第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K
是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K
对
复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K
内任意两个数a
、b
（a
可以等于b
），
必有baKabKKbab∈≠∈/0时，，且当，∈±
为一个数域。 ，则称K
例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i
|∈Q}，其中i =ba+
ba
,1−
。 命题 任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设K
为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈aKa，且
。于是
K
aa
Kaa∈=∈−=10，
。
进而Z, ∈∀m
0>
Km∈+……++=111
。
最后，Z，∈∀nm,
0>K
nm
∈，K
nm
nm
∈−=−0
。这就证明了Q⊆K
。证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设是集合，与SAB
的公共元素所组成的集合成为与AB
的
交集，记作BA∩
；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与AAB
的并集，记做
BA∪
；从集合中去掉属于AB
的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，
记做。 A
BA\
定义（集合的映射） 设、AB
为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则
下对应fAa
fB
中唯一确定的元素（记做），则称是到)(affAB
的一个映射，记为
).(,:
afaBAf
a→
如果Bbaf∈=)(
，则称为在下的像，a
称为在下的原像。的所有元素
在下的像构成的bafbfA
fB
的子集称为A
在下的像，记做，即f)A(f{}
AafAf∈a=|)()(
。 若都有 则称为单射。若 ,'Aaa∈≠∀),'()(afaf≠f,Bb∈∀
都存在，使得
数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法 对于[]Px中任意两个多项式()fx与()gx，其中()0gx，一定有[]Px中的多项式(),()qxrx存在，使()()()()fxqxgxrx成立，其中(())(())rxgx或者()0rx，并且这样的(),()qxrx是唯一决定的.
定理 1 对于数域P上的任意两个多项式(),()fxgx，其中()0,()|()gxgxfx的充分必要条件是()gx除()fx的余式为零.
定理 2 对于[]Px中任意两个多项式()fx，()gx，在[]Px中存在一个最大公因式()dx，且()dx可以表示成()fx，()gx的一个组合，即有[]Px中多项式(),()uxvx使()()()()()dxuxfxvxgx.
定理 3 []Px中两个多项式()fx，()gx互素的充分必要条件是有[]Px中的多项式(),()uxvx使()()()()1uxfxvxgx.
定理 4 如果((),())1fxgx，且()|()()fxgxhx，那么()|()fxhx.
定理 5 如果()px是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()fxgx，由()|()()pxfxgx一定推出()|()pxfx或者()|()pxgx.
&
因式分解及唯一性定理 数域P上每一个次数1的多项式()fx都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),stfxpxpxpxqxqxqx那么必有st，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,iiipxcqxis其中(1,2,,)icis是一些非零常数.
定理 6 如果不可约多项式()px是()fx的k重因式(1)k，那么它是微商()fx的1k重因式.
定理 7（余数定理） 用一次多项式x去除多项式()fx，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f.
第一章 多项式
§1 数域
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.
如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中，就说数集P对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P就称为一个数域.
例1 所有具有形式
2ba
的数（其中ba,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q来表示这个数域.
例2 所有可以表成形式
mmnnbbbaaa1010
的数组成一数域，其中mn,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,mjnibaji是整数.
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.
性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.
§2 一元多项式
一、一元多项式
定义2 设n是一非负整数，形式表达式
0111axaxaxannnn,
(1)
其中naaa,,,10全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.
在多项式（1）中，iixa称为i次项，ia称为i次项的系数.以后用),(),(xgxf或,,gf等来表示多项式.
注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.
定义3 如果在多项式)(xf与)(xg中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(xf与)(xg就称为相等，记为)()(xgxf.
1.1 行二阶列式 P.1
性质1 上三角行列的值等于其对角线元素之积。
性质2 行列式某行(列)全为零，则行列式的值等于零。
性质3 用常数c乘以行列式的某一行（列），得到的行列式的值等于原行列式的值得c倍。
性质4 交换行列式不同的两行（列），行列式的值改变符号。
性质5 行列式的两行（列）成比例，则行列式的值等于零。
性质6 若行列式中某行（列）元素均为两项之和，则行列式可表示为这两个行列式之和。
性质7 行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
性质8 行列式和其转置具有相同的值。
1.3 n阶行列式 P.12
定义1.3.1 定义元素ija的余子式ijM为由行列式A中划去第i行第j列后剩下的1n行与1n列元素组成的行列式。
定义1.3.2 当1n时，11Aa，现假定对1n阶行列式已经定义了它们值，则对任意的i，j，ijM的值已经定义，定义n阶行列式A的值为
111112121111nnnAaMaMaM。
定义1.3.3 在行列式A中，ija的代数余子式定义为
1ijijijAM，
其中ijM是ija的余子式。
性质1 若A是一个n阶行列式，且形如
11121222000nnnnaaaaaAa，或11212212000nnnnaaaAaaa
则1122nnAaaa。 性质2 若n阶行列式A的某一行(列)元素全为0，则行列式0A。
性质3 将行列式A的某一行（列）乘以常数c，则得到的行列式BcA。
性质4 交换行列式A的任意不同的两行（列），则行列式的值改变符号（绝对值不变）。
性质5 若行列式A的两行（列）成比例，则0A。
性质6 设A，B，C的3个n阶行列式，它们的第,ij元素分别记为ija，ijb，ijc。A，B，C的第r行元素适合条件：
1,2,,rjrjrjcabjn，
而其他元素，即,1,2,,ijijijcabirjn，则
