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为（）A．B．C．D．12．（5分）对于函数，下列说法正确的有（）①f（x）在x＝e处取得极大值；②f（x）有两个不同的零点；③f（4）＜f（π）＜f（3）；④π4＜4π．A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9＝，则tan（a4+a6）＝．14．（5分）已知向量，若向量与垂直，则m＝．15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，（b2+c2﹣3）tan A＝bc，2cos2＝（﹣1）cos C，则△ABC的面积等于．16．（5分）函数，则使得f（x+2）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知，且，（I）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求cosβ的值．18．（12分）已知向量，，函数．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的最值及相应x的值．19．（12分）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完．（1）若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y（单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n（单位个，n∈N*）的函数关系；（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率．20．（12分）设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆方程．（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．21．（12分）设函数f（x）＝x2（e x﹣1）+ax3（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤3；（2）若函数g（x）＝|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f （x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年山西省临汾一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：A∪B＝{x|x≥1或x≤0}，∴∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}，故选：D．2．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为．故选：B．3．【解答】解：∵＝＝5，＝＝54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程＝10.5x+a，∴54＝10.5×5+a，∴a＝1.5，故选：B．4．【解答】解：∵＝，∴tanα＝3，则tan2α＝＝＝﹣，故选：A．5．【解答】解：对于A，若“p∨q”为真命题，可得p，q至少有一个为真命题，则“p∧q”不一定为真命题，故A错；对于B，已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，比如m＝0，逆命题不成立，由逆命题和否命题等价，可得否命题也为假命题，故B错；对于C，l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故C错；对于D，命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D对．故选：D．6．【解答】解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选：D．7．【解答】解：∵x，y为正实数，且满足，∴1＝+≥2＝，∴≤1，xy≥2，当且仅当x＝2y时取“＝”，故选：B．8．【解答】解：如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数n＝＝15，由折线图得7月至12月这6个月中利润（利润＝收入﹣支出）低于40万的有9月，10月，12月，∴这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都低于40万包含的基本事件个数m＝，∴这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都低于40万的概率为P＝．故选：A．9．【解答】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：n＝1，S＝0S＝lg1﹣lg2满足判断框内的条件，n＝2，S＝lg1﹣lg2+lg2﹣lg3满足判断框内的条件，n＝3，S＝lg1﹣lg2+lg2﹣lg3+lg4﹣lg5…观察规律可知：满足判断框内的条件，n＝99，S＝lg1﹣lg2+lg2﹣lg3+…+lg99﹣lg100＝lg1﹣lg100＝﹣2由题意，此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为﹣2．故判断框内应填入的条件是n＜99？．故选：B．10．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至多有一个是偶数”的否定为：“自然数a，b，c中至少有两个偶数”，故选：B．11．【解答】解：根据函数y＝2sinωx（ω＞0）平移后的部分图象知，＝﹣＝，解得T＝π，∴ω＝＝2，∴y＝2sin2x；函数y的图象向右平移φ单位，得y＝2sin2（x﹣φ）的图象，由五点法画图知2×﹣2φ＝，解得φ＝．故选：A．12．【解答】解：∵f′（x）＝，（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是（e，+∞），x＝e时，f（x）有极大值f（e）＝；x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0∴函数f（x）＝的图象如下：根据图象可得f（3）＞f（π）＞f（4），而f（4）＝f（2），故①③正确，②错，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由等差数列的性质可知，a1+a5+a9＝3a5＝，∴a5＝则tan（a4+a6）＝tan2a5＝＝故答案为：14．