2.1.1数轴上的基本公式

§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式【学习要求】1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.填一填：知识要点、记下疑难点1．数轴：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线．2．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 x ，记作 P(x) ．3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做 位移向量 ，简称为 向量 ，从点A 到点B 的向量，记作AB →.线段AB 的长叫做向量AB →的 长度 ，记作 |AB →| .4．相等的向量：数轴上同向且 等长 的向量叫做相等的向量．5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的 坐标或数量 ，用AB 表示．若O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝x 2－x 1.6．数轴上两点AB 间的距离公式为：d(A ，B)＝ |x 2－x 1| .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一 直线坐标系问题1 数轴是怎样定义的？答：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．问题2 实数集与数轴上的点有怎样的关系？答：实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A(x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．解: (1)由题意可得，点M(－2)位于点N(3)的左侧， 而P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合； 当x ≠－12时，x 2＋x ＋1>34，∴A 点位于B 点右侧． 综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧． 小结: 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a 2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．解: (1)∵－1.5>－3， ∴A(－1.5)位于B(－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B(a 2＋1)位于A(a)的右侧． (3)当x ≥0时，|x|＝x ， 则A(|x|)和B(x)为同一个点． 当x<0时，|x|>x ，则A(|x|)位于B(x)的右侧．探究点二 数轴上的向量问题1 阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？答:如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.问题2 什么是向量的坐标或数量？答:我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量．问题3 如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？答: 它们之间是一一对应的．问题4 位移AB →与位移BC →的和是怎样定义的？答: 在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.问题5 对数轴上任意三点A ，B ，C 都具有什么关系？答: AC ＝AB ＋BC.问题6 设AB →是数轴上的任意一个向量，O 为原点，A(x 1)，B(x 2)，那么AB 如何用x 1，x 2表示？答: AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1.问题7 数轴上两点AB 的距离公式是怎样的？答: d(A ，B)＝ |AB|＝|x 1－x 2|.例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点． (1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ； (2)证明：AC ＋CB ＝AB.(1)解: ∵AC ＝AB ＋BC ， ∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明 设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB. ∴AC ＋CB ＝AB.小结: 本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA.解:∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ， B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b ， BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b)－(a －b)＝2b.例3 已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3?解: 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5， 可解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5， 即a －5>5或a －5<－5， ∴a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3， 即－3<a －5<3， ∴2<a<8.小结: 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M ，P)．解: ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，d(M ，P)＝2或d(M ，P)＝8.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C 位于点D 的右侧 ( A )A ．C(－3)和D(－4)B ．C(3)和D(4)C ．C(－4)和D(3)D ．C(－4)和D(－3)2．下列说法正确的个数有 ( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①③④是正确的，故选C.课堂小结：1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A ，B ，C 都有AC ＝AB ＋BC ；②AB＝－BA 或AB ＋BA ＝0.3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．4．数轴上的向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式d(A ，B)＝|AB|＝|x B －x A |.。

思考：
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，

d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2. (2)当点 P 在点 M、N 之外时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.
综上所述，d(M，P)＝2 或 d(M，P)＝8.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.1.1
1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点 C 位
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研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1
探究点一
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直线坐标系
问题 1 数轴是怎样定义的？
答 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数 轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．
问题 2 答 实数集与数轴上的点有怎样的关系？ 实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．
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2.1.1
例 1 (1)如果点 P(x)位于点 M(－2)，N(3)之间，求 x 的取值 范围； (2)试确定点 A(x ＋x＋1)与
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2
3 B4的位置关系．
解 (1)由题意可得，点 M(－2)位于点 N(3)的左侧， 而 P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.
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2.1.1
2.1.1
【学习要求】
数轴上的基本公式
1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数
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轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 【学法指导】 通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量 与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公 式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.

