成才之路高中数学人教B必修二强化练习： 数轴上的基本公式

§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式一、基础过关1． 下列说法中，正确的是 ( )A ．向量不能比较大小，所以向量无大小B ．零向量是没有方向的C ．向量的长度也是向量的数量D ．若AB ＝4，则BA ＝－42． 下列说法正确的是 ( )A ．两点确定一条有向线段B ．有向线段AB →的数量AB ＝－|BA |C ．若A ，B ，C 是数轴上的任意三点，则一定有AB ＝AC ＋CBD ．点A (2)，B (－1)，则AB ＝33． 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a ，b ，c ，d ，且d －2a ＝10，那么数轴的原点应是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点4． 若点A 、B 、C 、D 在一条直线上，BA ＝6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD 等于( ) A ．0B ．－2C ．10D ．－105． 已知数轴上两点A (a )，B (5.5)，并且d (A ，B )＝7.5，则a ＝______；若AB ＝7.5，则a ＝________.6． 下列各组点中，点B 在点A 右侧的是________．①A (－1)和B (－4)；②A (a )和B (a ＋1)；③A (a )和B (3a )；④A (－2)和B (0)；⑤A (a )和B (b )(其中a <b )；⑥A (2x )和B (x 2) (x ≠0)．7． 根据下列条件，在数轴上分别画出点P (x )．(1)|x |<2；(2)|x |>2；(3)|x |＝2；(4)|x －1|>2；(5)|x ＋1|>2.二、能力提升8． A 、B 为数轴上的两点，A 点的坐标是－1，AB ＝6，那么点B 的坐标为( ) A ．5B ．－7C ．5或－7D ．－5或7 9． 三个不相等的实数a ，b ，c 在数轴上分别对应点A ，B ，C ，如果|a －b |＋|b －c |＝|a －c |，则点B 在点( ) A ．A ，C 的右边 B ．A ，C 的左边C ．A ，C 之间D ．A 或C 上10．数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍，则x ＝__________.11．已知数轴上有点A (－2)、B (1)、D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到E ，使d C ，E d D ，E ＝14，求点E 的坐标． 三、探究与拓展12．在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程：(1)|x ＋3|＋|x －1|＝5；(2)|x ＋3|＋|x －1|＝4；(3)|x ＋3|＋|x －1|＝3.答案1．D 2.C 3.B 4.B5．－2或13 －2 6.②④⑤7．解 (1)|x |<2表示与原点距离小于2的点．(2)|x |>2表示与原点距离大于2的点．(3)|x |＝2表示两个点A (－2)，B (2)．(4)|x －1|>2表示与点P (1)的距离大于2的点．(5)|x ＋1|>2表示与点P (－1)的距离大于2的点．8．A9．C10．0或－163 11．解 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －－2x －1＝12，x ＝－5， 所以C (－5)．因为E 在DC 的延长线上，所以d C ，E d D ，E ＝x ′＋5x ′－3＝14. 所以x ′＝－233，即点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233. 12．解 ∵|x ＋3|＋|x －1|表示数轴上的任意点P (x )到A (－3)和点B (1)的距离之和|PA |＋|PB |，∴当P 位于点A 的左边时，|PA |＋|PB |>|AB |＝4；当P 位于点A 和B 之间时(包括点A 和点B )，|PA |＋|PB |＝|AB |＝4，当P 位于点B 的右边时，|PA |＋|PB |>|AB |＝4，∴任意点P (x )都有|PA |＋|PB |≥4.(1)∵|x ＋3|＋|x －1|＝5>4，∴P (x )应该在点A (－3)的左边或点B (1)的右边，容易验证：x ＝－3.5或x ＝1.5.(2)∵|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴点P (x )应该在点A (－3)和点B (1)之间，并且点A 、B 之间的任意点P (x )都满足|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴x ∈{x |－3≤x ≤1}．(3)∵任意P (x )都能使|PA |＋|PB |≥4，∴|x＋3|＋|x－1|＝3<4无解，即x∈∅.。

2.1.1 数轴上的基本公式一、选择题1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] ①②③④都正确．2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 [答案] A[解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A.3．在下列四个命题中，正确的是( )A ．两点A 、B 确定一条有向线段B ．起点为A ，终点为B 的有向线段记作ABC ．有向线段A B →的数量AB ＝－|B A →|D ．A 、B 两点确定一条直线[答案] D[解析] 两点A 、B 可确定AB →和BA →，故A 错；AB 表示AB →的数量，故B 错；当AB <0时，才有AB ＝－|BA →|，故C 错．4．数轴上，M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP ＋PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12[答案] A[解析] MP ＋PN ＝MN ＝－1－3＝－4.5．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定[答案] D[解析] 2x ＋a 与2x 的大小由a 确定，从而A 与B 的位置关系也由a 确定．6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] B[解析] ∵AB ＝(2＋b )－b ＝2，∴点B 一定在点A 的右侧．7．已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( ) A ．0B ．－23 C.23 D.19 [答案] C[解析] d (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪13＋13＝23.8．如图，数轴上的每一格等于一个长度单位，则点A 的坐标为( )A ．A (－1)B ．A (1)C ．A (0)D ．A (2)[答案] A二、填空题9．数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.[答案] －2或－5[解析] 由题知|x ＋8|＝3|x ＋4|，则x ＝－2或x ＝－5.10．设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0；②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ －PN ＋MN －MQ ＝0；④QM ＝MN ＋NP ＋PQ .其中正确的序号是________．[答案] ①②③[解析] 由向量的运算法则知，MN ＋PQ －MQ －PN ＝MN ＋PQ ＋QM ＋NP ＝MP ＋PM ＝0，故①②正确；PQ －PN ＋MN －MQ ＝PQ ＋NP ＋MN ＋QM ＝NQ ＋QN ＝0，故③正确；MN ＋NP ＋PQ ＝MQ ，与QM 不相等，故④错．11．若数轴上有四点A 、B 、C 、D ，且A (－7)、B (x )、C (0)、D (9)，满足AB →＝CD →，则x＝________.[答案] 2[解析] ∵AB →＝CD →表示向量AB →与向量CD →方向相同，且长度相等，∴AB ＝CD ，∴x ＋7＝9－0，∴x ＝2.12．在数轴上已知点B (3)，AB ＝4，则A 点的坐标为______；已知点B (2)，d (B ，A )＝2，则A 点的坐标为________；已知点B (－1)，BA ＝2，则A 点的坐标为______．[答案] －1 0或4 1三、解答题13．根据所给条件，在数轴上分别画出点p (x )对应的范围．(1)d (x,17)<30；(2)|x －12|>3；(3)|x ＋1|≤2.[解析](1)据轴上两点间距离的意义d (x,17)<30即|x －17|<30，∴－30<x －17<30，∴－13<x <47.(2)x －12>3或x －12<－3，∴x >15或x <9.(3)－2≤x ＋1≤2，∴－3≤x ≤1.如上图．14．已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到点E ，使d (C ，E )d (E ，D )＝14，求点E 的坐标． [解析] 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －(－2)x －1＝12， ∴x ＝－5.即C 点坐标为－5.∵E 在DC 的延长线上，∴d (C ，E )d (E ，D )＝EC ED ＝－5－x ′3－x ′＝14， ∴x ′＝－233，即E 点坐标为－233. 15．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．[解析] (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3.(2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3，|AB |＝|(－5)－(－2)|＝3.16．在数轴上求一点的坐标，使它到点A (－9)的距离是它到点B (－3)距离的2倍．[解析] 设所求点为P (x )，由题意，得d (A ，P )＝2d (B ，P )，即|x ＋9|＝2|x ＋3|，解得x ＝3或x ＝－5.17．符合下列条件的点P (x )位于数轴上的何处？(1)d (x,2)<8；(2)|x ＋3|<4.[解析] (1)d (x,2)＝|2－x |<8.∴－8<x －2<8，即－6<x <10.点P (x )位于数轴上的－6到10之间的区域内．(2)∵|x ＋3|<4，∴－4<x ＋3<4，即－7<x <1.∴点P (x )位于数轴上的－7到1之间的区域内．18．已知数轴上的点A 、B 、C 的坐标分别为－1、3、5.(1)求AB 、BA 、|AB |、|BC |、|AC |.(2)若数轴上还有两点E 、F ，且AE ＝8，CF ＝－4，求点E 、F 的坐标．[解析] (1)AB ＝3－(－1)＝4；BA ＝－AB ＝－4；|AB |＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝5－3＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E、F点的坐标分别为x E、x F.∵AE＝8，∴x E－(－1)＝8，有x E＝7. ∵CF＝－4，∴x F－5＝－4，有x F＝1. 故E、F两点坐标分别为7、1.。

