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提公因式法公开课 PPT

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《提公因式法》课件

《提公因式法》课件

解析
• 类型一解析 • 题目一解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)^2=0，解得x=-2。 • 题目二解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)=x^2-4，直接开平方得到x^2-4=0，解得x=±2。 • 题目三解析：将原式进行因式分解，得到(x+3)(x-3)=x^2-9，直接开平方得到x^2-9=0，解得x=±3。 • 类型二解析 • 题目四解析：将原式进行因式分解，得到(x+4)(x-1)+(x+1)(x-4)=3x^2-8x-3，直接开平方得到3x^2-8x-
提公因式的性质
唯一性
对于一个多项式，如果存在公因式，那么这个公因式是唯一 的。
不可约性
如果一个多项式的公因式是可以约掉的，那么约掉后剩下的 多项式一定还有其他的公因式。
提公因式的应用
分解因式
通过提公因式法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积，以 便于进行进一步的数学运算。
解决实际问题
3=0，解得x=(8±√(64+4×3×8))/6=(4±2√13)/3。 • 题目五解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=4x^2-19x+10，直接开平方得到4x^2-
19x+10=0，解得x=(19±√(19^2-4×4×10))/8=(19±√371)/8。
提公因式法在实际问题中也有广泛的应用，比如在解决一些简单的数学建模 问题时，可以通过提公因式法简化计算。
02
提公因式法的理论基础
域的扩张
定义
域扩张是将一个域中的元素映射到另一个域中，使得映射保持域中元素的加法、 乘法等运算
常见的域扩张
整数到多项式、多项式到复数、实数到复数

提公因式法公开课PPT

提公因式法公开课PPT
A. 6ab2c B. ab2 C. 6ab2 D. 6a3b2 • 若多项式−6ab+18abx+24aby的一个因式是
−6ab，那么另一个因式是（ D ）
A. 1−3x+4y B. 1+3x−4y C. −1−3x−4y D. 1−3x−4y
动笔练一练
分解下列因式
12xyz−9x2y2=
3xy(4z−3xy)
630=2×32×5×7
• 一个数可以写成若干个因数乘积的形式， 整式能不能这样做呢？
动脑想一想
• 请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
x2+x= x(x+1) 。 x2−1= (x−1)(x+1) 。
观察上面的式子， 你发现了什么？
因式分解
x2+x x (x+1)
• 刚才我们把一个多项 式化成了几个整式的 积的形式。
x2−4y2=(x+2y)(x−2y) 正确的因式分解
x2+4x+4=x(x+4)+4 错误的因式分解
(a−3)(a+3)=a2−9
整式乘法
x3−x=x(x2−1)
错误的因式分解
2πR+2πr=2π(R+r) 正确的因式分解
动笔练一练
• 多项式6ab2+18a2b2−12a3b2c的公因式（ C ）
的多项式。
因此公因式就是 3(b+c)
动脑想一想
−27bc+3bc2 的公因式
系数最大公约数是 因此公因式就是 −3bc2
多项式首项是 负号，一般先 把负号一并提
入公因式。
动脑想一想
速算下面的这道有理数运算题 计算：7.6×201.5+4.3×201.5−1.9×201.5 解：原式=201.5×（7.6+4.3−1.9）

提公因式法ppt课件

提公因式法ppt课件
知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x

＋

)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )

提公因式法ppt课件

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用“ ”来“留守”，不能为“ ”.
【正解】 − + = ( − +) .
1. 下面的多项式中，能分解因式的是( D )
A. +
B. − +
C. −
2. 下列多项式中，哪个多项式各项的公因式是 ？ ( A )
A. +
化难为易．比如：
简便计算：19＋19 2－20 2．
解：原式＝19×(1＋19)－20 2
＝19×20－20 2＝20×(19－20)＝－20．
3．运用提公因式法分解因式，简便计算：
9×168＋9×723＋9×109．
解：原式＝9×(168＋723＋109)＝9 000．
4．【例1】下列式子变形是因式分解的是( D )
【点拨】先采用提公因式法分解所求式子，从而改变式子的结构，然后整体代入
即可求值.
变式 已知 + = ， = ，求 ( + )( − ) − ( + ) 的值.
解： ∵ + = , = ，
∴ 原式 = ( + )[( − ) − ( + )]
（2） 若分解式子： + + (+) + (+) + (+) ，则需应用上述方法____