数轴上的基本公式 AB+BC=AC[适用章节]数学②中2.1.1数轴上的基本公式。

[使用目的]使学生通过自操作理解在数轴上向量AB 与向量BC 的和一定是向量AC ，认识到这与A 、B 、C 三点在轴上的位置无关。

[操作说明]初始界面如图2201-1。

图2201-1按钮“动AB ”、“动BC ”、“动AC ”可以分别用粗箭头显示三个向量，“连续动”则直观表达AC BC AB =+，其数量AC BC AB =+通过按钮“计算结果”可以看到，但是你应该首先自己计算在与结果对照。

“还原” 按钮可以使画面还原，以便重新任意选定三点的位置。

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，0A x A = 7.37x B = -4.10x C =1.68煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

思路点拨:依据数轴上两点间的距离公式首先判定不等式或方程表示的点集,然后 在数轴上表示出来. 解:如图 (1)d(x,2)<1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合.所以d(x,2)<1表示线段BC(不 包括端点); (2)|x-2|>1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,所以|x-2|>1表示射线BO和射 线CD(不包括端点); (3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点 C(3).
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的 长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;

则|PA|+|PB|≥|AB|=1,则m≤1,即实数m的取值范围是 (-∞,1].
【补偿训练】已知数轴上有点A(-2),B(1), D(3),点C
在直线AB上,且有 AC＝1 .问:在线段DC上是否存在点
BC 2
E,使 d(C，E)＝1 ?若存在,求出点E的坐标;若不存在,
d(E，D) 4
请说明理由.
【自主总结】1.向量与线段的区别与联系
(1)向量AB 与线段AB既有联系又有区别,向量 AB 的起 点和终点分别是线段AB的两个端点,向量 AB 的长度等 于线段AB的长度,但向量 AB 的两个端点有起点、终点 的顺序之分,而线段的两个端点没有顺序,向量既有长
度又有方向,而线段只有长度没有方向.
(2)注意向量、向量的长度,线段、线段的长度的表示 的区别,向量记为AB ,向量 AB 的长度记为| AB|,线段 记为AB或BA,AB的长度记为|AB|或|BA|.
B.OB=| OB| D.BA=OA-OB
【解析】选B.由于点A在原点的右侧,点B在原点的左 侧,可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大, 即OA=x1>0,OB=x2<0, 所以OA=|OA |=|x1|=x1, OB=x2≠| OB |=|x2|=-x2, AB=x2-x1=OB-OA,BA=x1-x2=OA-OB.所以选项B不正确.
【解析】AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b,BA=-AB=2b. d(A,B)=|x2-x1|=|-2b|=2|b|,d(B,A)=d(A,B)=2|b|.
【方法技巧】 数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量 AB，BC，AC 中的两个的坐标,求另外一个 的坐标时,使用AC=AB+BC求解.

2.1.1 数轴上的基本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被忽视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础．教师一定要下些工夫，让学生牢固掌握．首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系．然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导．也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础．值得注意的是本节内容比较容易接受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀的学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴的复习，理解实数与数轴上点的对应关系，提高学生的应用能力．2．理解实数运算在数轴上的几何意义．掌握用数轴上两点的坐标计算两点距离的公式，掌握数轴上向量加法的坐标运算，提高学生的运算能力，培养数形结合的思想．重点难点教学重点：直线坐标系和数轴上两点间的距离公式应用．教学难点：理解向量的有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.在初中，我们学习了数轴上两点间的距离公式，今天，我们从向量的角度来分析数轴上两点间的距离公式，教师点出课题．设计 2.从本节开始，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节的第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题什么叫做数轴？如下图所示，在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是什么呢？(2)阅读教材，给出向量的有关概念．(3)相等的向量的坐标相等吗？坐标相等的向量相等吗？(4)试讨论AB →＋BC →.(5)对于数轴上的任意一个向量，怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标．(6)写出数轴上两点间的距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 的对应法则是：在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是：如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离．原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应．若点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)．(2)如下图所示．如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上做了一次位移，点不动则说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB →，读作向量AB.点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB→的终点，线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．例如图中的AB →＝BC →.我们可用实数表示数轴上的一个向量．例如上图中的向量AB →，即从点A 沿x 轴的正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点的向量，3和－3分别叫做向量AB →和BA →的坐标或数量．一般地，轴上向量AB →的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取正数；反之取负数．向量坐标的绝对值等于向量的长度．起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0. 向量AB →的坐标，在本书中用AB 表示．(3)例如在下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等的向量，它们的坐标相等；反之，如果数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.。