2.1.平面直角坐标系中的基本公式2.1.1.数轴上的基本公式[学习目标].1.通过对数轴的复习,理解实数和数轴上点的对应关系,理解数轴上的向量和相等的向量的含义,理解向量的长度和向量的坐标之间的关系.2.探索并掌握数轴上两点间距离公式.[预习导引]1.数轴上点的坐标(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了直线坐标系.(2)在数轴上,根据点P 与实数x 的对应法则,在实数集和数轴上的点集之间建立了一一对应关系,如果点P 与实数x 对应,则称点P 的坐标为x ,记作P (x ).2.向量(1)定义：如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ,则说点在轴上作了一次位移,点不动则说点作了零位移,位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,本书简称向量.(2)向量的长度：从点A 到点B 的向量,记作AB →,点A 叫做向量AB →的起点,点B 叫做向量AB →的终点,线段AB 的长叫做向量AB →的长度,记作|AB →|.(3)相等向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等向量.(4)向量的坐标：在数轴上向量AB →的长度连同表示方向的符号称作向量AB →的坐标或数量,向量AB →的坐标用AB 表示.(5)起点和终点重合的向量是零向量,它没有确定的方向,它的坐标为0,其长度为零.(6)位移的和：在数轴上,如果点A 作一次位移到点B ,接着由点B 再作一次位移到点C ,则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和,记作AC →＝AB →＋BC →.由于向量可用数量表示,因此,位移的和可简单地由数量和表示.3.数轴上的基本公式(1)数轴上任意三点间的关系对于数轴上任意三点A ,B ,C ,都具有关系AC ＝AB ＋BC .(2)数轴上两点的距离①数轴上任一向量的坐标数轴上任一向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.②数轴上两点的距离设A (x 1),B (x 2)为数轴上任意两点,用d (A ,B )表示A ,B 两点间的距离,则d (A ,B )＝|AB |＝|x 2－x 1|.要点一.数轴上的点与实数的关系例1.(1)若点P (x )位于点M (－2),N (3)之间,求x 的取值范围；(2)试确定点A (a )、B (b )的位置关系.解.(1)由题意可知,点M (－2)位于点N (3)的左侧,且点P (x )位于点M (－2),N (3)之间,所以－2＜x ＜3.(2)确定两点的位置关系,需要讨论实数a ,b 的大小关系；当a ＞b 时,点A (a )位于点B (b )的右侧；当a ＜b 时,点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时,点A (a )与点B (b )重合.规律方法.数轴上的点与实数之间是一一对应的关系,所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置,显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.跟踪演练1.下列各组点中,点M 位于点N 左侧的是(..)A.M (－2),N (－3)B.M (2),N (－3)C.M (0),N (6)D.M (0),N (－6)答案.C解析.A 中,－2＞－3,点M (－2)位于点N (－3)右侧；B 中,2＞－3,点M (2)位于点N (－3)的右侧；C 中,0＜6,点M (0)位于点N (6)的左侧；D 中,0＞－6,点M (0)位于点N (－6)的右侧.要点二.数轴上向量的坐标运算例2.已知有理数a 在数轴上对应点A ,将点A 沿数轴向左平移3个单位长度得点B 后,再向右平移2个单位长度得到点C ,点C 对应的数是－1.5,问：有理数a 是多少？向量AB →、向量CB →的坐标分别是多少？解.先逆向分析变化过程：点C (－1.5) ―――――→左移2个单位B ―――――→右移3个单位A (a ).∴点B 和点A 的坐标分别为B (－3.5)和A (－0.5),∴a ＝－0.5,∴AB →＝－3.5－(－0.5)＝－3,CB →＝－3.5－(－1.5)＝－2.即向量AB →,CB →的坐标分别为－3,－2.规律方法.本题属于点的平移问题,解题时先标出平移过程,根据数轴上点的坐标与实数的对应关系写出点的坐标,再利用向量坐标的定义写出向量的坐标.跟踪演练2.例2的条件不变,若将问题改为：若将点C 再向右平移2个单位长度得到点D ,问向量CD →和向量BC →有什么关系？解.由题意知,点D 的坐标为D (0.5),又点B ,点C 的坐标分别为B (－3.5),C (－1.5),∴CD →＝0.5－(－1.5)＝2,BC →＝－1.5－(－3.5)＝2,∴CD →＝BC →,∴向量CD →和向量BC →相等.要点三.数轴上两点的距离例3.已知M 、N 、P 是数轴上三点,若|MN |＝5,|NP |＝2,求d (M ,P ).解.∵M 、N 、P 是数轴上三点,|MN |＝5,|NP |＝2,∴(1)当点P 在点M ,N 之间时(如图所示)d (M ,P )＝|MN |－|NP |＝5－2＝3；(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)d (M ,P )＝|MN |＋|NP |＝5＋2＝7.综上所述：d (M ,P )＝3或d (M ,P )＝7.规律方法.1.解答本类问题时,如果两点的相对位置不确定,一定要注意分类讨论.2.要明确向量的长度及数量的区别与联系,注意|AB |＝d (A ,B )＝|x B －x A |,AB ＝x B －x A .跟踪演练3.已知数轴x 上的点A ,B ,C 的坐标分别为－1,3,5.(1)求AB 、BA 、|AB |、BC 、|AC |；(2)若x 轴上还有两点E 、F ,且AE ＝8,CF ＝－4,求点E 、F 的坐标.解.(1)AB ＝3－(－1)＝4；BA ＝－AB ＝－4；|AB |＝|3－(－1)|＝4；BC ＝5－3＝2；|AC |＝|5－(－1)|＝6.(2)设E 、F 点的坐标分别为x E 、x F ,因为AE ＝8,所以x E －(－1)＝8,有x E ＝7；因为CF ＝－4,所以x F －5＝－4,有x F ＝1.故E ,F 两点坐标分别为7,1.1.数轴上A ,B 两点的坐标分别为x 1,x 2,则下列式子中不正确的是(..)A.|AB |＝|x 1－x 2|B.|BA |＝x 2－x 1C.AB ＝x 2－x 1D.BA ＝x 1－x 2答案.B2.在数轴上从点A (－2)引一线段到B (3),再延长同样的长度到C ,则点C 的坐标为(..)A.13B.0C.8D.－2 答案.C3.A 、B 为数轴上的两点,A 点的坐标是－1,AB ＝6,那么点B 的坐标为(..)A.5B.－7C.5或－7D.－5或7 答案.A4.已知数轴上两点A (a ),B (5.5),并且d (A ,B )＝7.5,则a ＝________；若AB ＝7.5,则a ＝________. 答案.－2或13.－25.A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点,则AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝________.答案.01.向量的有关概念及表示：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标(数量)这几个概念,它们分别用AB →、|AB →|、AB 来表示；两个向量相等,必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量,它的长度为0,方向不确定.2.向量的有关运算公式：数轴上向量加法的运算法则是对于数轴上任意三点A ,B ,C 都具有AC ＝AB ＋BC (或AC →＝AB →＋BC →).数轴上的向量坐标公式AB ＝x 2－x 1(A 、B 两点的坐标分别为x 1,x 2),即数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标,数轴上两点距离公式d (A ,B )＝|x 2－x 1|.3.数轴上向量加法的坐标运算法则：对数轴上的任意三点,A ,B ,C 都有AC ＝AB ＋BC ,可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两个向量AB ,BC 的坐标之和.。

人教版高中必修2(B版)2.1.1数轴上的基本公式课程设计一、教学目标1.了解数轴的基本概念与性质；2.掌握数轴上加、减、相反数、绝对值的定义和基本性质；3.通过练习加深对数轴和基本公式的理解和掌握；4.培养学生分析问题、解题的能力。

二、教学重点和难点重点：1.掌握数轴上的基本概念、性质和基本公式；2.帮助学生建立坐标系，并进行加、减、相反数、绝对值等计算。

难点：1.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；2.通过生动的例子，让学生理解并运用基本公式。

三、教学内容与步骤1. 数轴的概念首先，讲授数轴的概念和性质，让学生了解数轴的作用和基本原理。

数轴是一条直线，上面画有一些关键点，用于表示数值大小。

通常，我们可以将数轴看作是一条无限长的直线。

其中，0点是数轴的中央点，它将整个数轴分为两个部分，分别是正半轴和负半轴。

同时，还要介绍坐标系的概念，让学生知道如何用坐标表示一个数在数轴上的位置，以及怎样画出坐标轴。

2. 加、减、相反数、绝对值的定义和性质其次，讲授数轴上的基本公式，包括加、减、相反数、绝对值等等。

这些基本公式是数轴上的基本运算，是数学的基础。

•加法：两个正数相加，实际上是在数轴上将起点右移，移动的距离是两个正数的和；两个负数相加，实际上是将起点左移，移动的距离是两个负数的和。

•减法：减数标对起点做翻转，转化为加法。

•相反数：数轴上每个数都有一个相反数，它们在0点处相遇，相同但方向相反。

•绝对值：一个数轴上的点与0点的距离，它总是非负的。

3. 练习最后，通过练习让学生加深对数轴和基本公式的理解和掌握。

可以选取一些例题，让学生进行思考、解答。

例如：•已知 A、B 在数轴上的坐标分别为a和b，则 A, B 间的距离为|a−b|•已知 C 在数轴上的坐标为c，则|c−a|+|c−b|的最小值为|a−b|。

