课题 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。
过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。
教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A ∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A ∩B=A ⇔A ⊆B.( )(5)A ∪B=A ⇔B ⊆A.( )(6) (A ∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A 是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B 是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C 是满足方程y=x2的实数x,y 的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即 ；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n 个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A ∩B= 时，只要集合A,B 没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A ⊆B 时，显然A ∩B=A ；当A ∩B=A 时，对任意x ∈A ，得x ∈A ∩B ，得x ∈B ，即x ∈A ⇒x ∈B ，故A ⊆B ．(5)正确．当B ⊆A 时，显然A ∪B=A ； ∅∅当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .【思路点拨】(1)求出A,B 中的元素,由A ⊆C ⊆B,知集合C 的个数由B 中有A 中没有的元素个数决定.(2)A ∪B=A ∩B ⇔A=B ，得出关于a,b 的方程组，解出a,b ，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x ∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x ∈N}={1,2,3,4},由A ⊆C ⊆B,方法一:则C 中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个(2)方法一：因为A ∪B=A ∩B,所以A=B ，所以{1,b}={a2,ab}， 所以 解得 反代回A,B 集合知，只有 适合，所以 即实数a 的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M ∩N=N ，则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D ．M ∩N=N ⇔N ⊆M ．当a=0时，N= ，符合要求， 当a ≠0时，只要 即a=±1即可． (2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B ，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x2≠0,xy ≠0，故x ≠0,y ≠0，那么只能是集合A 中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}， 答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N ⊆M (B)M ∪N=M (C)M ∩N=N (D)M ∩N={2}(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则( A)∩( B)为( )(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M ，N 中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B ，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn 图解决．【规范解答】(1)选D.显然M ∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A ∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律 221ab,1a b ab b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩，或，∅1a a =，(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固。
