离散数学课堂习题及答案
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1.1 命题及其表示法1.下列陈述句中，（）不是命题。
A.2013年国庆节是星期天。
B.火星上有生物。
C.月球距离地球近。
D.上海是大城市。
2.下列命题中，（）是复合命题。
A.江山代有人才出。
B.我花开时百花杀。
C.春江水暖鸭先知。
D.万紫千红总是春。
3.下列命题中，（）是原子命题。
A.燕子飞回南方，春天来了。
B.天才是炼成的，而不是天生的。
C.暮春三月，江南草长。
D.哥白尼指出地球绕太阳转。
4.下列命题中，（）是原子命题。
A.王芳与王菲是姐妹。
B.王芳与王菲是三好学生。
C.王芳与王菲持有驾照。
D.王芳与王菲喜欢早睡早起。
5.下列命题中，（）是原子命题。
A.数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。
B.数学使人精细，逻辑使人善辩。
C.较大的偶数都可表示为两个素数的和。
D.数学是一种语言，也是一种工具。
6.判断一个语句是否为命题，首先看它是否为陈述句，然后再看它是否具有唯一的真值。
1.C2.B3.D4.A5.C6.陈述句，真值1.2 命题联结词1.命题“如果我休假，我将去美丽的黄山旅游。
”的否定可表示为2.命题“每个学生都要考试。
”的否定可表示为3.命题“1既不是素数也不是合数。
”的否定可表示为4.命题“如果我是你，那么太阳从西边出。
”的真值为5.命题“如果时间倒流，那么我们将长生不老。
”的真值为6.命题“2是偶数或3是奇数。
”的否定可表示为（）。
A.2不是偶数或3不是奇数。
B.2不是偶数且3不是奇数。
C.2不是偶数或3是奇数。
D.2不是偶数且3是奇数。
7.设P:中国地处亚洲。
Q:大熊猫产在中国。
R:太阳从西边升起。
求下列复合命题的真值。
（1）(P↔Q)→R（2）（R→(P∧Q))↔┐P（3）┐R→(┐P∨┐Q∨R)（4）(┐P↑Q)↓(Q↑┐R)8.命题“我善良、正直、勤奋、感恩、有责任、有尊严，所以我幸福。
”的否定可表述。
1.我休假且我不将去美丽的黄山旅游。
2.有的学生不要考试。
3.1是素数或合数。
4.1或T5.1或T6.B7.（1）0或F （2）0或F （3）0或F （4）0或F8.我善良、正直、勤奋、感恩、有责任、有尊严，并且我不幸福。
1.3 命题公式及其真值表1.命题公式(P→Q)∧((Q→R)→(P→R))的类型为（）。
A 重言式B 矛盾式C 可满足式D 不确定2.命题公式(P→Q)→R的类型为（）。
A 重言式B 矛盾式C 可满足式D 不确定3.命题公式((P∧Q)∨(P∧R)∨(Q∧R))↔((P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨R))的类型为（）。
A 重言式B 矛盾式C 可满足式D 不确定4.设P：它占据空间。
Q：它有质量。
R：它不断变化。
S：它是物质。
命题“占据空间的，有质量的而且不断变化的叫做物质。
”翻译为。
命题“占据空间的有质量的叫做物质，而且物质是不断变化的。
”翻译为。
5.命题公式┐(P∧Q)→R的成真赋值为。
6.命题公式（P∨Q∨R)↔┐R的成真赋值为。
7.翻译下列命题（1）辱骂和恐吓决不是战斗。
（2）我们要做到德、智、体、美全面发展，为祖国建设而奋斗。
（3）上海到北京的D27次列车是下午五点半或六点开。
（4）如果你有时间，那就陪我去度假。
（5）如果爸爸和妈妈不同意，那我就不去探险。
（6）喝酒不开车，开车不喝酒。
1.C2.C3.A4.(P∧Q∧R)↔ S，((P∧Q)↔ S)∧(S→R)5.001，011，101，110，1116.010，100，1107.（1）P∨Q，其中P：辱骂不是战斗。
Q：恐吓不是战斗。
（2）(A∧B∧C∧D)↔ P，其中A：我们要做到德育发展。
B：我们要做到智育发展。
C：我们要做到体育发展。
D：我们要做到美育发展。
