2.1.1数轴上的基本公式_mcg

2.1.1 数轴上的基本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被忽视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础．教师一定要下些工夫，让学生牢固掌握．首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系．然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导．也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础．值得注意的是本节内容比较容易接受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀的学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴的复习，理解实数与数轴上点的对应关系，提高学生的应用能力．2．理解实数运算在数轴上的几何意义．掌握用数轴上两点的坐标计算两点距离的公式，掌握数轴上向量加法的坐标运算，提高学生的运算能力，培养数形结合的思想．重点难点教学重点：直线坐标系和数轴上两点间的距离公式应用．教学难点：理解向量的有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课 设计1.在初中，我们学习了数轴上两点间的距离公式，今天，我们从向量的角度来分析数轴上两点间的距离公式，教师点出课题．设计 2.从本节开始，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节的第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题错误!(2)阅读教材，给出向量的有关概念．(3)相等的向量的坐标相等吗？坐标相等的向量相等吗？(4)试讨论AB →＋BC →.(5)对于数轴上的任意一个向量，怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标．(6)写出数轴上两点间的距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 的对应法则是：在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是：如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离．原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应．若点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)．(2)如下图所示．如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上做了一次位移，点不动则说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB →，读作向量AB.点A 叫做向量AB→的起点，点B 叫做向量AB →的终点，线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB→|. 数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．例如图中的AB →＝BC→. 我们可用实数表示数轴上的一个向量．例如上图中的向量AB→，即从点A 沿x 轴的正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点的向量，3和－3分别叫做向量AB →和BA→的坐标或数量． 一般地，轴上向量AB →的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取正数；反之取负数．向量坐标的绝对值等于向量的长度．起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0.向量AB →的坐标，在本书中用AB 表示．(3)例如在下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等的向量，它们的坐标相等；反之，如果数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.由数轴上向量坐标的定义和有理数的运算法则，容易归纳出，对数轴上任意三点A 、B 、C ，都具有关系：AC ＝AB ＋BC.(5)设AB →是数轴上的任一个向量，例如下图O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则OB ＝OA ＋AB ，或AB＝OB－OA.依轴上点的坐标的定义，OB＝x2，OA＝x1，所以AB＝x2－x1.(6)用d(A，B)表示A、B两点的距离，根据这个公式可以得到，数轴上两点A、B的距离公式是d(A，B)＝|x2－x1|.应用示例思路1例1已知点A(1)，B(3)，求AD＋DB和|AB|(D是数轴上的任一点)．解：AD＋DB＝AB＝3－1＝2.|AB|＝|2|＝2.变式训练A、B是数轴上两点，已知B(－1)，且|AB|＝2，则点A的坐标是______．答案：1或－3思路2例2设A、B、C、D是同一直线上四个不同点，求证AB·CD＋BC·AD＋CA－BD＝0.证明：设A(a)，B(b)，C(c)，D(d)．AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝(b－a)(d－c)＋(c－b)(d－a)＋(a－c)(d－b)＝bd－bc－ad＋ac＋cd－ac－bd＋ab＋ad－ab－cd＋bc＝0.则AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝0.变式训练设线段AB 的中点为M ，点P 为直线AB 上任意一点．求证：PA ＋PB ＝2PM.证明：设A(a)，B(b)，P(x)，则M(a ＋b 2)，PA ＋PB ＝a －x ＋b －x ＝2(a ＋b 2－x)＝2PM ，即PA ＋PB ＝2PM. 知能训练1．关于位移向量说法正确的是( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D.AB→的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值 答案：B2．化简AB →－AC →－BC →等于( )A ．2BC →B ．零位移C ．－2BC →D ．2AC→ 解析：AB →－AC →－BC →＝(AC →＋CB →)－AC →－BC →＝－2BC→. 答案：C3．若A(x)，B(x 2)(其中x∈R )，|AB|的最小值为( )A.12 B ．0 C.14 D ．－14解析：|AB|＝|x 2－x|＝|(x －12)2－14|≥0，当x ＝0时取等号． 答案：B4．数轴上到A(1)，B(2)两点距离之和等于1的点的集合为( )A ．{0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{x|1≤x≤2}解析：画出数轴可知，满足条件的点在线段AB 上．答案：D拓展提升已知对x∈R 总有|x －1|＋|x －2|≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．分析：对|x －1|和|x －2|赋予几何意义，利用数形结合解决．解：设A(1)，B(2)，P(x)，则|x －1|＋|x －2|＝|PA|＋|PB|.如下图所示：则|PA|＋|PB|≥|AB|＝1，则m≤1，即实数m 的取值范围是[1，＋∞)．课堂小结本节课学习了：1．直线坐标系及其两点间距离公式；2．直线坐标系中的向量及其坐标．作业本节练习A 5题，练习B 3,4题.设计感想本节教学设计首先通过对数轴的温故知新，学习一维坐标系，沟通实数及其运算与数轴上的点及两点间的相对位置之间的关系．创建直线坐标系中基本计算公式．按本节教学设计讲解效果很好．备课资料备选习题1．下列说法中正确的是( )A ．零向量有确定的方向B ．数轴上等长的向量叫做相等的向量C ．AB ＝－BAD ．|AB|＝BA 答案：C2．已知1在数轴上的对应点是A ，在数轴上把A 向左平移4个单位长度得到点B ，再向右平移3个单位长度，所得的点C 对应的数是什么？向量AB →和向量BC →的坐标分别是什么？向量AC →的坐标为多少？答案：C 对应的数是0，向量AB →和向量BC →的坐标分别是－4、3，向量AC →的坐标为－1.3．数轴上A 、B 两点的坐标为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，分别求AB 、BA 、d(A ，B)、d(B ，A)．解：AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b.BA ＝－AB ＝2b. d(A ，B)＝|x 2－x 1|＝|－2b|＝2|b|，d(B ，A)＝d(A ，B)＝2|b|.。

