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提取公因式法课件

提取公因式法课件
=－2x（x2－2x+1）
课堂小结
把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式.
今天分解因式的方法： 提公因式法
的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方 向的变形
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
因式分解 整式乘法
(3) x2+4x+4=(x+2)2
解：a（x－3）+2b（x－3） =（x－3）（a+2b）
分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公 因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x） 是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－” 号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y） 解：（1）a（x－y）+b（y－x）
把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式 1、系数的最大公约数 4 2、找相同字母 aｂ 3、相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例2 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因 此可以把(x－3)作为公因式提出来.
提公因式法
• 1、通过探究你发现了什么规律？ • 2、感受因式分解与整式乘法是相反方

因式分解提公因式法ppt

因式分解提公因式法ppt

工程设计
在工程设计中，因式分解可以帮助人们更好地理解问题的本质，例如在力学中，可以将一个复杂的结构表示为几个简单因式的乘积，从而更便于分析和设计。
02
提公因式法的原理及步骤
提公因式法的基本概念
公因式定义
提公因式法的理论基础
提公因式法的原理
确定多项式中的公因式。
提公因式法的步骤
步骤一
将多项式中的每个项都除以公因式，得到商和余数。
01
02
03
提公因式法在面积计算中的应用
在计算几何形状的面积时，可以使用提公因式法将面积表达式化简。
提公因式法在体积计算中的应用
在计算几何体的体积时，可以使用提公因式法将体积表达式化简。
提公因式法在几何中的应用
代数例题
例如，有一个多项式ax³+bx²+cx+d，其中a=3，b=2，c=1，x=5，求这个多项式的值。通过提公因式法，可以将这个多项式化简为3x²(x+1)+2(x+1)-3，再代入x=5得到答案。
数学术语
因式分解可以理解为求解一个方程的逆问题，即给定一个方程的解，反求方程中的未知数。
物理含义
因式分解的定义
1
因式分解的意义
2
3
通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表示为几个简单因式的乘积，从而更便于理解和计算。
简化表达式
数学中的许多公式和定理都可以表示为因式分解的形式，这样便于记忆和应用。
便于记忆
几何例题
例如，有一个矩形ABCD，其中AB=3cm，BC=4cm，求这个矩形的面积。通过提公因式法，可以将这个矩形的面积表达式化简为3×4=12(cm²)。
提公因式法例题解析

提公因式法一ppt课件

提公因式法一ppt课件
(1) 8a
3
b 12ab 4ab
2 4 2 3
1) 4ab( 2a b 3b )
4
(2) 4 x
2 x y 2 x (4 2 x 2 y)
3 3
4. 把下列各式分解因式：
(1) (2)
8 x 2 xy 3 2 4m 6m 2m a b 5ab 9b
3 2
1.填空:（口答）
(1) (2)
(3)
2R 2r 2 ( R r ) 2 3 2 3x 6 x 3 x ( x 2)
7a 21a 7a( a 3 )
2
1 2 1 2 1 gt1 gt 2 g (4) 2 2 2
(t t )
2 1 2 2
2.把下列各式分解因式：
2
(3)
(4)
2x 4x 2x
3 2
1. 提公因式法是最基本的分解因式 的方法之一，其一般步骤是什么？ 2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 如何检验分解因式正误？ 4.你还有什么新的认识与体会吗？
ab bc
2
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
公因式的定义： 一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
例如：
多项式
公因式
ab bc 2 3x 3 y 2 7a 21a
3x 6 x
3 2
b
3
7a 2 3x
观察上述举例，分析并猜想： 确定一个多项式的公因式时， 要从 和 数字系数 字母及 其指数 分别进行考虑。
一、因式分解的概念 把一个多项式化为几 个整式的积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分 解因式.