(+)
次，结果是__________．
（2） ( − ) − ( − ) .
解：原式 = ( − )( − − ) .
8. 已知 = ， + = ，求 + 的值.
解： ∵ = , + = ( + ) = ，

提公因式法公开课课件

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例题精讲
例1： 把 8a3b2 12ab3c分解因式
提公因式法步骤： 一 找； 二 提.
如何检验因式分解是否正确？
举一反三： (1)ax ay
(2)3mx 6my
（3）8m2n 2mn
（4）12 xyz 9x2 y2
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接 提出.
整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
根据上面的运算，你能把下列
多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=___x_(_x_+_1_)___; (2)x2 – 1=__(x_+_1_)_(_x-_1_)_ .
知识要 点1
把一个多项式化成了几个整式 的积的形式，像这样的式子变形 叫做这个多项式的因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．
多项式 ①ax+ay+a
公因式 a
②3mx-6nx2
3x
③4a2b+10ab2 2ab
④x4y3+x3y3
x3y3
⑤ (m n)2 2(m n) （(m+n)）
注：多项式的公因式可以是一个单 项式，也可以是一个多项式。
3ab+9b2 =3b(a+3b)
如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写 成公因式与另一个因式的乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).

提公因式法PPT课件(华师大版)

提公因式法PPT课件(华师大版)

分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是
4 27
；两
项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，
所以公因式是
4 27
xy2.
(3)视察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公 因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”，应将“－”提取变为－(27a2b3－ 36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最 大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低 次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中
有公因式的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
知识点 2 提公因式法分解因式
提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
总结
准确地找出公因式是分解因式的关键，(3)题将(x－ 2y)3和(2y－x)3化成同底数幂时，要注意符号的变化．
1 2x(－x＋y)2－(x－y)3分解因式应提取的公因式
是( )
A．－x＋y
B．x－y
C．(x－y)2
D．以上都不对
2 (中考·邵阳)把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2)
12.5 因式分解
第2课时 提公因式法
公因式的定义 提公因式法分解因式
知识点 1 公因式的定义
试一试(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)中m的特点.
公因式的定义：多项式中的每一项都含有一个相同 的因式，我们称之为公因式．

《提公因式法》课件 (2)

的方法
因式分解
通过提取公因 式，将多项式 简化成更简单
的形式
简化多项式
提公因式法的应 用
提公因式法可以应用于化简代数表达式和解决数学问题。通 过提取公因式，我们可以简化复杂的表达式，从而更容易解 决数学问题。
提公因式法的基本原理
将多项式中的公共 因子提取出来
公共因子提取
将剩余部分相加得 到最终结果
● 03
第3章 提公因式法的拓展
提公因式法在实 际问题中的应用
提公因式法不仅可以在数学中使用，也可以应用在物理问题 的解决中。通过提供一个实例，我们将演示如何利用提公因 式法来解决物理问题，展示其在不同领域的广泛应用。
01 提公因式法
优点：简单易懂；适用范围广
02 其他因式分解方法
优点：更精确；适用于复杂问题
相得结果
01 例如：将4x+8y分解为4(x+2y)
分解多项式
02
03
提公因式法的举例
通过具体例子 演示提公因式
法的应用
具体例子
分步骤解决问 题，达到简化 多项式的目的
分步骤解决
● 02
第2章 提公因式法的操练
01 复杂多项式
给出一个复杂的多项式
02 提公因式法
让学生尝试使用提公因式法进行因式分解
03 学习目标
掌握提公因式法的应用
操练二
代数表达式
提供一组代数表达 式
解题要求
独立完成因式分解
公因式
要求学生使用提公 因式法找出公因式
操练三
设计多项式
让学生自己设计一个多项式 培养创造力
交换作业
同学交换作业，互相学习 体验提公因式法的乐趣
操练四