四、教学反思本节课程的亮点在于激发学生学习兴趣，通过生动的例子，让学生真正地体会到数轴和基本公式的工具性，并通过课堂练习来检验学生的掌握程度。

第二章 平面解析几何初步A ．M(－x)与N(x)B ．M(x)与N(x ＋a)C ．M(x 3)与N(x 2)D ．M(2x)与N(2x －1) 答案 D解析 A 项，x 的符号不确定，∴－x 与x 的大小关系不确定，故不能确定两点的相对位置．B 项，由于a 的值不确定，故不能确定x 与x ＋a 的相对位置．C 项，x 3与x 2的大小关系不确定，故不能确定x 3与x 2的相对位置．D 项，∵2x>2x －1对任意实数x 都成立，∴点M 一定位于点N 的右侧．A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB →的大小是数轴上A ，B 两点到原点距离之差的绝对值 答案 B解析 一个点的坐标没有大小，每一个实数对应着无数个位移向量．|AB →|＝|x B －x A |，不一定为|AB →|＝|||x B |－|x A|．故选B ．3．若A(a)与B(－5)两点对应的向量AB 的数量为－10，则a ＝______，若A与B 的距离为10，则a ＝______．答案 5 5或－15解析 ∵AB ＝x B －x A ，|AB|＝|x A －x B |， ∴－5－a ＝－10，解得a ＝5． |－5－a|＝10，解得a ＝5或a ＝－15． 4．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)． (1)当AP ＝2BP 时，求x ；(2)当AP ＞2BP 时，求x 的取值范围； (3)当AP ＝2PB 时，求x ．解 由题意，可知AP ＝3－x ，BP ＝3－2＝1． (1)当AP ＝2BP 时，有3－x ＝2，解得x ＝1． (2)当AP ＞2BP 时，有3－x ＞2，解得x ＜1． (3)由AP ＝2PB ，可得3－x ＝2(－1)，解得x ＝5．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．零向量有确定的方向B ．数轴上等长的向量叫做相等的向量C ．向量AB →的坐标AB ＝－BAD ．|AB →|＝AB 答案 C解析 零向量的方向是任意的，数轴上等长的向量方向不一定相同，不一定是相等向量；向量AB→的坐标AB ＝－BA ，正确；AB 为负数，|AB →|＝AB 不正确．2．数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)，则有：①AB ＋AC ＝0；②AB ＋BC ＝0；③BC>CA ；④|AB →|＋|AC →|>|BC →|．其中，正确结论的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案 C解析 由数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)得，AB ＋AC ＝5－5＝0，①正确； AB ＋BC ＝5－10＝－5，②不正确； BC ＝－10>CA ＝5，③不正确；|AB→|＋|AC →|＝5＋5＝10＝|BC →|，④不正确． 3．已知数轴上两点A ，B ，若点B 的坐标为3，且A ，B 两点间的距离d(A ，B)＝5，则点A 的坐标为( )A ．8B ．－2C ．－8D ．8或－2 答案 D解析 已知B(3)，记点A(x 1)，则d(A ，B)＝|AB|＝|3－x 1|＝5，解得x 1＝－2或x 1＝8．4．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x 等于( )A ．0B ．－163 C ．163 D ．0或－163 答案 D解析 ∵|PA|＝2|PB|，∴|x ＋8|＝2|x ＋4|，解得x ＝0或－163．5．当数轴上的三个点A ，B ，O 互不重合时，它们的位置关系共有六种情况，其中使AB ＝OB －OA 和|AB→|＝|OB →|－|OA →|同时成立的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 答案 B解析 AB ＝OB －OA 恒成立，而|AB →|＝|OB →|－|OA →|成立，则只有点A 在O 和B 中间，共有2种可能．二、填空题6．已知A(2)，B(－3)两点，则AB ＝________，|AB|＝________． 答案 －5 5解析 AB ＝－3－2＝－5，|AB|＝|－5|＝5．7．在数轴上，已知AB →＝2，BC →＝3，CD →＝－6，则AD →＝________．答案 －1解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝2＋3－6＝－1．8．数轴上的点A(3a ＋1)总在点B(1－2a)的右侧，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 因为A(3a ＋1)在B(1－2a)的右侧，所以3a ＋1＞1－2a ，所以a ＞0． 三、解答题9．已知数轴上的点P(x)的坐标分别满足以下情况，试指出x 的各自的取值范围．(1)|x|＝2；(2)|x|＞2；(3)|x －2|＜1．解 (1)|x|＝2表示与原点距离等于2的点， ∴x ＝2或x ＝－2．(2)|x|＞2表示与原点距离大于2的点， ∴x>2或x<－2．(3)|x －2|<1表示与点P(2)的距离小于1的点， ∴1<x<3．10．在数轴上，已知AB →＝3，BC →＝－2， (1)求|AM→＋BC →＋MB →|； (2)若A(－1)，线段BC 的中点为D ，求DC ． 解 (1)|AM →＋BC →＋MB →|＝|AM →＋MB →＋BC →|＝|AB→＋BC →|＝1． (2)由于A(－1)，AB→＝3，BC →＝－2，得x B －x A ＝3，x C －x B ＝－2， 即x B ＝3＋x A ＝2，x C ＝x B －2＝0．所以线段BC 的中点D 的坐标为1．∴DC ＝－1．►2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式1．已知A(1，2)，B(a ，6)，且|AB|＝5，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4或2 C ．－2 D ．－2或4 答案 D 解析(a －1)2＋(6－2)2＝5，∴a ＝4或－2．2．已知△ABC 的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形 答案 C解析 ∵d(A ，B)＝[1－(－1)]2＋02＝2，d(B ，C)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＝1， d(A ，C)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－(－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＝3， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC 为直角三角形．故选C ．点的距离是( )A ．4B ．13C ．15D ．130 答案 D解析 根据中点坐标公式，得⎩⎨⎧－3＝x ＋12，－2＝5＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝－9.∴|PO|＝(－7)2＋(－9)2＝130．4．已知点P(a ＋3，a －2)在y 轴上，则点P 关于原点的对称点的坐标为________． 答案 (0，5)解析 由点P(a ＋3，a －2)在y 轴上，得a ＋3＝0， a ＝－3，∴a －2＝－5，即点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为P ′(0，5)．解 取AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy(如图)．设A 点，B 点，C 点的坐标分别为A(－a ，0)，B(a ，0)(a>0)，C(b ，c)， 由平行四边形的性质知D 点的坐标为(－2a ＋b ，c)．再设AC ，BD 的中点分别为E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，由中心公式得⎩⎨⎧x 1＝－a ＋b 2，y 1＝0＋c2，即E －a ＋b 2，c 2．⎩⎨⎧x 2＝a －2a ＋b 2，y 2＝0＋c 2，即F －a ＋b 2，c 2．∴点E 与点F 重合，∴▱ABCD 的对角线相交且平分．一、选择题1．点A(2，－3)关于坐标原点的中心对称点是( ) A ．(3，－2) B ．(－2，－3) C ．(－2，3) D ．(－3，2) 答案 C解析 设所求点的坐标为B(x ，y)，则由题意知坐标原点是点A ，B 的中点，则⎩⎨⎧2＋x2＝0，－3＋y2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.故选C ．2．已知直线上两点A(a ，b)，B(c ，d)，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是中点D ．以上结论都不对 答案 D 解析 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0得a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即A ，B 两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB 的垂直平分线上，故选D ．3．已知A(1，3)，B(5，－2)，点P 在x 轴上，则使|AP|－|BP|取最大值时的点P 的坐标是( )A ．(4，0)B ．(13，0)C ．(5，0)D ．(1，0) 答案 B解析 如图，点A(1，3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B 交x 轴于点P ，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为：y ＝14x －134，令y ＝0，得x ＝13． 所以点P 的坐标为(13，0)．4．已知A ，B 的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P 在x 轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )A ．20B ．12C ．5D ．4答案C解析 如图，作点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|A ′B|＝(1－4)2＋(－1－3)2 ＝9＋16＝5．5．如果一条平行于x 轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点是( )A ．(－3，1)或(7，1)B ．(2，－3)或(2，7)C ．(－3，1)或(5，1)D ．(2，－3)或(2，5) 答案 A解析 由线段平行于x 轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x ，1)，则|x －2|＝5，所以x ＝7或x ＝－3，即端点坐标为(7，1)或(－3，1)．二、填空题6．已知点M(2，2)平分线段AB ，且A(x ，3)，B(3，y)，则x ＝________，y ＝________．答案 1 1解析 “点M(2，2)平分线段AB ”的含义就是点M 是线段AB 的中点，可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解．∵点M(2，2)平分线段AB ，∴⎩⎨⎧x ＋32＝2，3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.7．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A ，B 等距离的点有________个．答案 2解析 若点在x 轴上，设为(x ，0)，则有(x －1)2＋25＝(x －5)2＋4，∴x ＝38；若点在y 轴上，设为(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y ＝－314．8．已知点A(5，2a －1)，B(a ＋1，a －4)，则当|AB|取得最小值时，实数a 等于________．答案 12解析 |AB|2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB|取得最小值．三、解答题9．已知△ABC 的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．解 设点C(x ，y)．由直线AB 与x 轴不平行，可设边AC 的中点为D ，BC的中点为E ，则DE 綊12AB ．线段AC 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2，7＋y 2， 线段BC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋x 2，5＋y 2． 若点D 在y 轴上，则3＋x 2＝0，所以x ＝－3，此时点E 的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x 轴上，所以5＋y 2＝0，所以y ＝－5，即C(－3，－5)．若点D 在x 轴上，则7＋y 2＝0，所以y ＝－7，此时点E 只能在y 轴上，即－2＋x 2＝0，所以x ＝2，此时C(2，－7)．如图所示．综上可知，符合题意的点C 的坐标为(2，－7)或(－3，－5)．10．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求点P ，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值．解 以正三角形的一边所在直线为x 轴，此边中线所在直线为y 轴建立坐标系，如图．则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ． 设P(x ，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＋x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2 ＝3x 2＋3y 2－3ay ＋54a 2＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2， ∴当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，36a 时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a 2．。

2．1.1数轴上的基本公式学习目标 1.理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义.2.掌握数轴上两点间的距离公式。

3。

掌握数轴上向量加法的坐标运算．知识点一数轴(或直线坐标系）思考1数轴是怎样定义的？思考2实数集与数轴上的点有怎样的关系？梳理数轴的概念(1)数轴（直线坐标系)的定义:一条给出了________、________________和____________的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了________________．(2）数轴上的点P与实数x的对应法则依据这个法则,实数集和数轴上的点之间建立了________________关系．（3)数轴上点P的坐标如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P（x）．知识点二数轴上的向量及有关概念思考1在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？思考2一名同学从A地直接跑到B地，用AB，→表示，你能用这种方法表示该同学从B地返回到A地吗？它们相等吗？思考3相等的向量的起点与终点相等吗？学必求其心得，业必贵于专精梳理数轴上的向量及有关概念（1）向量的定义如果数轴上的任意一点A沿着轴的________________移动到另一点B，则说点在轴上作了一次________，点不动则说点作了________,位移是一个既有________又有________的量，通常叫做________________，简称为________．（2)向量的描述（3)相等的向量________________________的向量叫做相等的向量．知识点三数轴上的基本公式向量坐标运算法则对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系________向量坐标表示及距离公式已知数轴上两点A(x1），B(x2),则AB＝________，d（A，B）＝__________________类型一数轴上的点与实数的对应关系例1(1)如果点P（x)位于点M(－2),点N（3）之间，求x的取值范围；(2）试确定点A(x2＋x＋1)与点B错误!的位置关系．反思与感悟根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧）．(1）A(－1.5)，B（－3）；(2)A(a）,B(a2＋1)；（3）A（|x｜），B（x)．类型二数轴上的向量和基本公式例2已知数轴上有A、B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.（1)求OA,AB的坐标；（2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．反思与感悟数轴上的向量的计算策略(1）熟练掌握一些条件变换，如－MQ＝QM。