3.2.1提公因式法(二)课件

3.2.1提公因式法(二)课件
珍珠山中学
zhen zhu shan zhong xue
3.2.1 提公因式法（二）
一、复习引入
将下列各式因式分解：
（1）am+an
（2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）-2x2y+4xy2–2xy
二、新知探究
将多项式am+an中的a换成（x-2）后
，公因式是什么？ (x-2)
三、例题精讲
（1）x(x-2)+y(2-x)
解：原式 =(x-2)•x+[-(x-2)•y] =(x-2)•x-(x-2)•y =(x-2)(x-y)
步骤: 第一步，找出公因式; 第二步，提取公因式 ； 第三步，将多项式化成两个 因式乘积的形式。
三、例题精讲
（2）a(a-b)2-b(b-a)2
解:原式=(a-b)2•a-(a-b)2•b =(a-b)2(a-b)
- （6）–s2+t2 =
(s2–t2）
二、新知探究
归纳：
（1）首先判断前后两个多项式底数部分是 相等关系还是互为相反数的关系； （2）当前后两个多项式的底数相等时，添 “+”号； （3）当前后两个多项式的底数部分互为相 反数时，若指数为奇数，添“-”号；若指 数为偶数，添“+”号。 二、新知探究七、拓展提升
因式分解： (m-n)4+m(n-m)3+n(n-m)3
因式分解： m (x-2) + n (x-2)
= (x-2)(m+n )
提取公因式时，有相同的多项式可直接提 出来，多项式的指数取较低的。
三、例题精讲
例2：将下列各式分解因式：
（1）x(x-2)+y(2-x) （2）a(a-b)2-b(b-a)2 （3）m(n-m)3-n(m-n)3 （4）-6(x-y)3+18(y-x)2-24(y-x)3

北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)

北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)

= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1

9.13 提取公因式法课件(共45张PPT)七年级数学上册(沪教版)

9.13 提取公因式法课件(共45张PPT)七年级数学上册(沪教版)

a1ຫໍສະໝຸດ 指数： 相同字母的字母： 最低次数
相同的字母
所以公因式是 4a
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数.
新课讲授
教材第40页
的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
因式分解和整式乘法的过程正好相反，是互为相反 的变形，即
a2 - b2
因式分解 整式乘法
(a + b)(a - b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
当堂练习
12.下列因式分解正确的有( B ) ①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)； ②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)； ③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)； ④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确．此外，当提取 的公因式有“－”号时，应注意括号内各项要变号．
（2）x(a-b)+y(b-a)-3(b-a);
解：原式＝x(a-b)-y(a-b)+3(a-b) ＝(a-b)(x-y+3).
新课讲授
教材第43页
例题5 分解因式：
（3）6(x+y)2 -2(x-y)(x+y).
解：原式＝2(x+y)[3(x+y) －(x－y)] ＝2(x+y)(3x+3y －x + y) ＝2(x + y)(2x+4y) ＝4(x+y)(x+2y).

提取公因式法 课件

提取公因式法 课件
相同因式要写 成幂的形式
求值 4a2 (x 7) a(x 7) 3(x 7), 其中a 5, x 3
把下列各式分解因式:
(1) 24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby
观察下列各式：
x+y=（x+y）1 x2+2xy+y2= （x+y）2 x3+3x2y+3xy2+y3= （x+y）3 x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4= （x+y）4
省略不写，但单独成项时，它
在因式分解时不能漏掉。
5.把(2a + c)(a－b+c)+(b + a)(b－a－c)
分解因式.
【解析】原式=（ 2a+c )(a－b+c)－(b + a)(a－b+c) =（a－b+c)［(2a+c)－(b + a)］
=（a－b+c)(2a+c－b － a） =（a－b+c)(a－b+c ） =（a－b+c)2
（A）-x（4x2-8x+16）
（B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
当多项式第一项系 数是负数时，通常
先提出“ ”号，
使括号内第一项系 数变为正数，注意 括号内各项都要变
号。
另一个因式的
(3)若多项式-6项式ab数 的+与项18原数a多一bx项致+24aby的一个因式是

因式分解-提公因式法PPT演示课件

因式分解-提公因式法PPT演示课件
20
拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
21
2.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
24
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
25
5
合作探究
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
6
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是各项整数系数的 最大公约数。 定字母： 取各项的相同的字母 相同字母的指数取次数最低的， 定指数：
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
2
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x

