1 2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
典题精讲
例1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，求线段AB中点的坐标.
思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.
解：设AB中点为O′(x)，∵O′(x)是AB的中点，
∴AO′=O′B.
又∵A(x1)、B(x2)，
∴AO′=x-x1，O′B=x2-x.
由x-x1=x2-x得x=212xx，
∴中点坐标为O′(212xx).
绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，则线段AB中点O′的坐标为(212xx).
变式训练1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，求点C的坐标.
解:根据中点坐标公式，由题意知C(212xx),
则D(22112xxx),即D(4312xx).
例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.
(1)d(x，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.
思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.
解：如图:
图2-1-(1,2)-2
B(1)、A(2)、C(3)、D(4).
(1)d(x，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，
∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).
(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，
∴|x-2|＞1表示射线BO和射线CD(不包括顶点).
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，
∴|x-2|=1表示点B(1)和点C(3).
绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想. 2 变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.
思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.
word 1 / 3 2.1.1 数轴上的基本公式
1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.
2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )
(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故 选D.
3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA和||=||-||同时成立的情况有( B )
(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种
解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.
4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )
(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1
解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.
5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )
(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1 word 2 / 3 (C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2
解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.
数轴上的线段与动点问题
一、与数轴上的动点问题相关的基本概念
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：
1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.
2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2.
3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.
4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系. 二、
数轴上的动点问题基本解题思路和方法：
1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t的式子表示）.
2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t的式子表示）.
3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程.
4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果. 注：数轴上线段的动点问题方法类似
1、已知数轴上A、B两点对应数为－2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x.
A B
－2 －1 0 1 2 3 4
(1) 若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；
（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，
说明理由.
（3）若点A，点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？
数轴上的线段与动点问题 一、与数轴上的动点问题相关的基本概念主要涉及以下几个概数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离. 念：,=|a-b|1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d右边点表示的数=也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离.
—左边点表示的数÷ 2.中点坐标=（a+b）2.两点中点公式：线段AB因此向右运动的速点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，3.这样在起点的基础上加上点的度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.b，向左运动运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a.
a+bb；向右运动b个单位后所表示的数为个单位后表示的数为a—点分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，4.数轴是数形结合的产物，. 在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系 数轴上的动点问题基本解题思路和方法：二、
t.、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间的式子表示）1t的式子表示）. 根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度 2、（一般用含有时间 3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程.
4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果.
注：数轴上线段的动点问题方法类似
AB两点对应数为－2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x、已知数轴上1. 、 A
B
－2 －1 0 1 2 3 4
(1) 若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；
（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由.
（3）若点A，点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？