O是原点，则下列各式中不成立的是（ 是原点，则下列各式中不成立的是（ 是原点 B ） （A）OA= （B）OB= ）
uuu r uuu r （C）AB=OB－OA （D）BA=OA－OB ） － ） － | OB | | OA |
）
5．在数轴上已知点B的坐标为 ，AB=4， ．在数轴上已知点 的坐标为 的坐标为3， ， 则点A的坐标为 则点 的坐标为 ；1 － 已知点B的坐标为 ， ，则点A的坐 已知点 的坐标为2，=2，则点 的坐 的坐标为 标为 0或4 ； 或 已知点B的坐标为－ ， 已知点 的坐标为－1，BA=2，则点 的坐标为 ， 1 . A的坐标为 的坐标为
uuu r 常用AB表示向量 的坐标。 常用 表示向量 AB 的坐标。
如何理解相等向量？ 如何理解相等向量？ 1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的 同向且等长的向量叫做相等的 ．数轴上同向且等长 向量， 向量，定义中没有对向量的起点和终点 作出限制，实际上不管起点在什么位置， 作出限制，实际上不管起点在什么位置， 只要方向相同，长度相等， 只要方向相同，长度相等，这样的向量 就是相等向量。 就是相等向量。 2．相等的向量，坐标相等，反之，如果 ．相等的向量，坐标相等，反之， 数轴上的两个向量的坐标相等， 数轴上的两个向量的坐标相等，则这两 个向量相等。 个向量相等。
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 ．既有大小又有方向的量， 简称向量 从点A到点 的向量， 向量。 到点B的向量 量，简称向量。从点 到点 的向量，记 uuu r 读作“向量AB”。点A叫做向量 作 AB ，读作“向量 。 叫做向量 起点， 叫做向量的终点 的起点，点B叫做向量的终点； 叫做向量的终点；
uuu r uuu r uuu r | AB | + | BC | + | CA | =

| AB |2 a2 | CD |2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
坐标法 | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2 代 c数2 运算
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 )
A
B
-3等长的向量 叫做相等的向量
相等旳向量
坐标相等
4、位移旳和 （即向量旳和简称和向
(B) C
A
B
量）
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
在数轴上，假如点A作一次位移到点B，接着由 点B再作一次位移到点C，则位移AC叫做位移AB与 位移BC旳和。
记作： AC=AB+BC 基本公式1
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 ) | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | 运A第C算三|成2步果:|把翻BD代译数|2成
所以，平行四边形四条边旳平方和等于两几条何对关角系线。
旳平方和。
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
AC=AB+BC
AB
o x1
x2
3．向量旳坐标表达：
A
B
x1 o x2
设 AB 是数轴上旳任意一种向量，点A旳坐标为x1，点B旳
坐标为x2，因为OB=OA+AB
AB= OB-OA
而OB= x2 OA= x1
则 AB = x2－x1
基本公式 2
4．数轴上两点间旳距离公式：
用d(A，B)表达A、B两点间旳距离， 则 d(A，B) = AB = |x2－x1|.

3向量的表示方法(一）：
A
B
3 2 1 0 1 2 3 4 x
从点A到点B的向量，记作AB
(1)点A叫做向量AB的 起点. (2)点B叫做向量AB的 终点.
(3)线段AB的长度叫做向量AB的 长度.
记作| AB |
4特殊的向量：
单位向量：长度为1的向量.
零向量：长度为0的向量,它没有确定的方向. (或起点和终点重合的向量.)
记作：AC AB BC
AC AB BC
若：AB 3,BC 4
AC AB BC 7
(1)OB OA AB
AB OB OA
(2)AB BC CD DE __A_E_____
(3)AB BC CD DA 0
O
A
3 2 1 0 1 2 3 4 x
AB x2 x1 向量坐标公式
d(A,B) | AB || BA || x2 x1 | 两点距离公式
8练习：
(1)已知A(2)，且的d(A,M) 3求M点的坐标？
M(1)或M（5）
（2）已知| AB | 5，| BC| 3求 | AC | __2_或__8__
(3)A(x1), B(x2)求AB中点M的坐标.
3
(2) | 2x 1| 6
{x |
5 2

x

7} 2
解方程：
（1）| x 3 | | x 1| 5 （2）| x 3 | | x 1| 4 （3）| x 3 | | x 1(1) | 5 （4）| x 3 | | x 1| 4
思考
| AB || BA | 2 | AC || CA | 4