2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式学习目标1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实数运算在数轴上的几何意义.(重点)2.理解向量及其相等的概念.(重点)3.掌握数轴上向量加法的坐标运算及数轴上两点间的距离公式.(重点)4.数轴上向量坐标与其长度之间的区别与联系.(难点)阶段1：认知预习质疑教材整理1 数轴及向量概念阅读教材P65～P66内容，完成下列问题.1.一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系.2.向量的概念(1)向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量.(2)相等向量数轴上同向且等长的向量，叫做相等向量.(3)向量的坐标用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.( )(2)相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等.( )(3)数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标.( )【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2 数轴上的基本公式阅读教材P67“练习”以上内容，完成下列问题.在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，解下列方程：(1)|x＋3|＋|x－1|＝5；(2)|x＋3|＋|x－1|＝4.【解】(1)∵|x＋3|＋|x－1|表示数轴上点到A(－3)与B(1)的距离之和，而A(－3)到B(1)的距离为|1－(－3)|＝4，又∵|x＋3|＋|x－1|＝5，∴x＝－3.5或x＝1.5.∴方程的解为x＝－3.5或x＝1.5.(2)∵|x＋3|＋|x－1|表示数轴上点到A(－3)与B(1)的距离之和，而A(－3)到B(1)的距离为|1－(－3)|＝4，又∵|x＋3|＋|x－1|＝4，∴－3≤x≤1，x|－3≤x≤1.∴方程的解集为{}阶段2：合作探究通关(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系.【导学号：45722067】【精彩点拨】两点的相对位置关系由两点坐标的大小决定，可在草稿纸上画出数轴帮助理解.【自主解答】(1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合.数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.1.不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： (1)A (－3.2)，B (－2.3)；(2)A (m )，B (m 2＋1)； (3)A (|a |)，B (a ).【解】 (1)因为－2.3>－3.2，所以A (－3.2)位于B (－2.3)的左侧.(2)因为m 2＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋34≥34>0，所以m 2＋1>m ，所以B (m 2＋1)位于A (m )的右侧. (3)当a ≥0时，|a |＝a ，则A (|a |)和B (a )为同一个点. 当a <0时，|a |>a ，则A (|a |)位于B (a )的右侧.已知A.AB →>CD → B.|AB |>|CD |C.AB ＝3表示数轴上的向量AB →的坐标为3，CD ＝－2表示数轴上的向量CD →的坐标为－2 D.AB ＝3表示数轴上的向量AB →的方向与数轴的方向相同；CD ＝－2表示数轴上的向量CD →的方向与数轴的方向相反【精彩点拨】 准确把握数学概念是利用数学概念解决问题的关键.在题目中“AB ”，“CD ”反映的是数轴上的向量“AB →”，“CD →”的大小和方向，“|AB |”，“|CD |”反映的是数轴上向量“AB →”，“CD →”的大小.【自主解答】 ∵向量不能比较大小，∴A 选项错误；同时由向量的相关概念知，B 、C 、D 都正确.故选A.【答案】 A1.向量和数量的区别(1)在数学中，既有大小，又有方向的量称为向量.而只有大小，没有方向的量称为数量. (2)向量的两要素是大小、方向.其中大小是代数特征，方向是几何特征，因此向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分.2.向量的几何表示由于几何中的有向线段具有长度和方向，而向量是一种既有大小又有方向的量，因此向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，如向量AB →，A 叫做AB →的起点，B 叫做AB →的终点.2.如图2­1­1，AB →是数轴上的一个向量，O 为原点，则下列各式中不成立的是( )图2­1­1A.OA ＝|OA →| B.OB ＝|OB →| C.AB ＝OB －OAD.BA ＝OA －OB【解析】 由于点A 在原点的右侧，点B 在原点的左侧，可知点A 表示的数x 1比点B 表示的数x 2大，即OA ＝x 1>0，OB ＝x 2<0，所以OA ＝|OA →|＝|x 1|＝x 1，OB ＝x 2≠|OB →|＝|x 2|＝－x 2，AB ＝x 2－x 1＝OB －OA ，BA ＝x 1－x 2＝OA －OB .故B 不成立. 【答案】 B探究1 【提示】 分类讨论.探究2 向量的长度及数量的区别与联系. 【提示】 |AB |＝d (A ，B )＝|x B －x A |，AB ＝x B －x A .已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝2，求d (M ，P ).【精彩点拨】 先由已知条件确定M 、N 、P 的位置，注意情况是否唯一，若不唯一，尝试分类讨论.【自主解答】 ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝2， (1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－2＝3.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d (M ，P )＝|MN |＋|NP |＝5＋2＝7.综上所述：d (M ，P )＝3或d (M ，P )＝7.1.解答本类问题时，如果两点的相对位置不确定，一定要注意分类讨论.2.要明确向量的长度及数量的区别与联系，注意|AB |＝d (A ，B )＝|x B －x A |，AB ＝x B －x A .3.已知数轴上点A 、B 、C 的坐标分别为－1、3、5，求向量AB →、BA →、BC →的坐标及A 、C 两点的距离.【解】 向量AB →的坐标AB ＝3－(－1)＝4，向量BA →的坐标BA ＝－AB ＝－4，向量BC →的坐标BC ＝5－3＝2.A 、C 两点的距离d (A ，C )＝|AC |＝|5－(－1)|＝6.1.下列各组点中，点C 位于点D 的右侧的是( ) A.C (－3)和D (－4) B.C (3)和D (4) C.C (－4)和D (3) D.C (－4)和D (－3)【解析】 由数轴上点的坐标可知A 正确. 【答案】 A2.下列说法正确的是( ) A.点M (x )位于点N (2x )的左侧 B.数轴上等长的向量是相等的向量 C.向量A B →在数轴上的坐标AB ＝－BA D.数轴是有方向的直线 【解析】 逐个判断可知. 【答案】 C3.若在直线坐标系中，有两点A (6)，B (－9)，且AB ＋BC ＝2 014，则点C 的坐标为________.【解析】 设C 点的坐标为x ，则 －9－6＋x ＋9＝2 014，解得x ＝2 020. 【答案】 2 0204.在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________.【解析】∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11.【答案】115.在数轴上求一点P，使它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍.【导学号：45722068】【解】设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5).。

