西南大学高等代数历年考研试题

2001高等代数一、判断题，正确的答“对”，错误的答“错”，并对错误的命题举出反例给予说明。

（每小题5分，共30分）1．数域F 上的某n 元线性方程组有解，则其全体解向量可构成F 上线性空间n F 的一个子空间。

2．对称矩阵的伴随矩阵也是对称矩阵。

3．数域F 上一元未定元多项式)(x f 不可约的充分必要条件是对][x F 中的多项式)(x g 和)(x h ，当)()(|)(x h x g x f 时，必有)(|)(x g x f 或)(|)(x h x f 。

4．在任意非零的有限维欧式空间中，对任意的正实数r 存在无穷多其之间的距离为r 的向量对。

5．设σ和τ为数域F 上的某n 维线性空间V 的两个线性变换，若σ和τ具有相同的特征多项式，则σ和τ具有相同的最小多项式。

6．n 元二次型AX X x x x f n '=),,,(21 负定的充分必要条件是A 的顺序主子式均小于0。

二、计算题（每小题10分，共40分）1、求所有λ使01600400040001≠λλλλ2、设4321,,,αααα及4321,,,ββββ是数域F 上的4维线性空间V 的两个基，且V 中向量α在基4321,,,αααα下的坐标为()4,3,2,1，V 中向量β在基4321,,,ββββ下的坐标为()1,2,3,4。

若基4321,,,αααα到基4321,,,ββββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111101111011110，试求向量βα+在基4321,,,ββββ下的坐标。

3、求-λ矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++=00221330010102602206341032)(λλλλλλλλλλλλλλλA 的标准形。

4、通过正交线性替换求二次曲面方程054423222=+-----yz xy z y x 的标准形，并在相应新的直角坐标系中画出草图。

三、证明题（每小题10分，共30分）（注：1—3题由数学教育方向考生完成，4—6题由基础数学专业其它各方向考生完成。

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。