第二章 平面解析几何初步A ．M(－x)与N(x)B ．M(x)与N(x ＋a)C ．M(x 3)与N(x 2)D ．M(2x)与N(2x －1) 答案 D解析 A 项，x 的符号不确定，∴－x 与x 的大小关系不确定，故不能确定两点的相对位置．B 项，由于a 的值不确定，故不能确定x 与x ＋a 的相对位置．C 项，x 3与x 2的大小关系不确定，故不能确定x 3与x 2的相对位置．D 项，∵2x>2x －1对任意实数x 都成立，∴点M 一定位于点N 的右侧．A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB →的大小是数轴上A ，B 两点到原点距离之差的绝对值 答案 B解析 一个点的坐标没有大小，每一个实数对应着无数个位移向量．|AB →|＝|x B －x A |，不一定为|AB →|＝|||x B |－|x A|．故选B ．3．若A(a)与B(－5)两点对应的向量AB 的数量为－10，则a ＝______，若A与B 的距离为10，则a ＝______．答案 5 5或－15解析 ∵AB ＝x B －x A ，|AB|＝|x A －x B |， ∴－5－a ＝－10，解得a ＝5． |－5－a|＝10，解得a ＝5或a ＝－15． 4．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)． (1)当AP ＝2BP 时，求x ；(2)当AP ＞2BP 时，求x 的取值范围； (3)当AP ＝2PB 时，求x ．解 由题意，可知AP ＝3－x ，BP ＝3－2＝1． (1)当AP ＝2BP 时，有3－x ＝2，解得x ＝1． (2)当AP ＞2BP 时，有3－x ＞2，解得x ＜1． (3)由AP ＝2PB ，可得3－x ＝2(－1)，解得x ＝5．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．零向量有确定的方向B ．数轴上等长的向量叫做相等的向量C ．向量AB →的坐标AB ＝－BAD ．|AB →|＝AB 答案 C解析 零向量的方向是任意的，数轴上等长的向量方向不一定相同，不一定是相等向量；向量AB→的坐标AB ＝－BA ，正确；AB 为负数，|AB →|＝AB 不正确．2．数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)，则有：①AB ＋AC ＝0；②AB ＋BC ＝0；③BC>CA ；④|AB →|＋|AC →|>|BC →|．其中，正确结论的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案 C解析 由数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)得，AB ＋AC ＝5－5＝0，①正确； AB ＋BC ＝5－10＝－5，②不正确； BC ＝－10>CA ＝5，③不正确；|AB→|＋|AC →|＝5＋5＝10＝|BC →|，④不正确． 3．已知数轴上两点A ，B ，若点B 的坐标为3，且A ，B 两点间的距离d(A ，B)＝5，则点A 的坐标为( )A ．8B ．－2C ．－8D ．8或－2 答案 D解析 已知B(3)，记点A(x 1)，则d(A ，B)＝|AB|＝|3－x 1|＝5，解得x 1＝－2或x 1＝8．4．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x 等于( )A ．0B ．－163 C ．163 D ．0或－163 答案 D解析 ∵|PA|＝2|PB|，∴|x ＋8|＝2|x ＋4|，解得x ＝0或－163．5．当数轴上的三个点A ，B ，O 互不重合时，它们的位置关系共有六种情况，其中使AB ＝OB －OA 和|AB→|＝|OB →|－|OA →|同时成立的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 答案 B解析 AB ＝OB －OA 恒成立，而|AB →|＝|OB →|－|OA →|成立，则只有点A 在O 和B 中间，共有2种可能．二、填空题6．已知A(2)，B(－3)两点，则AB ＝________，|AB|＝________． 答案 －5 5解析 AB ＝－3－2＝－5，|AB|＝|－5|＝5．7．在数轴上，已知AB →＝2，BC →＝3，CD →＝－6，则AD →＝________．答案 －1解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝2＋3－6＝－1．8．数轴上的点A(3a ＋1)总在点B(1－2a)的右侧，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 因为A(3a ＋1)在B(1－2a)的右侧，所以3a ＋1＞1－2a ，所以a ＞0． 三、解答题9．已知数轴上的点P(x)的坐标分别满足以下情况，试指出x 的各自的取值范围．(1)|x|＝2；(2)|x|＞2；(3)|x －2|＜1．解 (1)|x|＝2表示与原点距离等于2的点， ∴x ＝2或x ＝－2．(2)|x|＞2表示与原点距离大于2的点， ∴x>2或x<－2．(3)|x －2|<1表示与点P(2)的距离小于1的点， ∴1<x<3．10．在数轴上，已知AB →＝3，BC →＝－2， (1)求|AM→＋BC →＋MB →|； (2)若A(－1)，线段BC 的中点为D ，求DC ． 解 (1)|AM →＋BC →＋MB →|＝|AM →＋MB →＋BC →|＝|AB→＋BC →|＝1． (2)由于A(－1)，AB→＝3，BC →＝－2，得x B －x A ＝3，x C －x B ＝－2， 即x B ＝3＋x A ＝2，x C ＝x B －2＝0．所以线段BC 的中点D 的坐标为1．∴DC ＝－1．►2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式1．已知A(1，2)，B(a ，6)，且|AB|＝5，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4或2 C ．－2 D ．－2或4 答案 D 解析(a －1)2＋(6－2)2＝5，∴a ＝4或－2．2．已知△ABC 的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形 答案 C解析 ∵d(A ，B)＝[1－(－1)]2＋02＝2，d(B ，C)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＝1， d(A ，C)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－(－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＝3， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC 为直角三角形．故选C ．点的距离是( )A ．4B ．13C ．15D ．130 答案 D解析 根据中点坐标公式，得⎩⎨⎧－3＝x ＋12，－2＝5＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝－9.∴|PO|＝(－7)2＋(－9)2＝130．4．已知点P(a ＋3，a －2)在y 轴上，则点P 关于原点的对称点的坐标为________． 答案 (0，5)解析 由点P(a ＋3，a －2)在y 轴上，得a ＋3＝0， a ＝－3，∴a －2＝－5，即点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为P ′(0，5)．解 取AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy(如图)．设A 点，B 点，C 点的坐标分别为A(－a ，0)，B(a ，0)(a>0)，C(b ，c)， 由平行四边形的性质知D 点的坐标为(－2a ＋b ，c)．再设AC ，BD 的中点分别为E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，由中心公式得⎩⎨⎧x 1＝－a ＋b 2，y 1＝0＋c2，即E －a ＋b 2，c 2．⎩⎨⎧x 2＝a －2a ＋b 2，y 2＝0＋c 2，即F －a ＋b 2，c 2．∴点E 与点F 重合，∴▱ABCD 的对角线相交且平分．一、选择题1．点A(2，－3)关于坐标原点的中心对称点是( ) A ．(3，－2) B ．(－2，－3) C ．(－2，3) D ．(－3，2) 答案 C解析 设所求点的坐标为B(x ，y)，则由题意知坐标原点是点A ，B 的中点，则⎩⎨⎧2＋x2＝0，－3＋y2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.故选C ．2．已知直线上两点A(a ，b)，B(c ，d)，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是中点D ．以上结论都不对 答案 D 解析 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0得a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即A ，B 两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB 的垂直平分线上，故选D ．3．已知A(1，3)，B(5，－2)，点P 在x 轴上，则使|AP|－|BP|取最大值时的点P 的坐标是( )A ．(4，0)B ．(13，0)C ．(5，0)D ．(1，0) 答案 B解析 如图，点A(1，3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B 交x 轴于点P ，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为：y ＝14x －134，令y ＝0，得x ＝13． 所以点P 的坐标为(13，0)．4．已知A ，B 的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P 在x 轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )A ．20B ．12C ．5D ．4答案C解析 如图，作点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|A ′B|＝(1－4)2＋(－1－3)2 ＝9＋16＝5．5．如果一条平行于x 轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点是( )A ．(－3，1)或(7，1)B ．(2，－3)或(2，7)C ．(－3，1)或(5，1)D ．(2，－3)或(2，5) 答案 A解析 由线段平行于x 轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x ，1)，则|x －2|＝5，所以x ＝7或x ＝－3，即端点坐标为(7，1)或(－3，1)．二、填空题6．已知点M(2，2)平分线段AB ，且A(x ，3)，B(3，y)，则x ＝________，y ＝________．答案 1 1解析 “点M(2，2)平分线段AB ”的含义就是点M 是线段AB 的中点，可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解．∵点M(2，2)平分线段AB ，∴⎩⎨⎧x ＋32＝2，3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.7．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A ，B 等距离的点有________个．答案 2解析 若点在x 轴上，设为(x ，0)，则有(x －1)2＋25＝(x －5)2＋4，∴x ＝38；若点在y 轴上，设为(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y ＝－314．8．已知点A(5，2a －1)，B(a ＋1，a －4)，则当|AB|取得最小值时，实数a 等于________．答案 12解析 |AB|2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB|取得最小值．三、解答题9．已知△ABC 的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．解 设点C(x ，y)．由直线AB 与x 轴不平行，可设边AC 的中点为D ，BC的中点为E ，则DE 綊12AB ．线段AC 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2，7＋y 2， 线段BC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋x 2，5＋y 2． 若点D 在y 轴上，则3＋x 2＝0，所以x ＝－3，此时点E 的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x 轴上，所以5＋y 2＝0，所以y ＝－5，即C(－3，－5)．若点D 在x 轴上，则7＋y 2＝0，所以y ＝－7，此时点E 只能在y 轴上，即－2＋x 2＝0，所以x ＝2，此时C(2，－7)．如图所示．综上可知，符合题意的点C 的坐标为(2，－7)或(－3，－5)．10．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求点P ，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值．解 以正三角形的一边所在直线为x 轴，此边中线所在直线为y 轴建立坐标系，如图．则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ． 设P(x ，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＋x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2 ＝3x 2＋3y 2－3ay ＋54a 2＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2， ∴当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，36a 时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a 2．。