课时分层作业(十三)数轴上的基本公式(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．给出以下几个命题，其中正确命题的个数是()①数轴上起点相同的向量方向相同；②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；④零向量没有方向．A．1B．2C．3D．4A[起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若起点不同，则终点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错．综上，正确的只有②.]2．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于() A．－4 B．4C．－12 D．12C[MP＝(－5)－3＝－8，PN＝(－1)－(－5)＝4，MP－PN＝－8－4＝－12.] 3．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD ＝()A．0 B．－2C ．10D ．－10B [由题意知AD ＝AB ＋BC ＋CD＝－BA ＋BC ＋CD ＝－6－2＋6＝－2，故选B.]4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，解得x A ＝3.]5．对于数轴上任意三点A ，B ，O ，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )A ．AB ＝OB －OAB ．AO ＋OB ＋BA ＝0C ．AB ＝AO ＋OBD ．AB ＋AO ＋BO ＝0D [由有向线段数量关系的运算知：AB ＝OB －OA ，AB ＝AO ＋OB ，AO ＋OB ＋BA ＝AB ＋BA ＝0，所以A 、B 、C 都恒成立，而对于D ，AB ＋AO ＋BO ＝OB －OA ＋AO ＋BO ＝2AO ，故选D.]二、填空题6．若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则C 点的坐标为________．－9 [设C 点的坐标为x ，则－2－5＋(－2－x )＝0，解得x ＝－9.]7．在数轴上从点A (－3)引一线段到B (4)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为________．11 [∵d (A ，B )＝4－(－3)＝7＝d (B ，C )＝x －4，∴x ＝11.]8．已知点A (2x )，B (x 2)，且点A 在点B 右侧，则x 的取值范围是________． (0,2) [∵A 在B 点的右侧，∴2x >x 2，即x 2－2x <0，∴0<x <2.]三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|，若关于x 的不等式f (x )≥k 有解，求k 的最大值．[解] |x －2|表示x 与2的距离，|x －5|表示x 与5的距离，f (x )＝|x －2|－|x －5|表示x 与两点2和5的距离之差．当x ≤2时，f (x )为－3；当2<x <5时，f (x )的范围为(－3,3)；当x ≥5时，f (x )为3，∴－3≤|x －2|－|x －5|≤3.要使不等式f (x )≥k 有解，则k ≤3，∴k max ＝3.10．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3.(1)求向量OA →、AB →的数量；(2)求所有满足条件的点B 到原点O 的距离之和．[解] (1)∵A 与原点的距离为3，∴A (3)或A (－3)．当A (3)时，∵A 、B 距离为1，∴B (2)或B (4)，这时OA →的数量为3，AB →的数量为－1或1，当A (－3)时，∵A 、B 距离为1，所以B (－4)或B (－2)，此时OA →的数量为－3，AB →的数量为－1或1.(2)满足条件的所有点B 到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.[等级过关练]1．三个不相等的实数a ，b ，c 在数轴上分别对应点A ，B ，C ，如果|a －b |＋|b －c |＝|a －c |，则点B 在点( )A ．A ，C 的右边B ．A ，C 的左边C ．A ，C 之间D ．A 或C 上C [①若点B 在A ，C 右边，则b >a ，b >c ，则有|a －b |＋|b －c |＝b －a ＋b －c ＝2b －(a ＋c )，不一定等于|a －c |；②若点B 在A ，C 左边，则b <a ，b <c 所以|a －b |＋|b －c |＝a －b ＋c －b ＝(a ＋c )－2b 也不一定与|a －c |相等；③若点B 在点A ，C 之间，则a <b <c 或c <b <a ，则有|a －b |＋|b －c |＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |；④∵a ，b ，c 不相等，故点B 不可能在点A ，C 上．]2．设数轴上三点A ，B ，C ，点B 在A ，C 之间，则下列等式不成立的有________(填序号)．①|AB →－CB →|＝|AB →|－|CB →|；②|AB →＋CB →|＝|AB →|＋|CB →|；③|AB →－CB →|＝|AB →|＋|CB →|；④|AB →＋CB →|＝|AB →－CB →|.①②④ [∵|AB →－CB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|，而AB ＋BC ＝AC ，所以③正确．其余均错．]。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.1数轴上的基本公式课时作业 新人教B 版必修2一、选择题1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] ①②③④都正确．2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 [答案] A[解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A ．3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] C[解析] 数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN ＝NM 不正确，MP ＝－10，PN ＝－4正确．4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，∴x A ＝3.5．数轴上，M 、N 、P 的坐标分别为3、－1、－5，则MP ＋PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 [答案] A[解析] MP ＋PN ＝MN ＝－1－3＝－4.6．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定 [答案] D[解析] 2x ＋a 与2x 的大小由a 确定，从而A 与B 的位置关系也由a 确定．二、填空题7．数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.[答案] －2或－5[解析] 由题知|x ＋8|＝3|x ＋4|，则x ＝－2或x ＝－5.8．已知点A (2x )、B (x )，点A 在点B 的右侧，则x 的取值范围为________．[答案] (0，＋∞)[解析] 由已知，得2x >x ，即x >0.三、解答题9．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．[解析] (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3.(2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3，|AB |＝|(－5)－(－2)|＝3.10．甲、乙两人从A 点出发背向行进，甲先出发，行进10 km 后，乙再出发，甲的速度为每小时8 km ，乙的速度为每小时6 km ，当甲离开A 点的距离为乙离开A 点的距离的2倍时，甲、乙两人的距离是多少？[解析] 以A 为原点，以甲行进方向为正方向建立直线坐标系，设乙出发后t h ，甲到A 点的距离是乙到A 点的距离的2倍，则甲的坐标为8t ＋10，乙的坐标为－6t .由两点间的距离公式得8t ＋10＝2×6t ，得t ＝52. d (甲，乙)＝|8t ＋10＋6t |＝10＋14t ＝45.所以甲、乙两人相距45 km.一、选择题1．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] B[解析] ∵AB ＝(2＋b )－b ＝2，∴点B 一定在点A 的右侧．2．已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( ) A ．0B ．－23C ．23D ．19 [答案] C [解析] d (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13＋13＝23. 3．已知数轴上两点A 、B ，若点B 的坐标为3，且A 、B 两点间的距离d (A ，B )＝5，则点A 的坐标为( )A ．8B ．－2C ．－8D ．8或－2 [答案] D[解析] 记点A (x 1)、B (x 2)，则x 2＝3，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|3－x 1|＝5，解得x 1＝－2或x 1＝8.4．已知数轴上两点A (a )、B (b )，则在数轴上满足条件|PA |＝|PB |的点P 坐标为( )A ．b －a 2 B ．a －b 2 C ．a ＋b 2 D ．b －a[答案] C[解析] 设点P 的坐标为x .∵|PA |＝|PB |，∴|a －x |＝|b －x |，即a －x ＝±(b －x )，解得x ＝a ＋b 2，故选C ．二、填空题5．设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0；②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ －PN ＋MN －MQ ＝0；④QM ＝MN ＋NP ＋PQ .其中正确的序号是________．[答案] ①②③[解析] 由向量的运算法则知，MN ＋PQ －MQ －PN ＝MN ＋PQ ＋QM ＋NP ＝MP ＋PM ＝0，故①②正确；PQ －PN ＋MN －MQ ＝PQ ＋NP ＋MN ＋QM ＝NQ ＋QN ＝0，故③正确；MN ＋NP ＋PQ ＝MQ ，与QM 不相等，故④错．6．若数轴上有四点A 、B 、C 、D ，且A (－7)、B (x )、C (0)、D (9)，满足AB →＝CD →，则x ＝________.[答案] 2[解析] ∵AB →＝CD →表示向量AB →与向量CD →方向相同，且长度相等，∴AB ＝CD ，∴x ＋7＝9－0，∴x ＝2.三、解答题7．根据下列条件，在数轴上分别画出点P (x )．(1)|x －1|≤2；(2)|x ＋2|>1.[解析] (1)∵|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3，∴点P (x )表示坐标为－1和3的两点A 、B 间的线段AB (包括两个端点)，画图如下：(2)∵|x ＋2|>1，∴x <－3或x >－1，∴点P (x )表示以坐标为－3和－1的两点C 、D 为端点的两条射线CE 、DF ，画图如下：8．已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到点E ，使d C ，E d E ，D ＝14，求点E 的坐标． [解析] 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －－2x －1＝12， ∴x ＝－5.即C 点坐标为－5.∵E 在DC 的延长线上，∴d C ，E d E ，D ＝EC ED ＝－5－x ′3－x ′＝14， ∴x ′＝－233，即E 点坐标为－233. 9．在数轴上求一点的坐标，使它到点A (－9)的距离是它到点B (－3)距离的2倍．[解析] 设所求点为P (x )，由题意，得d (A ，P )＝2d (B ，P )，即|x ＋9|＝2|x ＋3|，解得x ＝3或x ＝－5.。

第二章2.1.2一、选择题1．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q 的坐标为导学号 03310519( ) A ．(1,5) B ．(4,9) C ．(5,3) D ．(9,4)[答案] B[解析] 设点Q 的坐标为(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧3＝2＋x24＝－1＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝9．2．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点为P(2，－1)，则|AB|等于导学号 03310520( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210[答案] C[解析] 设A(a,0)、B(0，b)．由中点坐标公式，得⎩⎨⎧2＝a ＋02－1＝0＋b2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2.即A(4,0)、B(0，－2)， ∴|AB|＝－2＋－2－2＝25，故选C ．3．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是导学号 03310521( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B [解析] ∵|AB|＝－2＋－2＝17，|BC|＝－2＋－2＝18， |AC|＝－2＋5－2＝17．∴△ABC 为等腰三角形．4．已知△ABC 的两个顶点A(3,7)、B(－2,5)，若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是导学号 03310522( )A ．(－3，－7)B ．(－3，－7)或(2，－5)C ．(3，－5)D ．(2，－7)或(－3，－5)[答案] D[解析] 设C(x ，y)，显然AC 、BC 的中点不同在一条坐标轴上．若AC 的中点在x 轴上，BC 中点在y 轴上，则有y ＋7＝0，－2＋x ＝0，即C(2，－7)；若AC 中点在y 轴上，BC 中点在x 轴上，则有3＋x ＝0,5＋y ＝0，即C(－3，－5)．5．已知两点A(a ，b)、B(c ，d)，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则导学号 03310523( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确 [答案] D[解析] ∵A(a ，b)、B(c ，d)， 且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，∴点A 与点B 到原点的距离相等．6．已知线段AB 的中点在坐标原点，且A(x,2)、B(3，y)，则x ＋y 等于导学号 03310524( )A ．5B ．－1C ．1D ．－5[答案] D[解析] 由题意得⎩⎨⎧x ＋32＝02＋y2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2．∴x ＋y ＝－5． 二、填空题7．已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(－2,3)、C(0，－1)，则BC 边上中线的长为__________.导学号 03310525[答案] 3[解析] 由中点公式得BC 边的中点D(－1,1)，再由两点的距离公式得d(A ，D)＝－1－2＋－2＝3，即BC 边上中线的长为3．8．点M 到x 轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________. 导学号 03310526[答案] (2,10)或(－10,10) [解析] 设M(x ，y)， 则|y|＝＋2＋－2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝10．三、解答题9．已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3).导学号 03310527 (1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．[解析] (1)|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100， |BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20， |AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80， 因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°．(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为(6＋02，1－72)，即(3，－3)． 10．已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)、B(－2,4)，若它的对角线交点在x 轴上，求另外两顶点的坐标.导学号 03310528[解析] 设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|， 即(x ＋1)2＋(0－3)2＝(x ＋2)2＋(0－4)2， 解得x ＝－5，所以对角线交点为P(－5,0)． 所以x C ＝2×(－5)－(－1)＝－9， y C ＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)； x D ＝2×(－5)－(－2)＝－8，y D ＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).一、选择题1．设A(3,4)，在x 轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x 等于导学号 03310529( ) A ．0 B ．6 C ．0或6 D ．0或－6[答案] C[解析] 由|PA|＝5，得(x －3)2＋(0－4)2＝25，解得x ＝6或x ＝0．2．已知菱形的三个顶点分别为(a ，b)、(－b ，a)、(0,0)，则它的第四个顶点是导学号 03310530( )A ．(2a ，b)B ．(a －b ，a ＋b)C ．(a ＋b ，b －a)D ．(a －b ，b －a)[答案] B[解析] 令A(a ，b)、B(－b ，a)、C(0,0)，因为三条线段AB 、AC 、BC 中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝a 2＋b 2，得AB 为对角线．设D(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧a －b 2＝x 0＋02b ＋a 2＝y 0＋02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a －b y 0＝a ＋b ．3．已知点P 1(3，－5)、P 2(－1，－2)，在直线P 1P 2上有一点P ，且|P 1P|＝15，则P 点坐标为导学号 03310531( )A ．(－9，－4)B ．(－14,15)C ．(－9,4)或(15，－14)D ．(－9,4)或(－14,15)[答案] C[解析] 由已知得点P 在P 1P 2的延长线上或P 2P 1的延长线上，故有两解，排除选项A 、B ，选项C 、D 中有共同点(－9,4)，只需验证另外一点P 是否适合|P 1P|＝15.若P(15，－14)，则|P 1P|＝－2＋－14＋2＝122＋92＝15，故选C ．4．已知A(－3,8)、B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是导学号 03310532( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(225，0)D ．(0，225)[答案] B[解析] 如图，A 关于x 轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B 与x 轴的交点即为M ， 求得点M 坐标为(1,0)． 二、填空题5．已知△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点分别为P(3，－2)、Q(1,6)、R(－4,2)，则顶点A 的坐标为________.导学号 03310533[答案] (－2，－6)[解析] 设A(x 0，y 0)，则由P 是AB 的中点得B(6－x 0，－4－y 0)．由Q 是BC 的中点得C(x 0－4,16＋y 0)．∵R 是CA 的中点，∴－4＝x 0＋x 0－42，2＝y 0＋16＋y 02，∵x 0＝－2，y 0＝－6，∴A(－2，－6)．6．等腰三角形ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________.导学号 03310534[答案] 2 6[解析] |BD|＝12|BC|＝2，|AD|＝－2＋－2＝2 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB|＝22＋52＝26．三、解答题7．求证：A(2，－5)、B(6,1)、C(5，－12)不能成为三角形的三个顶点.导学号 03310535[解析] 由|AB|＝213，|AC|＝3132，|BC|＝132满足|BC|＋|AC|＝|AB|，故A 、B 、C 三点在同一条直线上，构不成三角形．8．△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2).导学号 03310536[解析] 以BC 边所在直线为x 轴，边BC 的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)、O(0,0)、C(a,0)，其中a>0，A(m ，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．9．已知三角形ABC的顶点A(－7,0)、B(2，－3)、C(5,6)．判断此三角形形状，并求其面积.导学号03310537[解析]|AB|＝＋2＋－2＝310，|BC|＝－2＋＋2＝310，|AC|＝＋2＋62＝65，∴|AB|＝|BC|且|AB|2＋|BC|2＝|AC|2．∴△ABC为等腰直角三角形．∴S△ABC＝12|AB|·|BC|＝12×310×310＝45．。