【解答】解：∵向量，∴＝（m﹣1，3），∵向量与垂直，∴（）•＝﹣1×（m﹣1）+2×3＝0，解得m＝7．故答案为：7．15．【解答】解：∵a＝，（b2+c2﹣3）tan A＝bc，∴可得：（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，可得：2bc cos A tan A＝bc，可得：2bc sin A＝bc，解得：sin A＝，∵2cos2＝（﹣1）cos C，可得：1+cos（A+B）＝cos C﹣cos C，可得：1﹣cos C＝cos C﹣cos C，解得：cos C＝，∵在锐角△ABC中，cos A＝，sin C＝，可得sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝，∴由正弦定理可得：c＝＝＝，∴S△ABC＝ac sin B＝＝．故答案为：．16．【解答】解：由函数的解析式可得函数f（x）是定义域上的偶函数，且x＞0时函数单调递增，则不等式等价于：f（|x+2|）＞f（|2x﹣1|），脱去f符号有：|x+2|＞|2x﹣1|，求解关于实数x的不等式可得使得f（x+2）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为：﹣＜x ＜3，故答案为：（﹣，3）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（），又，∴α﹣β∈（﹣，0），由，解得sin（α﹣β）＝﹣，cos（α﹣β）＝．∴sin（α﹣β）＝；（Ⅱ）由α∈（0，），，得cos∴cosβ＝cos[（α﹣β）﹣α]＝cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα＝．18．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴＝2cos x（sin x﹣cos x）+1＝sin2x﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2x＝．由，解得，k∈Z．∴f（x）的增区间为[﹣，]（k∈Z）；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）＝，∵，∴4x+∈[]．∴当x＝时，，当x＝时，y max＝1．19．【解答】解：（1）当日需求量n≥20时，利润y＝1000；当日需求量n＜20时，利润y ＝50n﹣20（20﹣n）＝70n﹣400；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式y＝（n∈N*）（6分）（2）（i）这100天的日利润的平均数为＝937；（9分）（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19枝，故当天的利润不少于900元的概率为P＝0.2+0.14+0.13+0.13+0.1＝0.7．（12分）20．【解答】解：（1）由，又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得，且a2﹣b2＝c2，解得a2＝2，b2＝1．所以椭圆方程为；（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程组，消去y得关于x的方程（1+2k2）x2+8kx+6＝0由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，即64k2﹣24（1+2k2）＝16k2﹣24＞0，得由根与系数的关系得故＝＝又因为原点O到直线l的距离，故△OAB的面积令，则2k2＝t2+3所以，当且仅当t＝2时等号成立，即时，．21．【解答】解：（1）当时，，f′（x）＝2x（e x﹣1）+x2e x﹣x2＝（2x+x2）（e x﹣1），令f′（x）＞0可得x＞0或﹣2＜x＜0，令f′（x）＜0可得x＜﹣2，则f（x）的单调递增区间为（﹣2，0）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．（2）f（x）＝x2（e x﹣1）+ax3＝x2（e x﹣1+ax），当时，g′（x）＝e x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数．而g（0）＝0从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0恒成立．若当a＜﹣1时，令g′（x）＝e x+a＝0，得x＝ln（﹣a），当x∈（0，ln（﹣a））时，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（﹣a））上是减函数，而g（0）＝0从而当x∈（0，ln（﹣a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0，综上可得a的取值范围为[﹣1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）把，展开得，两边同乘ρ得①．将ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入①，即得曲线C的直角坐标方程为．②．（2）将代入②式，得，点M的直角坐标为（0，3）．设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即得．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当x≤﹣时，不等式f（x）≤3可化为：﹣（2x+1）﹣（x﹣1）≤3，解得x≥﹣1，即﹣1≤x≤﹣；当﹣＜x＜1时，不等式f（x）≤3可化为（2x+1）﹣（x﹣1）≤3，解得x≤1，即﹣＜x＜1；当x≥1时，不等式f（x）≤3可化为（2x+1）+（x﹣1）≤3，解得x≤1，即x＝1；综上可得：不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，1]；（2）若g（x）＝|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，则g（x）＝|2x﹣2018﹣a|+|﹣2x+2019|≥|（2x﹣2018﹣a）+（﹣2x+2019）|＝|1﹣a|＝|a﹣1|，f（x）＝，则当x＝﹣时，函数f（x）取最小值为，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，则|a﹣1|≤，解得﹣≤a≤；∴实数a的取值范围是[﹣，]．。