提公因式法PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件

第3页
6．(例题变式)分解因式： (1)－7ab－14a2bx＋49ab2y； 解：原式＝－7ab(1＋2ax－7by) (2)6x(a－b)＋4y(b－a)． 解：原式＝2(a－b)(3x－2y)
第4页
7．以下因式分解中错误是( A) A．x3－3x2＋x＝x(x2－3x) B．(a－b)2－(b－a)＝(a－b)(a－b＋1) C．xn－xn＋1＝xn(1－x) D．2t－3t2＝t(2－3t) 8．分解因式(a＋b)(a＋b－1)－a－b＋1结果为_____(_a_＋__b_－__1_)2_.
第2页
知识点3：用提公因式法分解因式 4．以下多项式分解因式，正确是( B) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2) 5．分解因式： (1)(·济南)xy＋x＝____x_(_y_＋__1_)； (2)(·广州)2mx－6my＝____2_m__(x_－__3_y．)
(2)9992＋999. 解：原式＝999000
第7页
方法技能： 1．提公因式时，取多项式各项系数最大条约数作为系数，取相同字 母(或因式)最低次幂作为字母因式． 2．第一项若是负可先提出负号，提出负号时各项要变号；当公因式 与某一项相同时，提公因式后此项为1，注意不要漏项． 易错提醒： myn＋2＋xm－1yn＋1； 解：原式＝xm－1yn＋1(3xy＋1) (2)(m－n)4＋m(m－n)3＋n(n－m)3. 解：原式＝2(m－n)4
第6页
10．(习题 4 变式)利用因式分解计算： (1)67×15－17×15－172×15； 解：原式＝－15

提公因式法(公开课经典)ppt课件

20
先分解因式,再求解： 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解： a2b ab2 ab(a b)
35 15
21
你今天这节 课结
多项式各项都含有的相同的因式叫做多项式的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，
课前准备：课本、导学案、练习本 ，双色笔
还有你的激情与目标！相信自己！
课前赠言： 1.我的课堂，你做主。 2.你是独一无二的，相信自己！ 3.提出问题比解决问题更重要。
1
什么是因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法
12
知识储备
例4： – 24x3 +12x2– 28x
解：原式= (24x312x2 28x ) ( 4x 6x24x 3x 4x 7) = 4x ( 6x23x7)
当多项式第一项的系 数是负数时，通常先
7
合作探究
用心观察，找出下列多项式的公因式
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
2x2+6x3
公因式
4 4a 4a2b
2x2
8
你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流
2x2+6x3
解：2x2+6x3 = 2x2 + 2x2·3x
= 2x2 (1+3x) 如果一个多项式的各项含

浙教版七年级数学下册第四章《提取公因式法》公开课课件 (共21张PPT)