题型一 数轴上点的坐标 例 1 数轴上 A、B、C 三点分别表示－5.2、－2.5、3.5， 此三点距原点的距离分别为 a、b、c，求出 a，b，c 的值， 并比较它们的大小，说明其几何意义，反过来，如果数轴 上的点 P、Q、R 到原点的距离分别为上述所求的值 a、b、 c，问点 P、Q、R 所对应的坐标是否为 P(－5.2)、Q(－2.5)、 R(3.5)呢？
作向量A→B的坐标或数量，向量A→B的坐标用 AB 表示．
(5)起点和终点重合的向量是 零向量 ，它没有确定的方向， 它的坐标为 0 ，其长度为零． (6)位移的和：在数轴上，如果点 A 作一次位移到点 B，接着 由点 B 再作一次位移到点 C，则位移A→C叫做位移A→B与位移B→C 的和，记作A→C＝A→B＋B→C.由于向量可用数量表示，因此，位 移的和可简单地由数量和表示．
称 点P的坐标为x ，记作 P(x)．
2．向量 (1)定义：如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移 动到另一点 B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点 作了 零位移 ，位移是一个既有 大小 又有 方向 的量， 通常叫做 位移向量 ，本书简称 向量 ．
(2)向量的长度：从点 A 到点 B 的向量，记作A→B，点 A 叫做向 量A→B的 起点 ，点 B 叫做向量A→B的 终点 ，线段 AB 的长叫 做向量A→B的 长度 ，记作|A→B|. (3)相等向量：数轴上 同向 且 等长 的向量叫做相等向量． (4)向量的坐标：在数轴上向量A→B的长度连同表示方向的符号称
2.1.1 数轴上的基本公式