第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值范围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA和||=||-||同时成立的情况有( B ) (A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错.答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的范围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的范围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。

第二章平面分析几何初步§2.1平面直角坐标系中的基本公式数轴上的基本公式课时目标之间的关系．1．理解数轴上的向量和相等的向量的含义，2．探究并掌握数轴上两点间距离公式．理解向量的长度和向量的坐标1．假如数轴上的随意一点 A 沿着轴的正向或负向挪动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了__________ ．位移是一个既有________又有 ________的量，通常叫做 ______________，本书柬称为________．2．数轴上 ________且 ________的向量叫做相等的向量．→→→的3．在数轴上向量 AB 的长度连同表示方向的符号称作向量AB 的坐标或数目，向量AB 坐标用 ________表示．4．起点和终点重合的向量是 __________ ，它没有确立的方向，它的坐标为______．→ → →→→ →5．对数轴上随意三点 A 、B、C，三向量 AC 、AB 、BC 之间关系为 AC ＝ AB ＋BC，它们的坐标之间关系为____________________________________________________________ ．→6．设 AB 是数轴上的随意一个向量，点 A 的坐标为x1，点 B 的坐标为x2，则 AB ＝__________ ；数轴上两点 A 、 B 的距离公式是________________ ．一、选择题1．以下说法中，正确的选项是()A．向量不可以比较大小，所以向量无大小B．零向量是没有方向的C．向量的长度也是向量的数目D．若 AB ＝4，则 BA ＝－ 42．以下说法正确的选项是()A．两点确立一条有向线段→B．有向线段 AB 的数目 AB ＝－ |BA|C．若 A ， B ，C 是数轴上的随意三点，则必定有AB ＝AC ＋CBD．点 A(2) ，B( － 1)，则 AB ＝ 33．如下图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距 1 个单位，点 A 、B、 C、D 对应的数分别是整数a， b， c，d，且 d－2a＝ 10，那么数轴的原点应是()A． A点B．B 点C．C 点D． D点4．若点A、B、C、D在一条直线上，BA ＝ 6， BC＝－ 2， CD＝ 6，则AD等于 () A． 0B．－ 2C． 10D．－ 105．A 、 B 为数轴上的两点， A 点的坐标是－ 1， AB ＝ 6，那么点 B 的坐标为 ()A．5B．－7C．5 或－7D．－5 或 76．三个不相等的实数a，b， c 在数轴上分别对应点 A ， B， C，假如 |a－ b|＋ |b－ c|＝ |a － c|，则点B在点()A．A，C的右边B．A，C的左侧C．A ，C之间D． A或C 上二、填空题7．已知数轴上两点A(a) ，B(5 ．5) ，而且d(A ，B) ＝ 7．5，则a＝________；若 AB ＝ 7．5，则 a＝ ________．8．以下各组点中，点 B 在点 A 右边的是 ________．①A( － 1)和 B( －4) ；② A(a) 和 B(a＋ 1)；③ A(a) 和 B(3a) ；④ A( － 2)和 B(0) ；⑤ A(a) 和 B(b)( 此中 a<b)；⑥ A(2x) 和 B(x 2) (x ≠．0)9．数轴上一点 P(x) ，它到点 A( － 8) 的距离是它到点B( － 4) 距离的 2 倍，则x ＝__________ ．三、解答题10．已知数轴上的两个点A(a) 、 B(5) ，当 a 为什么值时：(1)两点间的距离等于5；(2)两点间的距离大于5；(3)两点间的距离小于3．11．依据以下条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x|<2； (2)|x|>2 ； (3)|x|＝ 2；(4)|x－ 1|>2； (5)|x＋ 1|>2．能力提高12．已知数轴上点 A 的坐标 x A． x＝－ 3 或 x＝ 1C．－ 1≤ x≤ 313．电子跳蚤落在数轴上的某点知足 |x＋3|＋ |x－ 1|＝ 4，则 x 的取值为 (B ． x≥1或 x≤－ 3D ．－ 3≤ x≤1k0，第一步从k0向左跳 1 个单位抵达)k1，第二步由k1向右跳 2 个单位抵达 k2，第三步从k2向左跳 3 个单位抵达k3，第四步由k3向右跳 4 个单位抵达 k4，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰为19．94，试求电子跳蚤的初始地点k0点所表示的数．1．相等的向量的起点与终点其实不必定一致，能够经过平移将全部相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，假如把相等的全部向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①关于数轴上随意三点 A ，B ， C 都有 AC ＝AB ＋ BC；② AB ＝－ BA 或AB ＋BA ＝0．3．向量与数目的差别与联系向量是不一样于数目的一种新的量．数目只有大小，没有方向，其大小能够用正数、负数或零来表示，它是一个代数目，能够进行各样代数运算；数目之间能够比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；因为方向不可以比较大小，所以“大于”“小于”对向量来说是没存心义的．第二章平面分析几何初步§2． 1平面直角坐标系中的基本公式2．1． 1数轴上的基本公式答案知识梳理1．零位移大小方向位移向量向量2．同向等长3．AB4．零向量05．AC ＝ AB ＋ BC6． x2－x1d(A ， B) ＝ |AB| ＝ |x2－ x1|作业设计1．D [ 由向量的观点可知， A ， B 均不正确， C 不正确．应选D． ]2． C3．B [ 用清除法，如原点为 A ，则 a＝ 0， d＝ 7， d－2a＝ 7≠ 10，清除 A ，相同的方法，清除 C、D；当 B 为原点时， a＝－ 3，d＝4， d－2a＝ 4－ 2×(－3) ＝10，知足条件，应选B．] 4． B 5．A6． C [ ①若点 B 在 A ，C 右边，则 b>a，b>c，则有 |a－ b|＋ |b－ c|＝ b－ a＋ b－ c＝ 2b－(a＋c)，不必定等于 |a－ c|；②若点 B 在 A ， C 左侧，则 b<a， b<c 所以 |a－ b|＋ |b－ c|＝a－ b ＋ c－ b ＝ (a＋ c)－ 2b 也不必定与 |a－ c|相等；③若点 B 在点 A ，C 之间，则 a<b<c 或 c<b<a，则有 |a－ b|＋|b－ c|＝ |a－ b＋ b－ c|＝|a－ c|；④∵ a，b，c 不相等，故点 B 不行能在点 A，C 上．] 7．－ 2 或 13－28．②④⑤169．0 或－310．解数轴上两点 A 、 B 之间的距离为|AB| ＝ |a－5|．(1)依据题意 |a－ 5|＝ 5，解得 a＝ 0 或 a＝ 10．(2)依据题意 |a－ 5|>5，即 a－ 5>5 或 a－ 5<－ 5，∴a>10 或 a<0．(3)依据题意 |a－ 5|<3，即－ 3<a－ 5<3，∴ 2<a<8．11．解(1)|x|<2表示与原点距离小于 2 的点．(2)|x|>2表示与原点距离大于 2 的点．(3)|x|＝ 2 表示两个点A( － 2)， B(2) ．(4)|x－ 1|>2 表示与点P(1)的距离大于 2的点．(5)|x＋ 1|>2 表示与点P(－ 1)的距离大于 2 的点．12．D13．解设k0表示数轴上的数为x，则 k1，k2，k3，，k100表示的有理数分别为x－ 1，x－ 1＋ 2， x－ 1＋ 2－ 3，， x－ 1＋2－ 3＋ 4－－ 99＋ 100，由题意得x－ 1＋2－ 3＋ 4－－99＋ 100＝ 19．94，即 x＋(－ 1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ (－ 99＋100)＝ 19．94，即 x＋ 50＝ 19．94，∴ x＝－ 30． 06，∴ k0表示的数为－ 30． 06．。

