集合序列及有界线性算子序列的收敛性
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第２９卷第２期 ２０１１年６月 徐州师范大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２９，Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．，２Ｏ１１
， ｎ 一 ０ｎＶｅｒｇｅｎＣｅ ０ｔ ｓｅｑ ｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｓｅｔｓ
ａｎｄ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ
Ｗｕ Ｃｕｉｌａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ ２２１１１６，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｕ— ｓｉｎｇ Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ—Ｍｏｓｃｏ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｗｅａｋ ｌｏｗｅｒ ｓｅｍｉｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｒｍ ｉｎ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ．Ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｓｏｍｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ；Ｍｏｓｃｏ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ＣＬＣ ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ１７７ Ｄｏｃｕｍｅｎｔ ｃｏｄｅ：Ａ Ａｒｔｉｃｌｅ ＩＤ：１００７—６５７３（２０１１）０２—００４１—０３
集合序列及有界线性算子序列的收敛性 吴翠兰 （徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６） 摘要：利用集合的Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ—Ｍｏｓｃｏ收敛以及自反Ｂａｎａｃｈ空间中范数的弱下半连续，给出了集合序列及有界线 性算子序列收敛的一些性质．这些结论推广了文献中一些结果． 关键词：Ｂａｎａｃｈ空间；Ｍｏｓｃｏ收敛；一致收敛‘
０ ＩｎｔｒＯｄｕｃｔｉ０ｎ Ｉｎ［１ ３，Ｂｒｏｓｏｗｓｋｉ ｅｔ ａｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ，｛Ａ ｝ ∈Ｔ，ｉｎ ａ ｎｏｒｍｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ Ｘ ｐａ— ｒａｍｅｔｒｉｚｅｄ ｂｙ ａ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅ Ｔ ａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ￡ Ａ．（ｚ）．ＴｓｕｋａｄａＥ。］ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｔｈｅ
ｓａｍｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｕｔ ｗｉｔｈ ａ ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ． Ｎａｍｅｌｙ，ｈｅ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｈｅ ｓｅｔｓ｛Ａ ｝ｔｏ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｉｎ ｓｏｍｅ ｓｅｎｓｅ ｔｏ Ａ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｈｅ ｌｉｍｉｔｅｄ ｈｉｍｓｅｌｆ ｔｏ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ，ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｃｏｎｖｅｘ，ｓｍｏｏｔｈ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ． Ｉｎ［３］，Ｐａｐａｇｅｏｒｇｉｏｕ ｅｔ ａｌ ｓｍｏｏｔｈｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｎ［２］ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｏｆ Ｔｓｕｋａｄａ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ．ｓｅｔｓ，ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ［３］． Ｉｎ［４］，Ｘｕ ｈａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｏｒ ｓｅ— ｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｍｏｔｉｖａｔｅｄ ｂｙ ｈｉｓ ｗｏｒｋ，ｗｅ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒ— ｇｅｎｅｅ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｂｕｔ ｗｅ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｔａｔｅ ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｇｉｖｅ
ｓｏｍｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａ ｒｅａｌ ｎｏｒｍｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ，Ｘ ｂｅ ｉｔｓ ｄｕａｌ ａｎｄ｛Ａ ｝ｂｅ ａ ｓｅｑｕｅｒａｃｅ ｏｆ ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ．Ｄｅｆｉｎｅ ｌｉｒａ ｉｎｆＡ ：｛ ∈Ｘ： —ｌｉｒａｚ ，ｘ ∈Ａ ， 一１，２，…｝， ｌｉｍ ｓｕｐＡ ｎ：＝＝｛ｘＥ Ｘ：ｚ—ｌｉｍａ： ，ｚｎ ＥＡｎ ，
