2016年浙江大学高等代数考研试题
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十、 V 是有限维线性空间, W, V1, V2 是它的子空间, V = V1 ⊕ V2.
(1) 证明: (W ∩ V1) + (W ∩ V2) 是 W 的子空间, W 是 (W + V1) ∩ (W + V2) 的子空间; (2) 证明商空间 W/ ((W ∩ V1) + (W ∩ V2)) 与 ((W + V1) ∩ (W + V2)) /W 维数相同; (3) 证明: W = (W ∩ V1) ⊕ (W ∩ V2) ⇔ W = (W + V1) ∩ (W + V2).
六、 已知 A−1(具体记不清了, 是一个 3 × 3 可逆阵, BC − 2A 中元素有关, 求出 AB 可求出, 算出来是可逆的), X 满足
X
+
((
AT
)−1 B
AT
)−1
=
( X
BT
(
ABT
)−1
)−1 A2
(A
+
B)
,
求出 X. 七、 T 是线性空间 V 上的线性变换, 在某组正交基下的矩阵是 A, T∗ 是另一线性变换,
∀v ∈ V, w ∈ V 有 (Tv, w) = (v, T∗w). (1) 求 T∗ 在该基下的矩阵; (2) 证明 (Im T∗)⊥ = ker T.
八、 矩阵 A 正定, 求证 A 中绝对值最大的元素可在主对角线上取到.
九、 T 是线性空间 V 上的线性变换, Tk = idv(恒等变换), 求证: T 可对角化.
一、 A 是不可逆矩阵, A∗ 为 A 的伴随矩阵. 证明使 kE + A∗ 为不可逆矩阵的非零复数 k 至多 两个.
二、 P[x] 是所有一元多项式的全体.
பைடு நூலகம்
(1) 求证 P[x] 不是有限维线性空间.
(2) f1 (x) , f2 (x) , · · · , fn (x) 与 g1 (x) , g2 (x) , · · · , gs (x) 生成的空间相同. 求证: f1 (x) , f2 (x) , · · · , fn (x) 的最大公因式与 g1 (x) , g2 (x) , · · · , gs (x) 相同.
注：本试题来源于南大考研群的疾风劲草，同时感谢 yogort 的工作。
考试科目：高等代数
第1页 共1页
{
}
四、 k 是整数, α 是 x4 + 4kx + 1 = 0 的一个根, 判断 Q [α] = a0 + a1α + a2α2 + a3α3 |ai ∈ Q
是不是域.
五、 V 是有限维线性空间, V1, V2 是它的子空间且 dim V1 + dim V2 = dim V. 求证: 存在线性 变换 T, 使得 V1 = ker T, V2 = Im T.
三、 P[x]n+1 是所有次数不超过 n 的一元多项式全体, f (x) 的次数为 n. 求证: ∀g (x) ∈ P[x]n+1, ∃c0, c1, · · · , cn, 使得 g (x) = c0 f (x) + c1 f ′ (x) + · · · + ck f (k) (x) + · · · + cn f (n) (x), 其中 f (k)(x) 为 f (x) 的 k 阶导数.
浙江大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等代数
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，共 10 大题，每大题 15 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
(1) 证明: (W ∩ V1) + (W ∩ V2) 是 W 的子空间, W 是 (W + V1) ∩ (W + V2) 的子空间; (2) 证明商空间 W/ ((W ∩ V1) + (W ∩ V2)) 与 ((W + V1) ∩ (W + V2)) /W 维数相同; (3) 证明: W = (W ∩ V1) ⊕ (W ∩ V2) ⇔ W = (W + V1) ∩ (W + V2).
六、 已知 A−1(具体记不清了, 是一个 3 × 3 可逆阵, BC − 2A 中元素有关, 求出 AB 可求出, 算出来是可逆的), X 满足
X
+
((
AT
)−1 B
AT
)−1
=
( X
BT
(
ABT
)−1
)−1 A2
(A
+
B)
,
求出 X. 七、 T 是线性空间 V 上的线性变换, 在某组正交基下的矩阵是 A, T∗ 是另一线性变换,
∀v ∈ V, w ∈ V 有 (Tv, w) = (v, T∗w). (1) 求 T∗ 在该基下的矩阵; (2) 证明 (Im T∗)⊥ = ker T.
八、 矩阵 A 正定, 求证 A 中绝对值最大的元素可在主对角线上取到.
九、 T 是线性空间 V 上的线性变换, Tk = idv(恒等变换), 求证: T 可对角化.
一、 A 是不可逆矩阵, A∗ 为 A 的伴随矩阵. 证明使 kE + A∗ 为不可逆矩阵的非零复数 k 至多 两个.
二、 P[x] 是所有一元多项式的全体.
பைடு நூலகம்
(1) 求证 P[x] 不是有限维线性空间.
(2) f1 (x) , f2 (x) , · · · , fn (x) 与 g1 (x) , g2 (x) , · · · , gs (x) 生成的空间相同. 求证: f1 (x) , f2 (x) , · · · , fn (x) 的最大公因式与 g1 (x) , g2 (x) , · · · , gs (x) 相同.
注：本试题来源于南大考研群的疾风劲草，同时感谢 yogort 的工作。
考试科目：高等代数
第1页 共1页
{
}
四、 k 是整数, α 是 x4 + 4kx + 1 = 0 的一个根, 判断 Q [α] = a0 + a1α + a2α2 + a3α3 |ai ∈ Q
是不是域.
五、 V 是有限维线性空间, V1, V2 是它的子空间且 dim V1 + dim V2 = dim V. 求证: 存在线性 变换 T, 使得 V1 = ker T, V2 = Im T.
三、 P[x]n+1 是所有次数不超过 n 的一元多项式全体, f (x) 的次数为 n. 求证: ∀g (x) ∈ P[x]n+1, ∃c0, c1, · · · , cn, 使得 g (x) = c0 f (x) + c1 f ′ (x) + · · · + ck f (k) (x) + · · · + cn f (n) (x), 其中 f (k)(x) 为 f (x) 的 k 阶导数.
浙江大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等代数
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，共 10 大题，每大题 15 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