1．下列说法中正确的是()A．零向量有确定的方向B．数轴上等长的向量叫做相等的向量C．向量AB的坐标AB＝－BAD．|AB|＝AB解析：零向量没有确定的方向，A不正确．向量不但有大小，而且有方向，B不正确．∵|AB|＝|AB|，D不正确，由坐标表示可知AB＝－BA.答案：C2．对于数轴上任意三点A、B、O，在如下向量的坐标关系中，不恒成立的是() A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0C．AB＝AO＋OB D．AB＋AO＋BO＝0解析：由数轴上向量坐标的定义及运算法则，可知AB＋AO＋BO＝2AO.其它运算皆成立．答案：D3．数轴上点P、M、N的坐标分别为－2、8、－6，则MN＝NM；MP＝－10; PN＝－4.其中，正确的表示有()A. 0个B．1个C．2个D．3个解析：数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确．答案：C4．数轴上与－2对应的点距离为3的两点确定向量的数量为________．解析：设所求的点的坐标为x，则|x＋2|＝3，x＋2＝±3，∴x＝1或－5.故确定向量的数量为±6.答案：±65．数轴上与点M(3)的距离是2的点A是________．解析：由数轴上点的坐标表示可知A(1)或A(5)．答案：A(1)或A(5)6．已知数轴x上的点A、B、C的坐标分别为－1、3、5.(1)求AB、BA、|AB|、BC、|AC|.(2)若x轴上还有两点E、F，且AE＝8，CF＝－4，求点E、F的坐标．解：(1)AB＝x B－x A＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4，|AB|＝4，BC＝x C－x B＝5－3＝2，|AC|＝|x C－x A|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E、F点的坐标分别为x E，x F，因为AE＝8，∴x E－x A＝8，x E＝8－1＝7.又因为CF＝－4，∴x F－x C＝－4，∴x F＝－4＋5＝1.∴E、F两点的坐标分别为7,1.。

1．下列说法正确的是()．A ．零向量有确定的方向B ．数轴上等长的向量叫做相等的向量C ．向量AB 的坐标AB ＝－BAD ．|AB |＝AB2．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为－7、2、3，则AB ＋CA 的值为()．A ．1B ．19C ．－1D ．－193．数轴上两点A (2x )、B (2x ＋a )，则A 、B 两点的位置关系为()．A ．A 在B 的左侧B ．A 在B 的右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的值决定4．数轴上点P (x )、A (－8)、B (－4)，若|P A |＝2|PB |，则x ＝()．A ．0B ．163-C ．163D ．0或163- 5．已知数轴上的向量AB 、BC 、DC 的坐标分别为AB ＝2、BC ＝－5、DC ＝－4，则|AD |＝____，AD ＝____.6．若不等式|x －1|＋|x ＋3|＞a 恒成立，则实数a 的取值范围为______．7．甲、乙两人从A 点出发背向行进，甲先出发，行进10km 后，乙再出发，甲的速度为每小时8km ，乙的速度为每小时6km ，当甲离开A 的距离为乙离开A 的距离的2倍时，甲、乙二人的距离是多少？8．已知数轴上有点A (－2)、B (1)、D (3)，点C 在直线AB 上，且有12AC BC =，延长DC 到E ，使()1()4d C E d D E =，，，求点E 的坐标．9.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程：(1)|x ＋3|＋|x －1|＝5；(2)|x ＋3|＋|x －1|＝4；(3)|x ＋3|＋|x －1|＝3．参考答案1.答案：C2.答案：C3.答案：D4.答案：D5.答案：116.答案：a ＜4解析：∵|x －1|＋|x ＋3|≥4，∴a ＜4．7.解：以A 为原点，以甲行进方向为正方向建立直线坐标系，乙出发后t 时，甲到A 点的距离是乙到A 点的距离的两倍，则甲的坐标为8t ＋10，乙的坐标为－6t ，由两点间的距离公式得：8t ＋10＝2×6t ，得52t =. d (甲，乙)＝|8t ＋10＋6t |＝10＋14t ＝45即甲、乙二人相距45km.8.解：设C (x )， E (x ′)，如图所示，则()2112x x AC BC x --==-，x ＝－5，所以C (－5)．因为E 在DC 的延长线上，所以()51()34d C E x'd D E x'+==-，，.所以233x'=-，即点E (233-)． 9.解：∵|x ＋3|＋|x －1|表示数轴上的任意点P (x )到A (－3)和点B (1)的距离之和|P A |＋|PB |，如图∴当P 位于点A 的左边时， |P A |＋|PB |＞|AB |＝4；当P 位于点A 和B 之间时(包括点A 和点B )，|P A |＋|PB |＝|AB |＝4，当P 位于点B 的右边时，|P A |＋|PB |＞|AB |＝4，∴任意点P (x )都有|P A |＋|PB |≥4．(1)∵|x ＋3|＋|x －1|＝5＞4，∴P (x )应该在点A (－3)的左边或点B (1)的右边，容易验证：x ＝－3.5或x ＝1.5.(2)∵|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴点P (x )应该在点A (－3)和点B (1)之间，并且点A 、B 之间的任意点P (x )都满足|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴x {x |－3≤x ≤1}．(3)∵任意P (x )都能使|P A |＋|PB |≥4，∴|x ＋3|＋|x －1|＝3＜4无解，即x.。

1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为－7、2、3，则AB ＋CA 的值为( )A ．1B ．19C ．－1D ．－19解析：选C.AB ＋CA ＝x B －x A ＋x A －x C ＝x B －x C ＝2－3＝－1.2．已知在数轴上画点，确定下列各组中，哪组的点M 位于点N 的右侧( )A ．M (－1)和N (2)B ．M (－1)和N (－2)C ．M (1)和N (2)D ．M (－2)和N (－1)答案：B3．对于数轴上任意三点A 、B 、O ，在如下向量的坐标关系中，不恒成立的是( )A ．AB ＝OB －OA B ．AO ＋OB ＋BA ＝0C ．AB ＝AO ＋OBD ．AB ＋AO ＋BO ＝0答案：D4．数轴上A 、B 两点间的距离是5，点A 的坐标是1，则点B 的坐标是________． 答案：6或－45．已知A (3)、B (－2)两点，则AB ＝________，|AB |＝________.解析：AB ＝x B －x A ＝－2－3＝－5，|AB |＝|－2－3|＝5.答案：－5 51．若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则C 点的坐标为( )A ．(－5)B ．(－9)C ．(－3)D ．(3)解析：选B.设C (x )，则AB ＝－7，CB ＝－2－x .∵AB ＝BC ，∴－7＝x ＋2.∴x ＝－9.2．下列说法正确的个数为( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.向量坐标的绝对值等于向量的长度，故②不正确．3．若数轴上两点A (8)，B (3)，则|AB ||BA |等于( ) A.38 B.83C ．1D ．－1解析：选C.∵|AB |＝|BA |，∴|AB ||BA |＝1. 4．当数轴上的三点A 、B 、O 不重合时，它们的位置关系有六种不同的情形，其中使AB ＝OB －OA 和|AB |＝|OB |－|OA |同时成立的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种答案：B5．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a ，b ，c ，d ，且d －2a ＝10，那么数轴的原点应是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 解析：选B.由题意知d －2a ＝10，又因为d －a ＝7，∴a ＝－3，∴B 点为原点．6．数轴上任取三个不同点P ，Q ，R ，则一定为零值的是( )A ．PQ ＋PRB ．PQ ＋RQC ．PQ ＋QR ＋PRD ．PQ ＋QR ＋RP解析：选D.若几个向量的和为零，则一定存在相反方向的向量．A 中为同向向量，和不可能为零；B 中无法判定方向是否相同；C 中若P ，Q ，R 自左至右也为同向，选D.7．已知点M (2a ＋1)在点N (3a )的左侧，则a 的取值范围是________．答案：a >18．数轴上的一点P (x )到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍，则x ＝________.解析：由题意可得|x ＋8|＝2|x ＋4|，解得x ＝0或x ＝－163. 答案：0或－1639．a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则1a －b ，1c －b ，1a －c 中最大的是________．解析：由图知，a <b <c <0，∴a －b <0，b －c <0，a －c <0，∴1a －b <0，1a －c <0，1c －b >0，∴1a －b ，1c －b ，1a －c 中最大的为1c －b. 答案：1c －b10．已知数轴x 上的点A 、B 、C 的坐标分别为－1、3、5.(1)求AB 、BA 、|AB |、BC 、|AC |；(2)若x 轴上还有两点E 、F ，且AE ＝8，CF ＝－4，求点E 、F 的坐标．解：(1)AB ＝x B －x A ＝3－(－1)＝4；BA ＝－AB ＝－4；|AB |＝4；BC ＝x C －x B ＝5－3＝2；|AC |＝|x C －x A |＝|5－(－1)|＝6.(2)设E 、F 点的坐标分别为x E ，x F ，∵AE ＝8，∴x E －x A ＝8，x E ＝8＋x A ＝8－1＝7.又∵CF ＝－4，∴x F －x C ＝－4，∴x F ＝－4＋x C ＝－4＋5＝1.∴E 、F 两点的坐标分别为7,1.11．在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解方程|x ＋3|＋|x －1|＝5.解：∵－3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A (－3)和B (1)的距离之和等于5的点为C (1.5)或C (－3.5)，∴x ＝－3.5或x ＝1.5.12．已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，问在线段DC 上是否存在点E ，使d (C ，E )d (E ，D )＝14？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，说明理由． 解：存在点E .设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －(－2)x －1＝12， 即x ＝－5，∴C (－5)．设线段DC 上存在点E ，使d (C ，E )d (E ，D )＝14， 则d (C ，E )d (E ，D )＝CE ED ＝x ′－(－5)3－x ′＝14， 即4x ′＋20＝3－x ′，解得x ′＝－175∈(－5,3)． ∴在线段DC 上存在符合条件的点E (－175)， 使d (C ，E )d (E ，D )＝14.。

例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x ，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x-2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x-2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A ，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A ，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例 4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM 2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形.证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-，BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38.问题探究问题在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。

