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W3 {( x1, x2,L , xn1,0) xi P, i 1,2,L , n 1}
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W V (W ), 则
W是V的子空间 , W ,a,b P,a b W .
§6.5 线性子空间
4
证明：要证明W也为数域P上的线性空间，
即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）
是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵ W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
组合所成集合.
§6.5 线性子空间
11
二、一类重要的子空间 ——生成子空间
定义：V为数域P上的线性空间，1,2,L ,r V，
则子空间
W {k11 k22 L krr ki P,i 1,2,L ,r}
称为V的由 1,2 ,L ,r 生成的子空间， 记作 L(1,2 ,L ,r ) ． 称 1,2 ,L ,r 为 L(1,2 ,L ,r )的一组 生成元.
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
§6.5 线性子空间
13
有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r
是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
1
§6.5 线性子空间
一、线性子空间 二、生成子空间
§6.5 线性子空间
2
一、线性子空间
1、线性子空间的定义
§6.5 线性子空间
12
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即 Pn 由它的一组基生成.
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L , n 1
就是W3的一组基.
§6.5 线性子空间
10
例6 设V为数域P上的线性空间，1,2 ,L ,r V
令W {k11 k22 L krr ki P,i 1,2,L ,r}
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1,2 ,L ,r 的一切Fra bibliotek性就是V中的零元， 3）成立．
§6.5 线性子空间
5
例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
子集合 W {0} 是V的一个线性子空间，称之为V的
零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的
子空间称为非平凡子空间．
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间．
量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn的一个子
空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A (aij )sn ；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
§6.5 线性子空间
7
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： W1 {( x1, x2 ,L , xn ) x1 x2 L xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 ,L , xn ) x1 x2 L xn 1, xi P}
例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间．
§6.5 线性子空间
6
例4 n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
a21 x1 LL
as1 x1
a22 x2 L LLLL as2 x2 L
a2n xn LLLL asn xn
0 0
(＊)
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数
其次， , W3 ,k P, 设 ( x1, x2 ,L , xn1,0), ( y1, y2 ,L , yn1,0)
则有 ( x1 y1, x2 y2 ,L , xn1 yn1,0) W3
k (kx1, kx2 ,L , kxn1,0) W3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,
则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．
注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 有基与维数的概念.
② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数.
§6.5 线性子空间
3
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) L ( xn yn )
( x1 x2 L xn ) ( y1 y2 L yn ) 1 1 2
W2 , 故W2不是Pn的子空间.
§6.5 线性子空间
9
下证W3是Pn的子空间. 首先 0 (0,0,L ,0) W3, W3
§6.5 线性子空间
8
1 (1,1,0,L ,0), 2 (1,0, 1,0,L ,0), L L ,
n1 (1,0,L ,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x1, x2 ,L , xn ), ( y1, y2 ,L , yn ) 则 ( x1 y1, x2 y2 ,L , xn yn )