人教版数学《提公因式法》课件详解

人教版数学《提公因式法》课件详解
人教版数学《提公因式法》课件详解
人教版数学《提公因式法》课件详解1
6．多项式 x2m－xm 提取公因式 xm 后，另一个因式是
A．x2－1
B．xm－1
C．xm
D．x2m－1
B
()
人教版数学《提公因式法》课件详解1
人教版数学《提公因式法》课件详解1
7．若 m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n 的值是
；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n 分解因式的结果
是
(1＋x)n＋1
.
人教版数学《提公因式法》课件详解1
C
()
2．下列因式分解正确的是 A．3x2－xy－x＝3x(x－y－1) B．－4xy2＋2xy－3y＝－y(4xy－2x－3) C．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D．2x(2x－y)－y(2x－y)＝(2x－y)2
D
()
知识点 2：提公因式法分解因式
1．公因式：各项都含有的 公共
的因式．
2．提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
知识点 1：因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的 积 的形式，这种式子的变形叫做 把这个多项式分解因式(或多项式的因式分解)．
1．下列从左到右的变形中属于因式分解的是 A．(a＋4)(a－4)＝a2－16 B．x2＋5x＋1＝x(x＋52m2n＝6m·7mn
A．－5
B．－2
C．10
D．－10
C
()
人教版数学《提公因式法》课件详解1
人教版数学《提公因式法》课件详解1
8．把下列各式分解因式： (1)6x(a－b)＋8y(b－a)； 解：原式＝6x(a－b)－8y(a－b) ＝2(a－b)(3x－4y)．

《提公因式法》分解因式PPT课件3

《提公因式法》分解因式PPT课件3
(5) a(a+1)(a-1)=
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)

提公因式法 课件

提公因式法 课件

(3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式
第三步，整式乘法检验
4、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽 （2）不遗漏1项 （3）多项式的首项取正号
The end,Thank you!
2、第一项为负，先提取负号
练一练
3
分解因式
2 2
(1)2ax 6a x
(2)27a bc 9ab c 3abc
2 2
2
(3) 3ab 6abc 9ac
(4) 5a 10ab 5abc
小结与反思
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：
(1)定系数
(2)定字母(因式)
提公因式法
近年来，由于过度采伐森林和破坏植被，使我国
许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，我国土地沙漠化
问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了
一次植物造林活动。每队都种树36行，其中一队种
树99列，二队种树100列，三队种树101列，完成这
次植树活动共需要多少棵树苗？
保护环境 从我做起
列式：36×99+36×100+36×101 =36×（99+100+101） =36×300=10800（棵） 36 ×99+36 ×100+ 36× 101 = 36 × 99 +100 +101） m a m b m c m （a b c m· a+m· b+m· m (a+b+c) c= 利用整式乘法验证： m (a+b+c)= m· a+m· b+m· c
探究与交流

提公因式法(公开课经典课件)

提公因式法(公开课经典课件)
正数，在提出“ ”
时，多项式的各项都 要变号。
第十三页，共二十七页。
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有 什么 关系？ (shén me)
当公因式是单项式时，提公因式法因式
分解与单项式乘多项式是一个(yī ɡè)互逆的过 程。
第十四页，共二十七页。
好礼等你拿
第十五页，共二十七页。
小亮(xiǎo liànɡ)解的有误吗？试说明理由 ，并给出正解
35 15
第二十一页，共二十七页。
你今天这节 课有什么收
获呢？
我今天学到了 ……
第二十二页，共二十七页。
课堂小结
多项式各项都含有的相同的因式(yīnshì)叫做多项式的公因式 。如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式
提出(tí chū)来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，这种因式
第二十三页，共二十七页。
作业 ： (zuòyè)
第二十四页，共二十七页。
来反 过
“人与人之间的区别，主要是脖 子以上(yǐshàng)的区别——思维方 式决定一切!” ——比尔·盖茨
平常的思维，只能让我们成为 (chéngwéi)平常的人；不平常的思维， 才能让我们做成不平常的事，从 而造就不平常的人。
因式，正确的选项（ ）D
（A)6（a-3ax ） （B）3a（1+3x）
（C）3a（2-6x） （D）6a（1-3x）
第十七页，共二十七页。
分解 下列多项式 (fēnjiě)
12x2y18xy2
解：原式= 6 xy (2x3y)
第十八页，共二十七页。
若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解(fēnjiě)