2.1.1数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式【目标要求】1.能够熟练的运用平面内两点之间的距离公式求两点之间的距离。

2.理解线段的中点坐标公式，并能运用其解决应用问题。

【巩固教材——稳扎马步】1.已知A(1,5)、B(x ,2)两点的距离是5，则x 的值为 （ ）A.5B.－3C.5或－3D.－5或32.以A(1,0)、B(3,1)、C(4,－1)为顶点的三角形一定是 （ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.点M(4,3)关于点N(5,－3)的对称点是 （ ）A.(4,－3)B.1（，0）2C.1（－，3）2 D.(6,－9) 4.已知点A(a ,－5)、B(0,10)的距离是17，则a 的值是 （ ）A.8B.－8C. 8或－8D.【重难突破——重拳出击】5.已知Y ABCD 的顶点A(3,－2)、B(5,2)、C(－1,4),则顶点D 的坐标为 （ ）A.(1,1)B.(－3,0)C.(3,0)D.(―1,―1)6.在x 轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标是 （ ）A.(0,0)B.(10,0)C.(0,0)或(－10,0)D.(0,0)或(10,0)7.已知A 、B 、C 三点在同一直线上，且A(3,－6)、B(－5,2),若C 点的横坐标为6，则它的纵坐标为 （ ）A.－9B.9C.－13D.138.ABC V 的顶点A(3,7)、B(－2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标为 （ ）A.(2,－7)B.(－7,2)C.(―3,―5)D.(―5,―3)9.已知三点A(x ,5)、B(－2,y)、C(1,1),且点C 平分线段AB ，则x ＋y 的值为 （ ）A.－1B.1C.－2D.410.已知点P(x ,2)、Q(―2,―3)、M(1,1),且|PQ|＝|PM|,则x 的值是 （ ）A.－2B.2C.92D.92- 11.三角形的顶点是A(2,1)、B(－2,3)、C(0,－1)，则ABC V 的BC 边上的中线AM 的长为（ ）12.已知点P 的横坐标是7，点P 到点Q （－1,5）的距离等于10，则点P 的纵坐标是（ ）A.11B.－1C.11或－1D.41【巩固提高——登峰揽月】13.求连结下列两点的线段的长度和中点坐标：(1).A(7,4) B(3,2) (2).M(3,1) N(2,1) (3).P(6,－4) Q(―2,―2)14.已知三点A(1,－1)、B(3,3)、C(4,5) 求证：A 、B 、C 三点共线。