是一１，２，…｝， 硼一ｌｉｍ ｓｕｐＡ 一｛ ∈Ｘ：ｚ一硼一ｌｉｍ ，， ” ｋ ｚ ∈Ａ ，志一１，２，…）．
Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ｛Ａ ）ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｔｏ ＡｃＸ ｉｎ ｔｈｅ Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ ｓｅｎｓｅ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｌｉｒａ ｓｕｐＡ Ｃ Ａ Ｃ ｌｉｍ ｉｎｆＡ ， ｉ．ｅ．， ｌｉｍ ｉｎｆＡ 一Ａ—ｌｉｍ ｓｕｐＡ ．
Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ｋ—ｌｉｍＡ 一Ａ ｏｒ Ａ Ａ．
Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ｛Ａ ）Ｍｏｓｃｏ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｔｏ Ａ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｗ—ｌｉｍ ｉｎｆＡ Ｃ Ａ Ｃ ｌｉｍ ｉｎｆＡ ， ”
Ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｄａｔｅ：２Ｏ１０—１１一Ｏ２ Ｆｕｎｄ ｉｔｅｍ：Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓ｜ｔｙ（０９ＸＬＢ０２） Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：Ｗｕ Ｃｕｉｌａｎ，ｆｅｍａｌｅ。ｌｅｃｔｕｒｅｒ． Ｃｉｔａｔｉｏｎ：Ｗｕ Ｃｕｉｌａｎ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｂｏｕｎｄｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．Ｊ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍ Ｕｎｉｖ：Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅｄ，２０１１，２９（２）：４１－－４３ ４２ 徐州师范大学学报（自然科学版） 第２９卷 ｉ．ｅ．， ｌｉｍ ｉｎｆＡ 一Ａ—ｗ一１ｉｍ ｉｎｆＡ ， ａｎｄ ｗｒｉｔｅ Ｍ一１ｉｍＡ 一Ａ ｏｒ Ａ 一Ａ．ＥｖｉｄｅｎｔｌｙＭ ，
ｌｉｍＡ 一Ａ ｉｍｐｌｉｅｓ Ｋ—ｌｉｍＡ 一Ａ． ｎ Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｆｏｒ ｖａｒｉｏｕｓ ｔｙｐｅｓ ｏｆ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ａｂｏｖｅ［ 一 ．
Ｇｉｖｅｎ ａ ｎｏｎ—ｅｍｐｔｙ ｃｌｏｓｅｄ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ
ａ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｅｄ ｏｎ Ｘ。ｗｈｅｒｅ （ｚ）一ｄＡ（ｚ）一ｉｎｆ｛ｌｌ —ｙｌ｝：Ｙ Ｅ Ａ）． Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅ ｓｅｔ Ｐ，（Ｘ）一｛ＡＧＸ：ｎｏｎｅｍｐｔｙ，ｃｌｏｓｅｄ｝； Ｐ （Ｘ）一｛Ａ Ｘ：ｎｏｎｅｍｐｔｙ，ｃｌｏｓｅｄ，ｃｏｎｖｅｘ）； ＰＡ（ｚ）一｛ｙＥＡ：ｌ１ｚ— ｌ】＝＝＝ Ａ（ｚ））， ｎａｍｅｌｙ，ＰＡ（ ）ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｔｏ ．ｚ ｆｒｏｍ Ａ． １ Ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔｓ Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｆｏｌ— ｌｏｗｉｎｇ １ｅｍｍａ． Ｌｅｍｍａ １１３］Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ Ｂａｎａｃｈ Ｍ ｓｐａｃｅ ａｎｄ｛Ａ ，Ａ｝ ≥１ Ｐ ｒｃ（Ｘ）．Ｉｆ Ａ 一Ａ，ａｓ 一∞，ｚＥＸ，ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌｌ｛ｚ ） ｃＸ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｘ ｚ，ｗｅ ｈａｖｅ ｄＡ（ｚ ）÷ （ｚ）． Ｔｈｅｏｒｅｍ １ Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ ａｎｄ Ｍ ｛Ａ ，Ａ｝ Ｐ，（Ｘ）．Ｉｆ Ａ 一Ａ，ａｓ 一∞，ｘ∈ Ｘ，ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌ１｛ ） ≥１ ｃＸ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｚ ｚ，ｗｅ ｈａｖｅ 一ｌｉｍ ｓｕｐ ＰＡ （ｚ ）ＣＰＡ（ｚ）． Ｐｒｏｏｆ Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｗ—ｌｉｍ ｓｕｐ ＰＡ （ ）≠ ，ｏｒ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓ．Ｌｅｔ Ｙ Ｅ训一 ｌｉｍ ，ｓｕｐ （ｚｎ）・Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｙｎ Ｅ ＰＡ ）， 志≥１ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｙ ｗ ｙ， ｔｈａｔ ｙＥｗ－－ｌｉｍ ｓｕｐ Ａ 一Ａ． ａｓ ｋ—｝∞．Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ Ｂｙ ＩＩｘｏ 一 ＩＩ＝ｄＡ （ ） ａｎｄ ｔｈｅ ｗｅａｋ ｌｏｗｅｒ ｓｅｍｉｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｒｍ， ｗｅ ｇｅｔ ｌｌ — ｌＩ≤ｌｉｍ．