提公因式法专业知识课件

提公因式法专业知识课件

例如：
多项式
ab bc 3x2 3y 7a2 21a
3x3 6x2
公因式
b
3
7a
3x2
观察上述举例，分析并猜测：
拟定一种多项式旳公因式时，
要从 数字系和数 字母及 其指数 分别进行考虑。
数字系数 公因式旳系数应取各
项系数旳最大公约数. 字母及其指数
公因式中旳字母取各项相
同旳字母，而且各项相同字母 旳指数取其次数最低旳.
1. 提公因式法是最基本旳分解因式 旳措施之一，其一般环节是什么？ 2. 提公因式法旳关键是什么？ 3. 怎样检验分解因式正误？
4.你还有什么新旳认识与体会吗？
(4) ab(8a2b 12b2c 1) 8a3b2 12ab3c ab
1、找出下列多项式中各项中 具有旳相同因式.
ab bc b a c 3x2 源自9x 3xx 3 my2 ny y ymy n 1
公因式旳定义：
一种多项式各项都具 有旳相同因式, 叫做这个 多项式各项旳公因式.
一、因式分解旳概念 把一种多项式化为几
种整式旳积旳形式,这种 变形叫做把这个多项式分 解因式.
二、整式乘法与分解因式 之间旳关系.
互为逆运算
三、分析下列计算是整式乘法中
旳哪一种并求出成果: (口答)
(1) 3(x 2) 3x 6 (2) 7x(x 3) 7x2 21x
(3) 4x(6x2 3x 7) 24x3 12x2 28x
写出下列多项式各项旳公因式：
(1) 8x 72
8
(2) a2x2 y axy2
axy
(3) 4x2 2x 2x3
2x
(4) 6a2b 4a3b3 2ab 2ab

3.2 提公因式法课件

3.2 提公因式法课件
7a(x 3)与(x 3)的 公因式是（x - 3）.
知识应用
随堂练习2：将下列多项式进行因式分解 1、 2a(b2 c2 ) 3(b2 c2 ) 2、 2a( y z) 3b(z y)
课堂小结
公因式
多项式各项中公共的因式
找公因式的方法 一看系数，二看字母，三看指数
3.2 提公因式法（一）
巧算
你能快速地计算这个式子吗？ 比一比，看谁最快得到答案。
（1）3×87+3×13=3×(87+13)=300
公因数 提公因数法
（2）100b+100c= 100(b+c)
自主探究
自主探究
我们把多项式各项 中公共的因式，叫 做它们的公因式。
自主探究
如果多项式的各项有公因 式，可以把这个公因式提到括 号外面，这种因式分解的方法 叫做 提公因式法 .
指数：最低次
新知探索 每一项提完公因式后，还剩下什么因式？
(1)x2 xy x