P：我们为祖国建设而奋斗。
（3）P∇Q，其中P：上海到北京的D27次列车是下午五点半开。
Q：上海到北京的D27次列车是下午六点开。
（4）P→Q，其中P：你有时间。
Q：你陪我去度假。
（5）(┐P∨┐Q)→┐R，其中P：爸爸同意。
Q：妈妈同意。
R：我去探险。
（6）(P→┐Q)∨(Q→┐P)，其中P：喝酒Q：开车1.4 逻辑等价1.化简命题公式A∨(┐A∨(B∧┐B)) ⇔。
2.化简命题公式((A→B)↔(┐B→┐A))∧C⇔ C 。
3.化简命题公式(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C) ⇔。
4.已知三元命题公式A(P1,P2,P3)是重言式，则A(┐P1,┐P2,┐P3)是重言式；A(┐P1,P2,P3)是式。
5.已知三元命题公式A(P1,P2,P3)是矛盾式，则A(┐P1,┐P2,P3)是矛盾式；A(P1,P2,┐P3)是式。
6.由三个命题变元能组成个不等价的命题公式。
7.已知A是B的充分条件，B是C的必要条件，D是B的必要条件，A是D的条件。
8.设P与Q是命题变元，则德·摩根律可表示为；吸收律可表示为。
9.下列语句中，（）正确。
A．若P∧R⇔Q∧R，则P⇔QB．若P∨R⇔Q∨R，则P⇔QC．若P→R⇔Q→R，则P⇔QD．若P↔R⇔Q↔R，则P⇔Q10.下列式子中，（）不正确。
A．┐(P↑Q)⇔┐P↓┐QB．┐(P↓Q)⇔┐P↑┐QC．┐(P↔Q)⇔┐P↔┐QD．P↔Q⇔┐P↔┐Q1. T或12.C3.B∧C4.重言式或永真式，重言式或永真式5.矛盾式或永假式，矛盾式或永假式2 7.充分6.328.┐(P∧Q)⇔┐P∨┐Q，┐(P∨Q)⇔┐P∧┐Q；P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P9.D 10.C1.5 联结词的全功能集合1.下列式子中，（）不正确。
A.P→(Q→R)⇒(P→Q)→(P→R)B.P→(Q→R)⇒(P→Q)→RC.P→(Q→R)⇔Q→(P→R)D.P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R2.下列语句中，（）不正确。
A.若P⇒Q，R⇒S，则P∧R⇒Q∧S。
B.若P⇒Q，P⇒R，则P⇒Q∧R。
C.若P⇒Q，R⇒Q，则P∧R⇒Q。
D.若P⇒Q，Q⇒R，则P⇒R。
3.如果P⇒Q，则下列式子中，（）成立。
A.┐P⇒┐QB.┐Q⇒┐PC.P⇒┐QD.┐P⇒Q4.如果A∨B⇔A∨C，┐A∨B⇔┐A∨C，则B⇔C。
其对偶命题为。
5.命题公式P↓┐Q的对偶式可表示为或。
6.已知命题公式┐P→┐Q，其逆换式是为；其反换式是为；其逆反式是为。
1.B2.C3.B4.如果A∧B⇔A∧C，┐A∧B⇔┐A∧C，则B⇔C。
5.P↑┐Q，┐P∨Q6.┐Q→┐P；P→Q；Q→P1.6 蕴含与对偶1.仅用联结词↓表达下列命题公式┐P⇔；P∨Q⇔；P∧Q⇔。
2.命题联结词、、、、、的运算均满足交换律。
3.列举六个命题最小全功能集合为，，，，，。
4.仅用联结词↓表达命题公式P→Q⇔；仅用联结词↑表达命题公式P→Q⇔。
5.试证明{┐,→}，{┐, }，{↑}，{↓}均是最小全功能集合。
6.下列式子中（）不正确。
A．┐(P↑Q)⇔┐P↓┐QB．┐(P↓Q)⇔┐P↑┐QC．P∧(Q∇R)⇔(P∧Q)∇(P∧R)D．P∨(Q∇R)⇔(P∨Q)∇(P∨R)1.P↓P；(P↓Q)↓(P↓Q)；(P↓P)↓(Q↓Q)2.∧、∨、↔、↑、↓、∇3. {┐，∧}，{┐，∨}，{↑}，{↓}，{┐，→}，{┐， }4.P↑(Q↑Q)；((P↓P)↓Q)↓((P↓P)↓Q)5.例1.6.1已证明{┐，∨}是最小全功能集合。
由于P∨Q⇔┐P→Q，即仅用联结词┐与→就可表示┐与∨，故{┐，→}是最小全功能集合。
由于P∨Q⇔┐(┐P∧┐Q) ⇔┐(┐P Q)，即仅用联结词┐与 就可表示┐与∨，故{┐， }是最小全功能集合。