ｉｎｆ １１３２ 一Ｙ ＩＩ —ｌｉｍ ｉｎｆｄＡ（ｚ ，）． （１） ｈ Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ，ｆｏｒ Ｅ １ｉｍ ｉｎｆ Ａ 一Ａ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｚ Ｅ Ａ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｚ ，ａｓ ＋。。． Ｓｉｎｃｅ （ｚ ）￣＜１１３２ －－ｚ．［１’ｗｅ ｇｅｔ ｔｈａｔ ｌｉｍ ｓｕｐ ｄＡ （ ） ≤Ｉｔｘ－￣ｌ１．Ｂｕｔ ｉｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｉｎ Ａ，ｈｅｎｃｅ ｌｉｍ ｓｕｐ （ ） ≤ｄＡ（ｚ），ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ（１），ｗｅ ｇｅｔ ｔｈａｔ 一 ≤ （ ）．Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｙＥＡ，ｓｏ （ ）≤ 一 ，ｉ．ｅ．，ｙ ∈ＰＡ（ｚ）．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ叫一ｌＩｍ ｓｕｐ ＰＡ （ ） ＰＡ（ｚ）． Ａ ｓｕｂｓｅｔ ＡＣＸ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ａ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ｓｅｔ・ ｉｆ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｚＥ Ｘ＼Ｋ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ （ｚ）ＥＡ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｄＡ（ｚ）：ｌｌｚ— （ｚ）ｌＩ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｉｆ Ｘ ｉｓ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ ａｎｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｃｏｎ— ｖｅｘ，ｔｈｅｎ ｅｖｅｒｙ ＡＥ Ｐ （Ｘ）ｉｓ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ｓｅｔ． Ａｌｓｏ Ｘ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｈａｖｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ（Ｈ），ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ｛ｚ ） ≥１ｃＸ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｚ ｚ∈ Ｘ，ａｎｄ ｉＩｚ １Ｉ—ｌｌｘｌｌ ａｓ 一∞，ｔｈｅｎ ３２ 一ｚ．Ｌｏｃａｌｌｙ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｏｎｖｅｘ ｓｐａｃｅｓ ｈａｖｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ（Ｈ）．Ｕｓｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｅｍ １，ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｒｏｌｌａｒｙ． Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １ Ｉｆ Ｘ ｉｓ ａ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ ａｎｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｃｏｎｖｅｘ ｓｐａｃｅ ａｎｄ｛Ａ ，Ａ｝ ≥１ Ｐ ｒｃ（Ｘ）ｗｉｔｈ Ａ —竺＋Ａ ｎ一，ｚ∈Ｘ， ≥ Ｃ Ｘａｓ ｃｘＤ Ｘ ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌ —Ａ ，ｚ∈ ， ｌ｛ｚ ） ≥１ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｘ ｚ，ＰＡ（ｚ ） ＰＡ（ｚ）ａｓ ∞． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｉｆ Ｘ ｈａｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ（Ｈ），ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒ— ｇｅｎｃｅ ｉｓ ｓｔｒｏｎｇ． Ｐｒｏｏｆ Ｆｏｒ ａｌｌ ≥１，ｗｅ ｈａｖｅ ｄＡ（ｘ ）一 ｌｌｚ 一ＰＡ （ｚ ）ｌＩ ａｎｄ ｄＡ（ｚ）＝＝＝ｌｌｚ—ＰＡ（ｚ）ｌ１． Ｂｙ Ｌｅｍｍａ １。ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ＩＩｘ 一Ｐ （ｚ ）ｌＪ—ｌＩｘ—Ｐ （ｚ） （２） Ｈｅｎｃｅ｛ｌＩｘ 一Ｐ （ ）ＩＩ｝ｉｓ ａ ｂｏｕｎｄｅｄ ｎｕｍｂｅｒ ｓｅｑｕｅｎｃｅ， ｉ．ｅ．，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ Ｍ＞０ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆＩｘ 一ＰＡ（ｚ ）ＩＩ≤ Ｍ，ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｌｉｅｓ Ｉｌ ＰＡ （ ）ｌｌ≤Ｍ＋１ｌ ｚ ｌＩ．Ｂｅｃａｕｓｅ ｚ —’ ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ Ｍ１＞０，ｓ．ｔ． Ｉｌｚ ｌｌ≤Ｍ１．Ｓｏ ＩｌＰＡ（ｚ ）ｌｌ≤Ｍ＋Ｍ１．Ｓｉｎｃｅ Ｘ ｉｓ ｒｅ— ｆｌｅｘｉｖｅ，ｗｅ ｃａｎ ｆｉｎｄ ａ ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅ｛ＰＡ ．（ｚ ）｝