一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．数轴上一个点可以表示两个不同的实数B ．数轴上有两个不同的点表示同一个实数C ．任何一个实数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点D ．有的实数不能在数轴上表示出来【解析】 根据点与数在数轴上建立一一对应关系可以判定．【答案】 C2．在数轴上M 、N 、P 的坐标分别是3、－1、－5，则MP －PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12【解析】 MP ＝(－5)－3＝－8，PN ＝(－1)－(－5)＝4，MP －PN ＝－8－4＝－12.【答案】 C3．若A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，且BA ＝6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD ＝( )A ．0B ．－2C ．10D ．－10【解析】 由题意知AD ＝AB ＋BC ＋CD＝－BA ＋BC ＋CD ＝－6－2＋6＝－2，故选B.【答案】 B4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由AB＝x B－x A，得－5－x A＝－8，解得x A＝3.【答案】 C5．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】|AB|＝(5－1)2＋(5－4)2＝17，|AC|＝(5－1)2＋(5－4)2＝17，|BC|＝(4－1)2＋(4－1)2＝18.∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)6．已知A(－4)，B(2)，则线段AB中点M的坐标为___________________．【解析】设中点为x0，∴x0＝－4＋22＝－1.【答案】－17．已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________．【解析】|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4【答案】－6或48．已知点A(2x)，B(x2)，且点A在点B右侧，则x的取值范围是________．【解析】∵A在B点的右侧，∴2x>x2，即x2－2x<0，∴0<x<2.【答案】(0,2)三、解答题(每小题10分，共30分)9．在数轴上，已知点M(x＋2)位于点N(2x＋4)的左侧，试求实数x的取值范围．【解】根据题意，由M(x＋2)位于N(2x＋4)的左侧可知：2x＋4>x＋2，所以x>－2，所以实数x的取值范围是{x|x>－2}．10．根据所给条件，在数轴上分别画出点P(x)对应的范围．(1)d(x,17)<30；(2)|x－12|>3；(3)|x＋1|≤2.【解】根据数轴上两点间距离的意义．(1)d(x,17)<30.即|x－17|<30，∴－30<x－17<30，∴－13<x<47.(2)x－12>3或x－12<－3，∴x>15或x<9.(3)－2≤x＋1≤2，∴－3≤x≤1.11．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有AC BC＝12.问：在线段DC上是否存在点E，使d(C，E)d(E，D)＝14？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解】设点C的坐标为x，点E的坐标为x′，则AC BC ＝x－(－2)x－1＝12，即x＝－5，∴点C的坐标为－5.又点E在线段DC上，∴d(C，E)d(E，D)＝CEED＝x′－(－5)3－x′＝14，即4x′＋20＝3－x′，解得x′＝－175∈(－5,3)．∴在线段DC上存在点E(－175)，使d(C，E)d(E，D)＝14.。

2.1.1数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式【目标要求】1.能够熟练的运用平面内两点之间的距离公式求两点之间的距离。

2.理解线段的中点坐标公式，并能运用其解决应用问题。

【巩固教材——稳扎马步】1.已知A(1,5)、B(x ,2)两点的距离是5，则x 的值为 （ ）A.5B.－3C.5或－3D.－5或32.以A(1,0)、B(3,1)、C(4,－1)为顶点的三角形一定是 （ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.点M(4,3)关于点N(5,－3)的对称点是 （ ）A.(4,－3)B.1（，0）2C.1（－，3）2 D.(6,－9) 4.已知点A(a ,－5)、B(0,10)的距离是17，则a 的值是 （ ）A.8B.－8C. 8或－8D.【重难突破——重拳出击】5.已知Y ABCD 的顶点A(3,－2)、B(5,2)、C(－1,4),则顶点D 的坐标为 （ ）A.(1,1)B.(－3,0)C.(3,0)D.(―1,―1)6.在x 轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标是 （ ）A.(0,0)B.(10,0)C.(0,0)或(－10,0)D.(0,0)或(10,0)7.已知A 、B 、C 三点在同一直线上，且A(3,－6)、B(－5,2),若C 点的横坐标为6，则它的纵坐标为 （ ）A.－9B.9C.－13D.138.ABC V 的顶点A(3,7)、B(－2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标为 （ ）A.(2,－7)B.(－7,2)C.(―3,―5)D.(―5,―3)9.已知三点A(x ,5)、B(－2,y)、C(1,1),且点C 平分线段AB ，则x ＋y 的值为 （ ）A.－1B.1C.－2D.410.已知点P(x ,2)、Q(―2,―3)、M(1,1),且|PQ|＝|PM|,则x 的值是 （ ）A.－2B.2C.92D.92- 11.三角形的顶点是A(2,1)、B(－2,3)、C(0,－1)，则ABC V 的BC 边上的中线AM 的长为（ ）12.已知点P 的横坐标是7，点P 到点Q （－1,5）的距离等于10，则点P 的纵坐标是（ ）A.11B.－1C.11或－1D.41【巩固提高——登峰揽月】13.求连结下列两点的线段的长度和中点坐标：(1).A(7,4) B(3,2) (2).M(3,1) N(2,1) (3).P(6,－4) Q(―2,―2)14.已知三点A(1,－1)、B(3,3)、C(4,5) 求证：A 、B 、C 三点共线。

课时跟踪检测（十四）数轴上的基本公式层级一学业水平达标1．若点P到原点的距离为2，点P在原点的左侧，则点P的坐标为() A．2B．－2C．±2 D．不确定解析：选B设点P的坐标为x，则|x|＝2，由点P在原点的左侧，可知x＝－2. 2．数轴上三点A，B，C，已知AB＝2.5，BC＝－3，若A点坐标为0，则C点坐标为() A．0.5 B．－0.5C．5.5 D．－5.5解析：选B由x B－0＝2.5得x B＝2.5，由x C－x B＝－3得x C＝－0.5.3．已知数轴上两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离d(A，B)＝5，则点A 的坐标为() A．8 B．－2C．－8 D．8或－2解析：选D记点A(x1)，B(x2)，则x2＝3，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝5，即|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8.4．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为() A．13 B．0C．4 D．－2解析：选C如下图所示，故C(4)为所求．5. 在数轴上，已知任意三点A，B，O，下列关系中，不正确的是()A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0C．AB＝AO＋OB D．AB＋AO＋BO＝0解析：选D∵OB－OA＝OB＋AO＝AO＋OB＝AB，∴AB ＝OB －OA ，故选项A 正确；选项B 、C 显然正确；AB ＋AO ＋BO ＝2AO ≠0，故选项D 不正确．6．已知数轴上点A ，B 的坐标分别为x 1，x 2，若x 2＝－1，且|AB |＝5，则x 1的值为________．解析：|AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|x 1＋1|＝5，解得x 1＝－6或x 1＝4.答案：－6或47．已知数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)的距离的2倍，则x ＝________.解析：由题意，得d (P ，A )＝2d (P ，B )，∴|－8－x |＝2|－4－x |，解得x ＝0或x ＝－163. 答案：0或－1638．在数轴上，已知点B 的坐标为3，AB ＝4，则点A 的坐标为________；已知点N 的坐标为2，|MN |＝1，则点M 的坐标为________．解析：设点A 坐标为x .∵AB ＝3－x ＝4，∴x ＝－1.设M 点坐标为y .∵|MN |＝|2－y |＝1，∴y ＝1或y ＝3.答案：－1 1或39．在数轴上，讨论点A (3a ＋1)与点B (1－2a )的位置关系．解：当3a ＋1＞1－2a ，即a ＞0时，点A 在点B 右侧；当3a ＋1＝1－2a ，即a ＝0时，点A 与点B 重合；当3a ＋1＜1－2a ，即a ＜0时，点B 在点A 右侧．10．已知M ，N ，P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝2，求d (M ，P )．解：因为M ，N ，P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝2.(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)．d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－2＝3.(2)当点P 在点M ，N 之外时(如图所示)．d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7.综上所述：d(M，P)＝3或d(M，P)＝7.层级二应试能力达标1．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，则实数x 的取值范围是() A．x＞2B．x＞1C．x＜3 D．x＜1解析：选B∵AB＋CB＞AC，∴由向量坐标公式，得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，解得x＞1，故选B.2. 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是() A．A点B．B点C．C点D．D点解析：选B用排除法，如原点为A，则a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A，同样的方法，排除C、D；当B为原点时，a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，满足条件，故选B.3．数轴上点P，M，N的坐标分别为－2,8，－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有()A. 0个B．1个C．2个D．3个解析：选C数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确．4．设数轴上三点A，B，C，点B在A，C之间，则下列等式成立的是() A．|AB－CB|＝|AB|－|CB|B．|AB＋CB|＝|AB|＋|CB|C．|AB－CB|＝|AB|＋|CB|D．|AB＋CB|＝|AB－CB|解析：选C根据A，B，C三点的相对位置可知，|AB－CB|＝|AB＋BC|＝|AC|＝|AB|＋|CB|，故C成立．5．已知数轴上两点A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，则a＝________，若AB＝7.5，则a ＝________.解析：∵d(A，B)＝7.5，∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13.若AB＝7.5，则5.5－a＝7.5，解得a＝－2.答案：－2或13－26．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为－3,7,9，则AB＋BC＋CA＝__________，|AB|＋|BC|＋|CA|＝__________.解析：AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24.答案：0247．数轴上A，B两点的坐标分别为x1＝a＋b，x2＝a－b，分别求向量AB的坐标，BA，d(A，B)，d(B，A)．解：向量AB的坐标AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b，BA＝x1－x2＝(a＋b)－(a－b)＝2b或BA＝－AB＝－(－2b)＝2b.d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝|－2b|＝2|b|，d(B，A)＝d(A，B)＝2|b|.8．已知数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1,3,5.(1)求AB，BA，|AB|，|BC|，|AC|；(2)若数轴上还有两点E，F，且AE＝8，CF＝－4，求点E，F的坐标．解：(1)AB＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4；|AB|＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝|5－3|＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E，F点的坐标分别为x E，x F. ∵AE＝8，∴x E－(－1)＝8，得x E＝7. ∵CF＝－4，∴x F－5＝－4，得x F＝1. 故E，F两点坐标分别为7,1.。