自学导引 1．数轴上点的坐标
(1)定义：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线叫 做数轴，或者说在这条直线上建立了 直线坐标系 ．

7．（1）在数轴上已知点 B 的坐标为 3，AB=4，则点 A 的坐标为
；
（2）已知点 B 的坐标为 2， |AB|=2，则点 A 的坐标为
；
（3）已知点 B 的坐标为－1，BA=2，则点 A 的坐标为
.
8、数轴上一点 P(x)，它到点 A(－8)的距离是它到点 B(－4)距离的 2 倍，则 x=
.
出限制，实际上不管起点在什么位置，只要
相同，长度
，这样的向量就是
相等向量。
（Ⅱ）相等的向量，坐标 ，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个
向量
。
（Ⅲ）如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量
之间是一一对应的。
（9） 位移的运算：
在数轴上，如果点 A 作一次位移到点 B，接着由点 B 再作一次位移到点 C，则位移
相等的向量 .
1
（6） 数轴上向量的坐标（数量）：如上图向量 可以用正数 1.5 表示吗？试加以说 明.-1 可以表示那些向量呢？
分别叫做向量 和 的坐标或数量. 一般地：
（7） 零向量：
叫做零向量，
方
向不确定，零向量的坐标是
（8） 实数与数轴上的向量之间的对应关系：
（Ⅰ）数轴上同向且等长的向量叫做 的向量，定义中没有对向量的起点和终点作
Ｂ，则说点在数轴上作了一次
，不动则说点作了 位移.
（2） 位移向量（向量）：
（3） 向量的表示法：如下图从点 A 到点 B 的向量，记作：
，点 A
叫做
，点 B 叫做
.
（4） 向量的长度：如上图，线段 的长叫做向量 的 （5） 相等的向量： 练习 1：如下图：（1）与向量 相等的向量是

