【新】高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法(1)当堂检测湘教版选修2-2
- 格式：doc
- 大小：63.00 KB
- 文档页数：2
小中高 精品 教案 试卷
制作不易 推荐下载 1 6.3 数学归纳法(一)
1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有
( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在
n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－a2n＋21－a(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为
( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
答案 C
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
4．当n∈N*时，Sn＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，Tn＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n，
(1)求S1，S2，T1，T2；
(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明． 小中高 精品 教案 试卷
制作不易 推荐下载 2 解 (1)∵当n∈N*时，Sn＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，Tn＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n.
∴S1＝1－12＝12，S2＝1－12＋13－14＝712，
T1＝11＋1＝12，T2＝12＋1＋12＋2＝712.
(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证S1＝T1，
②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，
即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，
则Sk＋1＝Sk＋12k＋1－1k＋＝Tk＋12k＋1－1k＋
＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1－1k＋
＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－1k＋
＝1k＋＋1＋1k＋＋2＋…＋12k＋1＋1k＋
＝Tk＋1.
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
