第一节 集合的概念与运算-教师版

集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算 考纲 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用Venn图表示集合的关系及运算． ,

整知识 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 𝑵 𝑵∗或𝑵+ 𝒁 Q R 2.集合间的基本关系 (1)集合关系图解

关系 韦恩(Venn)图表示 符号表示

子集 A⊆B

真子集

集合相等 A＝B

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言

符号 语言

悟方法 1．集合的运算性质 并集的性质：

交集的性质： 补集的性质： 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察； (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 3．数形结合思想 数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．

测基础 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)．( )

(2)．( ) (3)在集合中，可用符号表示为．( ) (4)N⊆NAAA⊆Z.( )

(5)若，则A＝B＝C．( ) 答案： (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2．已知集合，则( ) 解析： 解 答案： B 3．(2015·山东卷)已知集合，则＝( )

解析： 由已知可得集合A＝{x|1答案： C

4．(2015·湖南卷)已知集合则＝________.

解析： 答案： 5．已知集合若，则＝________. 解析： 由知 log2n＝mn＝1，或log2n＝1，n＝m，

∴n＝1m＝0，或n＝2.m＝2， 答案： -1或0

考向

1. 集合的基本概念 1．设集合A＝{-1,0,2}，集合B＝{-x|x∈A且2-x∉A}，则B＝( ) A．{1} B．{-2} C．{-1，-2} D．{-1,0} 解析： 当x＝-1时，2-x＝3∉A，此时-x＝1∈B， 当x＝0时，2-0＝2∈A， 当x＝2时，2-2＝0∈A， 所以B＝{1}，故选A． 答案： A 2．已知集合M＝{1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为( ) A．1或-1 B．1或3 C．-1或3 D．1，-1或3 解析： ∵5∈{1，m+2，m2+4}， ∴m+2＝5或m2+4＝5，

即m＝3或m＝±1. 当m＝3时，M＝{1,5,13}；当m＝1时，M＝{1,3,5}； ∴m的值为3或1. 答案： B

3．已知集合，若A＝ϕ，则实数a的取值范围为________．

解析： ∵A＝ϕ， ∴方程ax2-3x+2＝0无实根，

当a＝0时，x＝32不合题意， 当a≠0时，Δ＝9-8a<0，∴a>89.

答案： ，＋∞9 [归纳升华] 解决集合问题的一般思路 (1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． (2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．

2. 集合间的基本关系 (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )

(2)已知集合，若，则实数m的取值范围为________． 解析： (1)由题意知

(2) ∴①若，则此时 ②若B≠ϕ，则2m－1≤5.m＋1≥－2，解得2≤m≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 答案： (1)B (2)(-∞，3] [跟踪训练] 1．已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a-2)(a2-3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有( ) A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 解析： |a|≥2⇒a≥2或a≤-2.又a∈M，(a-2)(a2-3)＝0⇒a＝2或a＝±(舍)，即A中只有一个

元素2，故A的子集只有2个，选B． 答案： B [归纳升华] 集合间基本关系的判断方法 方法 解读 适合题型

1 列举 法 利用列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 集合为有限集

2 转化 法 从元素的结构特点入手，结合通化、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

集合为无限集

3. 集合的基本运算 (1)(2015·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB＝( )

A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} (2)(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x2-2x≥0}，Q＝{x|1A．[0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．[1,2] 解析： (1)由题意得∁UB＝{2,5,8}，

∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

(2)由x2-2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁RP＝{x|0＝{x|1RP)∩Q＝(1,2)．

答案： (1)A (2)C 1．(2015·安徽合肥模拟)已知全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x2-2x>0}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{x|x≤2} B．{x|x≥1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2} 解析： 由x2-2x>0得x>2或x<0，

即B＝{x|x<0，或x>2}， ∴A∪B＝{x|x<0，或x>1}， ∴∁U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}．

答案： C

2．(2015·安徽皖南八校联考)已知集合A＝，x∈R1，B＝{-2，-1,1,2}，则下列结论正确的是

( ) A．A∩B＝{-2，-1} B．(∁RA)∪B＝(-∞，0) C．A∪B＝(0，+∞) D．(∁RA)∩B＝{-2，-1} 解析： 因为A＝(0，+∞)，所以A∩B＝{1,2}，(∁RA)∪B＝{y|y≤0或y＝1,2}，A∪B＝{y|y>0或y＝-1，-2}，(∁RA)∩B＝{-1，-2}．所以D正确．

答案： D 3.已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} 解析： 因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A．若5∈A，则5∉B(否则

5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A．同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}． 答案： D 4．(2015·江西南昌调研)设全集U＝R，A＝{x|x2-2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是( )

A．[0,1] B．[-1,2] C．(-∞，-1)∪(2，+∞) D．(-∞，-1]∪[2，+∞) 解析： 因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|-1≤y≤1}＝[-1,1]，所以A∪B＝[-1,2]，所以∁R(A

∪B)＝(-∞，-1)∪(2，+∞)． 答案： C 5．(2015·新乡市一中月考)设集合A＝{x||x-a|<1，x∈R}，B＝{x|1ϕ，则实数a的取值范围是( ) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} 解析： |x-a|<1⇔-1即a≤0或a≥6. 答案： C [归纳升华] 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解； (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．

追踪集合中的新定义 以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力． 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．

(2)如果集合A满足若x∈A，则-x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2+x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

解析： (1)依题意得A-B＝{x|x≥0，x∈R}，B-A＝，x∈R9，故A⊕B＝49∪[0，+∞)．