小强的解法: 2ab+4abc=2(ab+2abc) =2ab(1+2c) 小蔡这样做: 2ab+4abc=2a(b+2bc) =2ab(1+2c)
小丁的做法: 2ab+4abc=2ab(1+2c)
课本100页
多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
如：bx+ax的公因式是x．
找 3 x 2 – 6x 的公因式。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
❖ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月30日星期五2021/7/302021/7/302021/7/30
6b.2
= 3.7 × 10 = 37(m2)
ma+mb=m(a+b)
4.2 提取公因式法
观察下列多项式有何共同点？
amm + mmc
3xx2 + xx
abb2 + nbb + bb.
试试一看般！地，提取谁公的因做式法后，比应较使正多确项?
式余请大下家的开各动项脑不筋再,能含否有把公多因项式式；且注意 不要2a漏b+项4a。bc分解因式?
如图，一块菜园由两个长方形组成，
这些长方形的长分别是3.a8m和6.b2m，
而且宽都是3.m7 m，如何计算这块菜园
3.a8 3m.7 菜园
的面积呢？ 列式：3m.7 × 3a.8 + 3m.7 ×6b.2
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解：原式= (24x312x2 28x ) ( 4x 6x24x 3x 4x 7) = 4x ( 6x23x7)
当多项式第一项的系 数是负数时，通常先
提出“ ”号，使括
号内第一项系数成为
正数，在提出“ ”
时，多项式的各项都 要变号。
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项 式有什么关系？
你今天这节 课有什么收
获呢？
我今天学到了 ……
课堂小结
多项式各项都含有的相同的因式叫做多项式的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
如何确定公因式 1.系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数
x2 + x 因式分解 x(x 1)
一个多项式 整式乘法
积的形式
因式分解与整式乘法互为逆运算.
提公因式法
驻马店市第八中学 张新宁
八北
年
级师
下 册
版
第
四
章
第
二
节
学习目标
• 1.经历探索、认识多项式各项公因式的过程，并 在具体问题中，能确定多项式各项的公因式；
• 2.会用提公因式法把多项式因式分解（多项式中 的字母指数仅限于正整数），理解添加括号的 方法；
多项式中的公因式是如何确定的？ 例 : 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式。
3
定系数
2 定指数 x
定字母
所以，公因式是3x2
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数：公因式的系数是各项整数系数的
最大公约数。
定字母：取各项的相同的字母。
定指数：相同字母的指数取次数最低的，
即相同字母最低次幂。
因式,则要提取的公因式是 (a b)x .
把a(m 2) b(2 m) 分解因式后得__m_____2____a____b__
先分解因式,再求解： 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解： a2b ab2 ab(a b)
35
15
谢谢老师们的聆听！ 祝同学们：天天快乐，学业有成。
合作探究
用心观察，找出下列多项式的公因式
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
2x2+6x3
公因式
4 4a 4a2b
2x2
你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流
2x2+6x3
解：2x2+6x3
= 2x2 + 2x2·3x
= 2x2 (1+3x)
如果一个多项式的各项含 有公因式，那么就可以把 这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘 积的形式，这种因式分解
• 3.进一步理解因式分解的意义，培养直觉思维， 感受整体代换的思想方法；
探究新知
想一想
以下几个多项式有什么共同的特征： （1） 2πR＋2πr （2） ma＋mb （3） cx－cy＋cz
共同特征：各式中的多每一项项式都含各有项一个都相含同的有因的数或相因式 同因式，叫做这个多项 式各项的公因式。
的方法叫做提公因式法。
知识储备
例1：用提公因式法分解因式
3x+x3
解：原式= x 3+ x2
用提公因式法分解因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，(即将多 项式化为几个因式的乘积)
知识储备
例2： 8a3b2-12ab3c+ab
× 解:原式=ab (8a2b-12b2c) =ab(8a2b-12b2c+1)
课前准备：课本、导学案、练习本 ，双色笔
还有你的激情与目标！相信自己！
课前赠言： 1.我的课堂，你做主。 2.你是独一无二的，相信自己！ 3个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
2.字母：字母取多项式各项中都含有的 相同的字母 3.指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，
即：字母最低次幂
4.多项式各项的公因式可以是单项式 ，也可以是 多项式
作业：
“人与人之间的区别，主要是 脖子以上的区别——思维方式 决定一切!” ——比尔·盖茨
平常的思维，只能让我们成为 平常的人；不平常的思维，才 能让我们做成不平常的事，从 而造就不平常的人。
当公因式是单项式时，提公因式法因 式分解与单项式乘多项式是一个互逆的 过程。
好礼等你拿
小亮解的有误吗？试说明理由，并 给出正解
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
当多项式的某一 项和公因式相同 时，提公因式后 剩余的项是1
知识储备
例3： 2a(b+c) - 3(b+c)
解：原式= (b+c)(2a-3) 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，
也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法
知识储备
例4： – 24x3 +12x2– 28x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1
若对多项式6a-18ax进行分解
因式，正确的选项（ D ）
（A)6（a-3ax ） （B）3a（1+3x） （C）3a（2-6x） （D）6a（1-3x）
分解下列多项式
12x 2y 18xy 2
解：原式= 6xy (2x 3y)
若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解