第1页 共1页 人教B 版 数学 必修2：数轴上的基本公式
教学目标：1、理解直线坐标系.
2、理解平移向量及其坐标
教学重点：1、理解直线坐标系.
2、理解平移向量及其坐标.
教学过程：
(一) 结合初中所学的知识引出几个基本概念
1、 直线坐标系
2、 位移向量
3、 相等的向量
4、 向量的坐标（数量）
5、 数轴上点的坐标与向量的坐标（数量）之间的区别与联系
6、 沙尔定理：设A 、B 、C 是同一直线上的三个点，那么不论它们的位置怎样，都
有AB ＋BC ＝AC 的关系，
（推广：设A 、A ……A 是同一条直线上的几个点，那么不 论它们的位置如何都有：A 1A 2＋A 2A 3＋…＋A n-1A n ＝A 1A n 的关系）
7、 坐标轴上向量AB 的坐标公式：12x x AB -=
8、 坐标轴上两点之间的距离公式：||),(12x x B A d -=
（二）例子
1、设线段AB 的中点为M ，点p 为直线AB 上任意一点，求证：
(1)PA+PB=2PM
2、A 、B 是数轴上两点，点B 的坐标是－1，且|AB|=2,则点A 的坐标是（ ）。

A ．－3或1
B ．－3
C ．1
D ．3或－3
3、设A 、B 、C 、D 是同一直线上四个不同点，证明：
课堂练习：教材第74页 练习A 、B
小结：（略）
课后作业：教材第79页习题2-1A ：1、2。

2.1.1 数轴上的距离公式与中点公式
【教学目标】
1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．
2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
数轴上的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．
【教学过程】。

关于普通高中数学教材《人教社B版（必修2）--2.1平面直角坐标系中的基本公式》一节的修订意见一、修订范围：2.1.1数轴上的基本公式（教材P65--P68）二、具体修订意见（一）教材第65页（P65）1.第1行--第3行，合理保留。

2.第4行--第6行，建议修改，意见如下：原文：我们知道，一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系（图2-1）修订建议：我们知道，一条给出了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系（图2-1）修订理由：与初中保持一致符合学生的认知程度。

3.第7行合理保留。

4. 第8行--第14行，建议修改，意见如下：原文：在数轴上，点P与实数x的对应法则是：如果点P在原点朝正向的一侧，则x为正数，且等于点P到原点的距离；如果点P在原点朝负向的一侧, 则x为负数，其绝对值等于点P到原点的距离；原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应.修订建议：在数轴上，点P与实数x的对应法则是：如果点P在原点朝正向的一侧，则x为正数，且等于点P到原点的距离；如果点P在原点朝负向的一侧, 则x为负数，其绝对值等于点P到原点的距离；原点表示数0，点P到原点的距离为0，依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应.修订理由：更符合前后逻辑。

5. 第15行--第21行，合理保留。

（二）教材第66页（P66）1.第1行—第2行，合理保留。

2.第3行—第4行，建议修改，意见如下：原文：从点A到点B的向量，记作AB.点A叫做向量AB的起点，点B叫做向量AB的终点，线段AB的长叫做AB的长度，记作AB.修订意见：从点A到点B的向量，记作AB.点A叫做向量AB的起点，点B叫做向量AB的终点，线段AB的长叫做AB的长度或模，记作AB.修订理由:修改后语言更加严密、准确3.第5行—第17行，合理保留。

2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次 ，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为 ．否则为 ，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示 ，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。

2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-, AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2. ∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.1.1数轴上的基本公式教学目标：1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．重点：理解实数运算在数轴上的几何意义难点：掌握数轴上向量加法的坐标运算．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.知识达标：1、 给出了 、 、 的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了 。

2、 在数轴上，点P 与实数x 的对应法则：如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为 数，且等于原点到P 的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为 数，其绝对值等于点P 到原点的距离，实数集与数轴上的点之间建立了 的关系。