2.1 平面直角坐标系中的基本公式数轴上的基本公式平面直角坐标系中的基本公式自主广场我夯基 我达标1.已知A(3)、B(-2)两点，则AB=_____________，|AB|=_____________.思路解析：由于AB 是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量AB 的长度，因此一定要求向量AB 的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5.答案：-5 52.已知点M(2，2)平分线段AB ，且A(x ，3)、B(3，y)，则x=_____________,y=_____________. 思路解析：“点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M 是线段AB 的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解.∵点M(2，2)平分线段AB ，∴223,223=+=+y x ，解得x=1，y=1.答案：1 13.已知点A(5，12)，在x 轴上求一点P ，使点P 与点A 的距离等于13，则满足条件的点为___________________.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解.设点P 的坐标为(x ，0)，根据题意，得22)012()5(-+-x =13，解得x 1=0，x 2=10. 答案:(0,0)或(10,0)4.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是_______________.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长. ∵|AB|=22)12()03(-+-=2,|AC|=22)32()03(-+-=2,|BC|=22)31()00(-+-=2,∴△ABC 为等边三角形.答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_____________.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考查三边的长度是否满足勾股定理,从而判定三角形的形状. ∵|AB|=22)31()11(-+-=2, |AC|=2)21()21(22=-+-,|BC|=2)23()21(22=-+-,∴|AC|=|BC|.又∵AB 2=4,AC 2+BC 2=4,∴AB 2=AC 2+BC 2.∴三角形是等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形6.已知ABCD 的三个顶点A(0，0)、B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则顶点C 的坐标为___________.思路解析：由于ABCD 的各顶点的顺序已经确定，因此点C 的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点C 的坐标. 设顶点C 的坐标为(m,n)，AC 与BD 的交点为O ，则O 为AC 和BD 的中点，根据题意，得点O 的坐标为(212x x +,212y y +). 又∵点O 为AC 的中点，∴20+m =212x x +,20+n =212y y +. 解得m=x 2+x 1,n=y 2+y 1,∴点C 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2).答案：(x 1+x 2,y 1+y 2)7.判定下列各组点中，哪一个点一定位于另一个点的右侧.(1)M(2x)、N(x)；(2)A(c)、B(c+2)；(3)C(x)、D(x-a)；(4)E(x)、F(x 2).思路解析：∵(1)中的2x与x、(3)中的x与x-a、(4)中的x与x2都无法确定两个数的大小关系，而(2)中的c与c+2大小关系容易确定:c＜c+2，∴B(c+2)一定在A(c)的右侧.答案：(2).8.在数轴上求一点的坐标，使它到点A(-9)的距离等于它到点B(-3)的距离的2倍.思路解析：设所求点为C(x)，则由题意得|x-(-9)|=2·|x-(-3)|，解得x=3或x=-5.∴符合条件的点有两个:C1(3)、C2(-5).答案：C1(3)或C2(-5).9.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程:(1)|x+3|+|x-1|=5；(2)|x+3|+|x-1|=4；(3)|x+3|+|x-1|=3.思路分析：本题中的三个小题实质上是一道题，即在数轴上求到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和分别等于5、4、3的点的坐标.解：(1)∵-3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于5的点为C(1.5)或C(-3.5)，图2-1-(1,2)-6∴x=-3.5或x=1.5.(2)如图所示，在线段AB上的任意一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和都等于4，∴-3≤x≤1.(3)在数轴上找不到一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于3，∴方程|x+3|+|x-1|=3无解.综上，(1)x=-3.5或x=1.5;(2)x∈{x|-3≤x≤1};(3)x∈∅.图2-1-(1,2)-7-，0)，B、C在y轴上，10.如图2-1-(1,2)-7，等边△ABC的顶点A的坐标为(3(1)写出B 、C 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用两点间距离公式求边长,从而求出顶点B 和C 的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题(2).解：(1)如图2-1-(1,2)-4，∵△ABC 为等边三角形，|AO|=3,∴|OC|=1,|OB|=1, 即B 、C 两点的坐标分别为B(0,-1)、C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,∴△ABC 的周长为6,面积为21×2×3=3. 我综合 我发展11.|x+2|+|x-3|≤a 恒成立，则a 的取值是________________.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(-2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=5.答案：512.如图2-1-(1,2)-8所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是____________.图2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离分别为1和2的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图2-1-(1,2)-9 答案：4 13.函数y=1342222+-++-x x x x 的最小值为______________，此时相应的x 值为______________.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在x 轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值. y=222222)30()2()10()1(13422-+-+-+-=+-++-x x x x x x ,在x 轴上求一点，使这个点到两定点A(1，1)、B(2，3)的距离之和最小.作点A(1，1)关于x 轴的对称点C(1，-1)，则线段BC 的长度为所求最小值，即y min =|BC|=17)31()21(22=--+-，线段BC 与x 轴的交点即为所求的x 值.直线BC 的函数关系式为y=4x-5,它与x 轴的交点为(45，0)，∴x=45. 答案：1745 14.如图2-1-(1,2)-10，梯形ABCD 在平面直角坐标系中，AD∥BC ，∠ADC=90°，|AB|=|DA|+|CB|，腰DC 在x 轴上，O 是线段DC 的中点，|BO|=4，且∠BOC=60°. 求:(1)A 、B 、C 、D 各点的坐标；(2)梯形ABCD 的面积.图2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点B 、C 、D 的坐标并不困难，难点在于求点A 的坐标，此时需要作一条辅助线，即过点A 作AE 垂直BC 于E ，然后用方程的思想求出线段AD 的长.解：(1)如图所示，过点A 作AE⊥BC 于E ，图2-1-(1,2)-11设点A 的纵坐标为y ，根据题意，得A(0,y).∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°.又∵|BO|=4，且∠BOC=60°，∴|OC|=2，|BC|=32.∴点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(2,32).又∵O 为线段DC 的中点，∴|DO|=2.∴点D 的坐标为(-2,0).∴|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y ，|BE|=|BC|-|EC|=32-y. ∵|AB|=|DA|+|CB|=y+32,又∵∠BCD=90°,∴AB 2=AE 2+BE 2,即(y+32)2=42+(32-y)2.解得y=332， ∴点A 的坐标为(-2，332). (2)S 梯形ABCD =21×(332+32)×4=3316. 综上，(1)B(2,23)、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2,332);(2) 3316. 15.已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C 点的坐标；(2)△ABC 的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点C 的坐标，再根据面积公式求出△ABC 的面积.解：(1)如图所示，设点C 的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图2-1-(1,2)-12∵△ABC 为等边三角形， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--.6)2(,6)4(2222y x y x 解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=.33,1,33,12211y x y x 因此，点C 的坐标为(-1,33)或(-1,-33).(2)S △ABC =21×6×33=39. 综上，(1)C(-1, 33)或C(-1,-33);(2)39.。