(2)8a2 2ab 2a

(3)8x3 12x2 4x2

(4)21m2n2 14m3n 35mn3 7mn

知识应用
例1 把 4x2 6x 因式分解
知识应用
例2 把 5x2 3xy x 因式分解
如果公因式是多项式某项 整项，提出后应该剩下1.
知识应用
随堂练习1：将下列多项式进行因式分解
1、 30xΒιβλιοθήκη y2 48x2 yz 2、 4n2m5 6m3 2m当2 多项式第一项系数是
负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数。
知识应用
例3 把 7a(x 3) (x 3) 因式分解
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4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
巧妙计算
(1)
； 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
1 13.8×0.125+86.2× 8
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
=12.5
1 1 1 1 1 1 7 7 7 （1） 259 ＋ 259 259 259 259 259 ＋ 259 259 259 3 33 55 5 15 15 15 1 1 1 17 7 解：原式＝ 259 （ ＋ ＋ ） ） × 解：原式＝ 259 （ 3 3 5 5 15 15
解：原式
(4a bc 10ab c 2abc) 方法一 2abc(2a 5b 1)
2 2
解：原式
10ab c 4a bc 2abc) 方法二 2abc(5b 2a 1)
2 2
1.分解因式： ①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1 解：原式＝2xmyn (2b－3xy2＋x2y)
（ 3）4kx － ky= k（4x － y） （4）8x － 72= 8（x －9） （5）a2b － 5ab= ab（a － 5）
（6）a2b － 2ab2+ab = ab（a － 2b+1）
（7）4m3 － 6m2= 2m2（2m － 3） （8）a2b － 5ab+9b= b（a2 － 5a+9）
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
正确解：原式=
- (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负。
课堂练习
1.把下列多项式分解因式
（1）3a+3b= (3) 3a2-9ab= (2) 5x-5y+5z= (4) -5a2 +25a=
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是： 1、定系数：公因式的系数多项式各项 中系数的最大公约数．
2、定字母：字母取多项式各项中都含 有的相同的字母． 3、定指数：相同字母的指数取各项中 最小的一个，即字母的最低次数．
提取系数为负的因式，没有变号 病因：__________________________
7ab 14abx 49aby 7ab(1 2 x 7 y) 药方：__________________________
（4） 4a b 6ab 8a 2ab(2a 3b) 8a
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
3.试说明:817－279－913能被45整除.
解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=324×45 ∴817－279－913能被45整除.
例题讲解 例1 把下列各式因式分解： (1) 3x+x3 3 2 (2) 7x -21x (3) 8a3b2-12ab3c+ab
随堂练习
课本第144页随堂练习
诊断
小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽， 还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
解：原式＝(x＋y－z)(a＋b－c) ③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2
解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
2.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x
因式分解
一个多项式
x( x 1)
积的形式
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习： 对概念的透彻理解
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
（C）-6ab2 （D）-6a3b2C
（3）若多项式-6ab+18abx+24aby的一 个因式是-6ab，那么另一个因式是 （D ）
（A）-1-3x+4y
（C）-1-3x-4y
（B）1+3x-4y
（D）1-3x-4y
2、将下列各式分解因式
（1）ma+mb= m（a+b） （2）5y3+20y2= 5y2(y+4）
= 259 （2） 992＋99． 99 ×99 99+ 99 解：原式＝ 99 （ 1 ）
；
= 99 ×(99+1)
= 9900
小结
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： (1)定系数; (2)定字母; (3)定指数.
记住哟！
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
发现新知
（2） 2a(b+c) - 3(b+c)
解：原式= (b+c) (2a-3)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法 。
把下列多项式分解因式：
（1） a2 ( x 3 y)2 b(3 y x)2
解：原式
( x 3 y) (a b)
整式的乘法 1、计算下列各式: x(x+1)= x2 + x；
2、请把下列多项式写成整式乘积的形式.
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式 后剩余的项是1。
=x(3x-6y+1)
正确解：原式=3x x-6y x+1 x
. . .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注意：某项提出莫漏1。
诊断
小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
（2） 9a 6ab 3a 3a(3a 2b)
2
漏掉一个因式“1” 病因：__________________________
9a 6ab 3a 3a(3a 2b 1) 药方：__________________________
2
（3）
7ab 14abx 49aby 7ab(1 2 x 7 y)
因式分解
整式乘法
整式乘法 因式分解
整式乘法
因式分解 因式分解
二 探索发现
这几个多项式有什么特点？ (1) ma+mb+mc=( m )( a+b+c ); (2) x2 +x =( x)( x+1 ); (3) ax-ay=( a )( x-y ) .
多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式．
二 探索发现
因式分解：
ma mb mc
解:
ma mb mc m(a b c)
公因式 提公因式法 多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这 种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉1; （3）提出负号时,要注意变号.
复习旧知
用提公因式法将下列各式分解因式
（1）7x2 - 21x 解：原式= 7x x -3

用提公因式法分解因式的步骤 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式,(即将多 项式化为几个因式的乘积)
（ 1）
6x2 y 2 z 9xy3 3xy(2xyz 3 y 2 )
还有公因式没提取 病因：___________________________
2 2 3 2 6 x y z 9 xy 3 xy (2xz 3 y ) 药方：___________________________