3、 位移是一个既有 又有 的量，通常叫做位移向量；叫做向量的长度，记作 ； 数轴上 的向量叫做相等的向量。

4、数轴上向量的坐标是一个 ，实数的绝对值为 ，如果起点指向终点的方向与轴同向，这个实数取 ，反之取 。

零向量的坐标是 。

5、 对于轴上任意三点A ，B ，C ，向量的坐标分别是:AB , BC , AC 则AB ，BC ，AC 的关系是 。

6、点A 的坐标为，点B 的坐标，则AB ＝ ；d (A ,B )＝ 。

典例精析：例1 (1)如果点P (x )位于点M (－2)，N (3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A (x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．AB AB AC BC AB ,,1x 2x解 (1)由题意可得，点M (－2)位于点N (3)的左侧，而P 点位于两点之间，应满足－2<x <3.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合； 当x ≠－12时，x 2＋x ＋1>34，∴A 点位于B 点右侧． 综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧．小结 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A (－1.5)，B (－3)；(2)A (a )，B (a 2＋1)；(3)A (|x |)，B (x )．解 (1)∵－1.5>－3，∴A (－1.5)位于B (－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B (a 2＋1)位于A (a )的右侧．(3)当x ≥0时，|x |＝x ，则A (|x |)和B (x )为同一个点．当x <0时，|x |>x ，则A (|x |)位于B (x )的右侧．例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC ＋CB ＝AB .(1)解 ∵AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明 设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB .∴AC ＋CB ＝AB .小结 本题的关键是结合条件联想到可用、两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA . 解 ∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ，B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b )－(a ＋b )＝－2b ，BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b )－(a －b )＝2b .例3 已知数轴上两点A (a )，B (5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5?(2)两点间距离大于5?(3)两点间距离小于3?解 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB |＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5，即a －5>5或a －5<－5，∴a >10或a <0.据题意得|a －5|<3，即－3<a －5<3，∴2<a <8.小结 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝3，求d (M ，P )． 解 ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d (M ，P )＝|MN |＋|NP |＝5＋3＝8.综上所述，d (M ，P )＝2或d (M ，P )＝8.练习达标：1.不在数轴上画点，确定下列各组点中，那一组中的点M 位于点N 的右侧（ ）.（A ）M （－3）和N （－4） （B ）M （3）和N （4）（C ）M （－3）和N （4） （D ）M （－4）和N （－3）2.A 、B 是数轴上两点，B 点坐标＝－6，且BA ＝－4，那么点A 的坐标为（ ）．（A ）－10 （B ） －2 （C ） －10或－2 （D ） 103．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为（ ）．（A ）0.5 （B ）－0.5 （C ）5.5 （D ）－5.54.下列说法正确的是（ ）．B x（A ）零向量有确定的方向 （B ）数轴上等长的向量叫做相等的向量（C ）向量的坐标AB ＝－BA （D ）5.已知数轴上两点A 、B ，＝3，M 是线段AB 的中点，则等于（ ）（A ） （B ）3 （C ）6 （D ）1 6.已知A ，B ，C 是数轴上任意三点，（1）、若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；（2）、证明：AC ＋CB ＝AB ；（3）、若求7.（1）若点位于点与点C (8)之间，求x 的取值范围；（2）若点位于点的右侧，求x 的取值范围.课下练习：一、选择题1、下列命题中，正确的是（ ）.（A ）两点A 、B 唯一确定一个向量.（B ）起点为A ，终点为B 的向量记作AB .（C ）有向线段的数量AB ＝.（D ）两点A 、B 唯一确定一条线段.2.对于数轴上任意三点A 、B 、O ,如下关于有向线段的数量关系不恒成立的是( ).(A ) AB ＝OB －OA (B ) AO ＋OB ＋BA ＝0 (C ) AB ＝AO ＋OB (D ) AB ＋AO ＋BO ＝03.若点A ,B ,C ,D 在一条直线上,BA ＝6,BC ＝－2,CD ＝6,则AD 等于( ).(A ) 0 (B ) –2 (C ) 10 (10) –104.如图,设是x 轴上的一个向量,O 是原点,则下列各式不成立的是( ).B O A x(A ) (B ) (C ) (D )5.下列说法正确的是（ ）.AB ||AB AB =),(B A d ),(M A d 23,3,5==CB AB AC )(x A )2(B )(x A )8(C AB BA -AB ||OA OA =||OB OB =OA OB AB -=OB OA BA -=(A ) 零向量是没有方向的 (B ) 零向量的长度为0(C ) 零向量与任一向量是相等的向量 (D ) 零向量的坐标不是0二.填空题6.在数轴上已知点B 的坐标为3,AB ＝4,则点A 的坐标为7.数轴上一点P (x ),它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍,则x ＝8.已知数轴上A 、B 、C 的坐标分别为－3、7、9,则AB ＋BC ＋CA ＝ ，＋＋＝ ．三.解答题9.数轴上一点M (－5),它到点A (－6)的距离是它到点B (x )距离的,求实数x 的值10.已知 点A (－9),B (－3),在数轴上求点P ,使.参考答案：知识达标：1、原点，度量单位，正方向 2、正数，负数，一一对应 3、大小，方向；线段AB；同向且等长 4、实数，线段AB 的长度，正数，负数，0。