中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1． (10分) 设多项式(),(),()f x g x h x 只有非零常数公因子，证明：存在多项式，使得 (),(),()u x v x w x ()()()()()()1u x f x v x g x w x h x ++=。
2． (10分) 设,,m n p 都是非负整数，证明： 1)++整除。
2(x x 33132()m n p x x x ++++3． (10分) 设A 是n 阶实数矩阵，0A ≠，而且A 的每个元素都和它的代数余子式相等。
证明A 是可逆矩阵。
4． (25分) 计算n 阶行列式2cos 112cos 112cos 112cos 112cos n D ααααα=O OO 5. (20分) 设是齐次线性方程组12,,,n k ααα∈L R 0AX =的基础解系，，,s t ∈R 11211,,,k k k k k s t s t s t 1βααβααβαα−−=+=+=+L 。
试问：应该满足什么关系，使得,s t 11,,,k k βββ−L 是方程组0AX =的基础解系，反之，当11,,,k k βββ−L 是方程组的基础解系时，这个关系必须成立。
0AX =科目名称：高等代数 第1页 共2页5． (15分) 设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。
6． (20分) 已知⎟⎟，试证明对于3n ≥有I 100101010A ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠−22n n A A A =+−，并计算100A ，其中I 表示单位矩阵。
7． (20分) 设二次型2342221231213f 22x x x ax x x x =++++bx x +通过正交变换化为标准形22232f y y ，求参数,a b 及所用的正交变换。
