自动控制理论_21利用闭环频率特性分析系统的性能

第5章频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。

频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。

频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。

2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。

频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。

各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。

开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。

3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。

开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。

对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。

4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。

利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。

稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。

M ( j )
M ( )
1 1 jT 1 jT 1 2T 2
1
( ) tg 1T
P( )
Q( )
1 2T 2
1 1 2T 2
1 1 2T 2
T 1 2T 2
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
5.5
用频域法分析系统性能
2．画频率特性曲线 开环频率特性 幅频特性 相频特性 实频特性
G ( j )
k k 1 j j j T k 1 A( ) T
( )

P( ) 0
2
虚频特性 Q() k 1 T 对数幅频特性 L( ) 20lg A( ) 20lg 闭环频率特性 幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性 对数幅频特性
II. 性能分析
① 动态性能（稳、快） 工程上常采用下述方法进行近似计算或定性分析 (1) 图解估算法（近似计算法） (2) 经验公式法（近似计算法） (3) 三频段法（定性分析法） ② 稳态性能（准）
5.5
用频域法分析系统性能
① 动态性能（稳、快） (1) 图解估算法（近似计算法） (i) 幅频特性具有谐振峰值的闭环系统
快速性好，阶跃响应的调节时间短
b 小，带宽窄，系统反映迟钝，失真大，快速性差
5. 系统带宽与信号频谱的关系 (教材p219－222)
5.5
用频域法分析系统性能
三、用频域法分析系统性能 1．建模 2．画频率特性曲线 1) 画系统开环频率特性曲线（Nyquist曲线、波德图） 2) 画系统闭环频率特性曲线（Nyquist曲线、波德图） 3．系统分析 I. 稳定性分析 II. 性能分析（求系统的性能指标） ① 动态性能分析 ② 稳态性能分析

10 s 1)(
s
1)
20 100
解. 绘制L(w)曲线
wc 20
48 10
wc 48 2 96
180 j (wc )
180 arctan 96 90 arctan 96 arctan 96
10
20
100
180 84 90 78.2 43.8 52.1
查 P184 图5-56
不变 → s 不变
L(w) 右移后 wc 增大 → ts 减小
wc 1100 10
180 90 arctan10 arctan 10
1
200
90 84.3 2.86 2.8
三频段理论
L(w)
频段 低频段 中频段 高频段
对应性能
希望形状
开环增益 K 稳态误差 ess
系统型别 v
截止频率 wc 动态性能
s
0 0
相角裕度
ts
陡，高 缓，宽
系统抗高频干扰的能力
低，陡
三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤， 但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向
关于三频段理论的说明：
① 各频段分界线没有明确的划分标准； ② 与无线电学科中的“低”、“中”、“高” 频概念不同； ③ 不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定
解.(1)
G(s) s(
s
10 1)(
s
1)
0.1 20
(2) wc 0.110 1
180 90 arctan 1 arctan 1
0.1
20
90 84.3 2.86 2.8 0 稳定
(3) 将 L(w) 右移10倍频后有
G(s)
s(

mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