2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次 ，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为 ．否则为 ，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示 ，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。

坐标为x2，O为原点，则
OB=OA+AB，即AB=OB-OA .根据
数轴上点的坐标的定义有OB=x2，
OA= x1，所以 AB =AB=x2-x1
距离 公式
用d（A，B）表示AB两点的距离，则有
d A, B AB x2 x1 .
已知 AB＝3，CD＝－2，则下列说法不正确的是 ()
A.A→B>C→D B．|AB|>|CD| C．AB＝3 表示数轴上的向量A→B的坐标为 3，CD＝
2．下列说法正确的是( ) A．点 M(x)位于点 N(2x)的左侧 B．数轴上等长的向量是相等的向量 C．向量A→B在数轴上的坐标 AB＝－BA D．数轴是有方向的直线
【解析】 逐个判断可知．
【答案】 C
3．若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋ BC＝2 014，则点C的坐标为________．
【解】 (1)因为－2.3>－3.2，所以 A(－3.2)位于 B(－ 2.3)的左侧．
(2)因为 m2＋1－m＝m－212＋43≥34>0， 所以 m2＋1>m，所以 B(m2＋1)位于 A(m)的右侧．
【问题导思】
位移向量：如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动 到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点做了 零位移.位移是一个既有大小又有方向的量，通常称为位移向 量，简称向量.
解析几何简介
解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科 学技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法 国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产 生的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形 中,将几何的基本元素—“点”,与代数的基本研 究对象—“数”对应起来,从而将几何问题转化为 代数问题,将曲线或曲面转化为方程、函数进行解 决。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分 的发展，使整个数学学科有了重大进步，那次解 析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃.

3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，