由于┐P⇔P↑P，所以P∨Q⇔(P↑P)↑(Q↑Q)，即仅用联结词↑就可表示┐与∨，故{↑}是最小全功能集合。
由于┐P⇔P↓P，所以P∨Q⇔ (P↓P) ↓(Q↓Q)，即仅用联结词↓就可表示┐与∨，故{↓}是最小全功能集合。
6.D1.7 命题公式的范式1.命题公式(P→(Q∧R))∧(┐P↔ (┐Q∧┐R))的主合取范式为（）。
A．↖(0,7) B．↖(1,2,3,4,5,6)C．↕(0,7) D．↕(1,2,3,4,5,6)2.命题公式(P→(Q∧R))∧(┐P↔ (┐Q∧┐R))的主析取范式为（）。
A．↖(0,7) B．↖(1,2,3,4,5,6)C．↕(0,7) D．↕(1,2,3,4,5,6)3.命题公式(P→(Q∧R))∧(┐P↔ (┐Q∧┐R))的类型为（）。
A．重言式B．矛盾式C．可满足式D．不确定4.命题公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的主合取范式为（）。
A．↖(1,4,5,6,7) B．↖(0,2,3)C．↕(1,4,5,6,7) D．↕(0,2,3)5.命题公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的主析取范式为（）。
A．↖(1,4,5,6,7) B．↖(0,2,3)C．↕(1,4,5,6,7) D．↕(0,2,3)6.命题公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的类型为（）。
A．重言式B．矛盾式C．可满足式D．不确定7.命题公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的主合取范式为（）。
A．↖(2,4,5,6,7) B．↖(0,1,3)C．↕(2,4,5,6,7) D．↕(0,1,3)8.命题公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的主析取范式为（）。
A．↖(2,4,5,6,7) B．↖(0,1,3)C．↕(2,4,5,6,7) D．↕(0,1,3)9.命题公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的类型为（）。
A．重言式B．矛盾式C．可满足式D．不确定10.关于命题公式┐(P∧Q)↔ (Q∧R)的范式，下列结论中（）正确。
A．只有主合取范式。
B．既有主合取范式又有主析取范式。
C．只有主析取范式。
D．既没有主合取范式又没有主析取范式。
11.已知三元命题公式A(P,Q,R)，B(P,Q,R)，C(P,Q,R)的真值表如表1.7.6所示，它们的最简形式分别表示为A(P,Q,R)⇔，B(P,Q,R)⇔，C(P,Q,R)⇔。
1.D2. A3. C4. D5. A6.C7. C8. B9. C 10.B11.P；(┐P∨Q∨┐R)；(┐P∧┐Q)∨(P∧Q∧┐R)1.8 命题逻辑的推理理论1.前提┐P∨Q，┐Q∨P，┐R的有效结论是（）。
题目好像有问题A．Q B．┐P C．P∨Q D．┐Q→R2.前提S→┐Q，S∨R，┐R，┐P↔Q的有效结论是（）。
A．P B．R C．┐P D．┐S3.下列命题公式中，（）不是前提P,P→Q的有效结论。
A．P∨Q B．P∨┐QC．┐P∨Q D．┐P∨┐Q4.证明下列各式。
（1）P∨Q，P→R，Q→S⇒S∨R（2）P→(Q→R)，S∨P，Q⇒S∨R（3）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q⇒┐P（4）S→┐Q，S∨R，┐R，┐P↔Q⇒P（5）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，R⇒P↔Q（6）P→(Q∧R)，┐Q∨S，(E→┐F)→┐S，Q→(P∧┐E)⇒Q→E5.对下面的每一组前提，写出可能导出的有效结论及所应用的推理规则。
